книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

падает в состояние Xj, to состояние Xj следует формально считать .поглощающим. При этом /-ю строку матрицы перехода нужно изменить, положив Pjj=l, Pij=Q (/V=0- Применяя к вновь образованной матрице результаты предыдущего параграфа, можно получить более подроб­ ные сведения о внутренней структуре процесса, чем те, которые даются знанием финальных вероятностей и кор­ реляционной функции.

Последующие параграфы данной главы посвящены рассмотрению двух конкретных технических задач, ко­ торые решаются с помощью аппарата теории цепей Маркова.

1.6. Статистическое нацеливание узких диаграмм

направленностей антенн приемо-передатчиков

всистемах связи

ВСВЧ диапазоне антенны систем связи могут иметь весьма

узкие диаграммы направленности, ширина которых достигает 1—2°. В лазерных системах связи ширина диаграмм направленности еще меньше н составляет несколько десятков угловых секунд. С энерге­ тической точки зрения такие диаграммы направленности весьма же-

Рис. 1.5.

лательны, однако при практическом использовании они порождают специфические трудности, связанные с задачей нацеливания (вхож­ дения в связь) двух приемо-передатчиков, расположенных на раз­ ных объектах. При случайном сканировании узким лучом в пределах заданного углового конуса, определяющего зону неопределенности положения искомого объекта, процесс нацеливания может быть опи­ сан поглощающей цепью Маркова [8, 9]. Следовательно, в этом слу­ чае можно вычислить такую важную характеристику, как среднее время вхождения в связь. Рассмотрим, следуя [8, 9], задачу стати­ стического нацеливания узких диаграмм направленностей антенн приемо-передатчиков в системах связи.

Предположим, что на объектах А и В имеются приемо-пере- дающие устройства, причем диаграммы направленности передатчика и приемника каждого из объектов синхронно сканируют в простран­ стве. Оба объекта на основе априорных сведений грубо ориентиро­ ваны друг на друга (рис. 1.5). Диаграмма направленности

30

ira объект A, но сигнала от объекта А станция В не обнаруживает. Невозвратное состояние х$.

4. Та же ситуация, что и в предыдущем случае, но с переменой ролей между станциями А и В. Невозвратное состояние Хц.

Работа такой системы поясняется графом состояний (риг. 1.6) и іможет быть описана марковской цепью с четырьмя состояниями. Марковское свойство процесса в системе обеспