Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

которые появились бы в выкладках при учете			большего
числа ряда	Тейлора, также оказались	бы	равными
нулю.
Перейдем	теперь к выводу в т о р о г о	уравнения Кол

могорова, называемому также « р я м ы м или о б р а щ е н-

н ы м в б у д у щ е е .	Второе	уравнение Колмогорова
в оригинале [5] получено более		искусственным образом,

нежелипервое. Его вывод также основан на соотноше нии Смолуховского с тем отличием, что промежуточный момент х берется близким к моменту времени і.

Мы приведем иной вывод второго уравнения, основы вающийся на работе [8] (см. также [9, 10]). Памятуя

отом, что уравнение для одномерной плотности

wi(x,i)—w(x,		t) при ô-образных		начальных	условиях
(3.23)	превращается		в уравнение	для плотности вероят
ности	перехода	ѵ{х,	t\x0, to), поставим цель		получить

уравнение для более общего случая, когда неизвестной является функция w (х, t).

Рассмотрим два момента			временив и ^ + т (т мало) и
обозначим x(t)=x,		x(l-tx)	=-ѵ1 . Тогда в соответствии,
с (3.21)	можно записать
		оо
•	о»(-*х. t+x)=	Ja) (л-, t) V (л-,, t-\-i\x,t)dx.		(3.40)

— 0 0

Введем в рассмотрение характеристическую функцию Q(u, х), соответствующую плотности вероятности перехо да ѵ(х^, і+х\х, t):

	О (и, х) < е	'	> =
=	J eiU{Xz~X)v(x^t	+	ix,t)dx^	(3.41)
	— 0 0
Случайной величиной в соотношении (3.41)				является
приращение	(х^ —х), отсчитываемое от ф и к с и р о в а н -
н о го значения х. Имея в виду разложение

е ^ - х ) = % ^ ( х - х Г ,

из (3.41) получаем

00 00

в*)	= J ]	- Й Г "	- Х Г Ѵ ^ T +	^ X T L ) D X * =
	п=0	. —оо

	J - - W L m „ W ,	(3.42)
	л=0
где
	Шп .(•) = < ( \ — •)">	=
	оо
=	J(JC, - x)"v(x^t^-z\x,t)dx^	(3.43)
	— 0 0

— момент я-то порядка приращения (хт —х).

Плотность вероятности перехода ѵ определяется по характеристической функции Ѳ(и, х) с помощью обрат ного преобразования Фурье

			00
«	+	Ч	= - і J е ~ / u ( Л Ч _ А ) Ѳ (и, л) d«.		(3.44)
Подставляя		(3.42)	в •соотношение	(3.44), получаем
			оо
			тп	(х) 1
			га=0п=0
		—оо
	00		оо
=лS=0( - l ) » 2 # i ^ - J e - ' - " 1 - - « ^ .					(3.45)

Для проведения дальнейших выкладок нам потре буется два интегральных выражения, вытекающих из свойств б-функции (см., например, (10, 11]):

	00
±	\| е ' в ' Л > =		8(9;	(3.46)
— 0 0
Zb+»
J f(z) è(z-z0)dz=f(z0);			s > 0 .	(3.47)
Zo—8
С учетом (3.46) вместо	(3.45)	получаем
00
V(т,г + х \| , ;) = £ ( -		Ѵ п - п ^ £ г Ч х - ( 3 . 4 8 )

6—'186

Подставим (3.48) в (3.40) и воспользуемся формулой (3.47). В результате будем иметь

w К , , +	00	(—1)"		д»	g w
		(—1)"		д»
		L _ i l ! £ _ { n l n ( j					K i t ) ]		{ З А 9 )
	,г=о			т
				т
Соотношение (3.49)		эквивалентно равенству
w (хх, t ъ )			— w (х^, t)		=
00
= E ^ ^ l		m " ( * > ( ^ )			]	-			( 3 - 5 0 )
Поделим обе части		(3.50) на х и перейдем						к	преде
лу при т—Ю. В результате получим
со
= £	Т			[* . (*• 0 »			Ol-		(3.51)
л=1
где
ІСя (л:,0 =	1іш ^ =		1	і ш < ( х - - х		)	" >	•	(3.52)
Очевидно, что при я =1,2				соотношение			(3.52)		опреде
ляет коэффициенты сноса и диффузии
Кх (х, t) =		lira — <[jct — л:>					=
= l i m —	[{x,—x)v{xx,t-\-z\x,t)dxj								(3.53)
— 0 0
K 2 (X, t) = lira 4			< К - * ) 2 >				=
	со
= lira - i -	f(X -		-)2 ü (T . t +		z\x,t)dx<.				(3.54)
t-»0	J

Что касается значений Kn(x, t) при п^З, то как ука зывалось выше, для непрерывных процессов они должны быть равны нулю.

Таким	образом,	• из (3.51) окончательно получаем
в т о р о е	уравнение	Колмогорова

'	1	д* [K2{x,t)w(x,t)}.	(3.55)
	2	дх*

Уравнение (3.55) включает в себя частным случаем полученное при анализе броуновского движения урав

нение (3.22).
При 'ô-образных начальных		условиях (3.23)	с учетом
(3.24) из (3.55) имеем второе		уравнение Колмогорова
для плотности вероятности	перехода
а р ( * ' 2 * " М = -	[К] (X, t)v(x,t\x0,t0)]		+
+-T-&[^(x.t)v(x,t\xt,t0)].			(3.56)
Уравнение (3.55) до вывода		его А. Н. Колмогоровым

встречалось в работах ряда физиков, поэтому в литера туре можно встретить для него разные названия: урав нение Фоккёра — Планка; уравнение Фоккера— План ка — Колмогорова; уравнение Эйнштейна — Фоккера — Колмогорова.

Уравнения (3.35), (3.55), і(3.56), как и (3.14), (3.22),

являются уравнениями в частных производных парабо
лического типа и носят название диффузионных. По этой
причине непрерывные марковские процессы часто назы
ваются д и ф ф у з и о н н ы м и. Для	отыскания решений
указанных уравнений необходимо	задать начальные и

граничные	условия.	Для уравнения		(3.55) начальные
условия	задаются	в виде	начального распределения
®о(хо, h).	Для уравнений (3.35), (3.56)			начальные	усло
вия носят непременно iô-образный характер.
Полученные в результате			решения	уравнений	(3.36),

(3.55), (3.56) функции должны удовлетворять условиям положительной определенности и условиям нормировки

v(x,t\x0,ta)>0;	jv(x,t\xa,t0)dx=l,
w{x,t)^0;	^w{x,t)dx~\.	(3.57)

Если процесс	x(t)	определен .на	всей числовой оси
( — о о < х < о о ) , то	граничные условия обычно			формули
руются в виде
w (—со,		t) = w ( + оо, і)	= 0.	(3.58)

При этом, как отмечалось выше, решение соответст вующего уравнения называется фундаментальным.

Втех случаях, 'когда процесс х(і) развивается в огра ниченных пределах а<х<Ь, диффузионные уравнения следует рассматривать лишь внутри этой области.

Впрактических приложениях наибольшее распрост ранение получило в т о р о е уравнение Колмогорова, ко

торое ниже будет называться у р а в н е н и е м Ф о к к е - р а — П л а н к а — К о л м о г о р о в а .

Прежде чем решать это уравнение, рассмотрим не сколько важных вспомогательных вопросов.

3.4.Белый шум и винеровский процесс

Белый шум и винеровский процесс являются моделя
ми случайных процессов, весьма	распространенными
в статистической радиотехнике и	в теории автоматиче

ского регулирования. Эти процессы будут часто исполь

зоваться при дальнейшем изложении							материала.
	Б е л ы м	ш у м о м		называется		нормальный		стацио
нарный процесс			n(t),	имеющий	нулевое математическое
ожидание и ß-обраэную функцию корреляции
< f	t ( f ) > =	0 ;	knfr)==<n(f)n{t		+	)> = ^-b(),		(3.59)
где	JV0=const.		Винера — Хинчина,				связывающей спек
	По формуле
тральную		плотность		процесса	S (а)		с корреляционной •
функцией k(x),			имеем
		оо			оо
	S n ( œ ) = \| Х М е / ш Ѵ , = ^ j S ( , ) e - / œ V x = % ( 3 . 6 0 )
		—ОО		— 0 0
Следовательно,			величина N0/2,		входящая сомножителем


в	выражение для корреляционной функции (3.59), являет
ся	п о с т о я н н о й			спектральной плотностью белого
шума.
	Дисперсия (средняя колебательная мощность) белого
шума		равна	бесконечности, что вынуждает рассматри
вать		белый	шум как	математическую идеализацию. Тем

не менее белым шумом можно аппроксимировать реаль ные 'случайные процессы. Это возможно в том случае,

когда время корреляции хи реального		случайного	про
цесса	много меньше постоянной	времени хс	систе
мы, на которую воздействует процесс		При этом за-

величину спектральной плотности No/2 «эквивалентного» белого шума целесообразно брать значение спектраль

ной плотности процесса g (О н			а нулевой	частоте (10]:
			оо
	_ ^ . = 5 6	( ( о = 0 ) =	j é t ( T ) d x =	2 ^ ,	(3.61)
		—ОО
		оо
где oj =	Й6 (0), ъ =• J g j ^ (*) dz.
		6 о
Рассмотрим, следуя (10], случайный процесс £(^)> п 0 ~
ведение	которого	описывается	уравнением *>
		С ( 9 = л ( 9 .			(3.62)

где точка сверху означает производную по времени. •Обозначив через tt0 и Т начальный и конечный момен

ты наблюдения, запишем решение уравнения (3.62):

Z(to+-T)			= t(t0) +		'^n(t)dt.			(3.63)
					и
Перенося в левую часть начальное значение t,{to), по
лучаем, что приращение процесса Z,(t)							за время Г. равно
					t -f-T
^ ДС (Г) =		С (*„ + 7) -		Ç ( 0 =		f	/г (9 Ä .	(3.64)
						К
Поскольку	белый шум имеет				нормальную			плотность
распределения,	а	операция		интегрирования — линейная
операция, то из		(3.64)	следует,		что приращение Д£(Г)
также подчиняется н о р м а л ь н о м у						закону.
Стационарность 'белого шума					n\t)		определяет неза

висимость приращения ДС(Т') от начального	значения і0.
Следовательно, величины Д£(Г) обладают	свойством
с т а ц и о н а р н о с т и .
Выберем момент времени U так, что
\|*І - ^О \|>7 \	(3.65)

*) Более корректно вводить іпонятие белого шума как производ ную по времени от винеровекого процесса. '

и рассмотрим приращения А£,(й0+Т)

и Д£'(£і + Г ) . В свя

зи с тем, что белый шуім имеет дельтообразную

функ

цию 'корреляции, то отрезки реализации

процесса

n(t)

на

интервалах

(to,

to + T),

(tit

t\ + T) независимы. Поэто

му

и приращения

At,(t0+T),

At,(ti + T) при соблюдении

(3.65)

также

будут

н е з а в и с и м ы .

Независимость

при

ращений

на

неперекрывающихся

интервалах

времени

определяет

м а р к о в о с т ь

процесса

AÇ(t').

Вычислим моменты нормального распределения для

процесса

ДС(Г). Так

как

<я(£)>> =

0, то

<Д £ (7 Х> — 0 .

Для

дисперсии

ОдС

имеем

;

<[AC (r)] s > =

n(t')dt'X

to+T

to + T to+T

n[t")dt">=

<n(t')n(t")>dt'dt"==

to+T t0

+ T

1Г

(

f 8 С - t " ) d t ' d t "

= ^-T.

(3.66)

Таким

образом,

процесс Д£(0

имеет плотность

рас

пределения

вида

ш(ДС, Т) =

, 1

е х р і - ^ У - і -

Примем

для

простоты

0, T)(t0) = 0,

T — t.

Тогда

t.{t) =

^n{t')df

(3.67)

» < u

> = w H - ^ [

( 3 ' 6 8 )

Мы получили, что дисперсия

нормального

процесса

Z,(t) растет пропорционально времени наблюдения t. Но точно такими свойствами обладает процесс броуновского

движения, рассмотренный в § 3.2,		при Кі = 0. Вследствие
этого можно утверждать,	что	уравнение	Фоккера —
Планка — Колмогорова для	процесса £(г)		имеет вид
—m—="4—w~-			l , d - ö 9 )

Нормальный марковский процесс со стационар ными и независимыми приращениями в литературе на зывается в и н е р о в с к и м процессом.

В заключение подчеркнем, что белый шум не явля ется марковским процессом, однако основное его свой ство— независимость значений при любых сколь угодно малых промежутках между сечениями—не противоре


чит признаку	марковости.	Действительно,			для марков
ского процесса	двумерная	плотность		вероятности равна
w2(xi,	tu x%, t2)=w(xu		ti)v(x2,	t2\xu	ti),

для белого шума эта же плотность вероятности выра жается соотношением *)

w2{Xi, и, х2, h)=w(xi,

ti)wi(x2, <t2).

(3.70)

Такиім образом, у белого шума в качестве плотности вероятности перехода выступает одномерное распределе ние в последующий («.будущий») момент времени.

3.5.Воздействие белого шума на интегрирующую

цепочку

Обратимся к частной задаче (10], состоящей в нахож дении основных характеристик выходного напряжения x(t), когда на вход интегрирующей RC цепочки воздей ствует белый шум n(\t) .(рис. 3.5).

-TZZb
R
nit)				xft)	Рис.	3.5.
Поскольку ток	і (t)	через		емкость	С	определяется
выражением i(t)=C	dx^P		. то	уравнение,		описывающее
выходной процесс,	имеет		вид	dx.
	n(t)	=	R C	dx.
	n(t)	=	R C	^ + x..
или
х-\-ах	=	ап	(t),	l/RC.		(3.71)

*> Отметим, ічто соотношение і{3.70) носит символический харак тер, так как для 'белого шума выписать явно закон распределения вероятностей .нельзя по той причине, что его дисперсия равна бес конечности.

Общее решение этого уравнения при начальном усло вии x(tQ)=x0 записывается следующим образом:

					г	t	eai'/i{t')dt'
					x0-\-aj		eai'/i{t')dt'		(3.72)
					L
Полагая	A> — 0, из		(3.72)		находим среднее значение
		тх (t) =		<х	(t) > =	ха	е~аі +
	+	a е - * '	Je"" <n (/')>			dt'=x0		e- "'	(3.73)
и дисперсию
	«! (9 = <[x			(t) -	>nx ()]>=«' e-			2atX
		t t
	Х П e " ' ' е а / " < / г W11						d t ' d t " =
		о 0
=	<re
			0	0
	^	e -a»« _^!LJe*«" Ä / =				J V	(1 _ e	- 2 a < ) .	(3.74)
				o-
При выводе		(3.74)	использовано			«фильтрующее»			свойст

во ô-функции.

Графики зависимостей, иллюстрирующие изменение математического ожидания и дисперсии с течением вре:

меня, приведены на рис. 3.6,		3.7.
Изменение закона распределения w(x, t) в			зависи
мости	от времени показано	на рис. 3.8. Когда	mx(t)=Q
и о2	=аЛУ4, процесс x(t)	становится стационарным и

Рис. 3.6.

его плотность	распределения	WCT(X, t)=wDi:(x)	не зави
сит от времени.
Характер процессов «а входе и выходе RC цепочки
иллюстрируют	реализации,	изображенные на	рис. 3.9.

Обратим внимание на следующую особенность: процесс x(t), являющийся решением дифференциального уравне

ния	п е р в о г о		порядка,	полностью определяется			значе
нием величины Хо в начальный момент						^о- Выберем мо
мент	ti>'t0	(см. рис. 3.9) и зафиксируем				значение	x(ti).
Тогда процесс			х(і) при t>ti		'будет определяться		выра
жением, легко получаемым из					(3 . 72) :
	X (t)	=	е		e*('n(t')dt'		(3 . 75)
Из соотношения (3 . 75)				следует, что будущее процесса
x(t)	при t>t\		полностью	определяется значением x(U) и
совершенно		не зависит		от х(Ѳ) при ß<ti.		Заметим, что

последнее обстоятельство имеет место лишь в том слу чае, когда на вход поступает^ е л ы й шум, который име-,


ет нулевое время корреляции. Если бы под знаком						инте
грала в (3.75)'	стоял	некоторый случайный процесс				g (О
с конечным временем		корреляции		Хк, то величины §(£')
по крайней мере на интервале			(^І,	t\+Xh)	зависели бы от
значений £ ( Ѳ )	(ti—ТА<Ѳ<^І).		Таким образом, приходим
к выводу, что	процесс x(t)		является		м а р к о в с к и м ,

однако его приращения, взятые на неперекрывающихся

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20239 Mб17Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
#
27.10.202321.95 Mб4Казаков А.А. Электрическая централизация стрелок и сигналов учебник.pdf
#
27.10.202325.81 Mб29Казаков А.П. Технология и организация перегрузочных работ учебник.pdf
#
23.10.20237.95 Mб9Казаков Б.И. Благородные металлы служат человеку.pdf
#
29.10.20235.01 Mб7Казаков Б.И. Металлы рассказывают о себе.pdf
#
23.10.20237.76 Mб21Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
#
29.10.20234.24 Mб13Казанджан П.К. Турбины систем питания ЖРД.pdf
#
20.10.20237.87 Mб5Казанов, Д. Х. Подготовка квалифицированных рабочих кадров в рыбной промышленности СССР.pdf
#
23.10.20238.16 Mб7Казанский Н.В. Технология и организация строительства каменных зданий.pdf
#
21.10.20239.07 Mб43Казанский, В. Н. Системы смазки паровых турбин.pdf
#
29.10.20233.58 Mб9Казанцев И.И. Памятка строителю по качеству работ.pdf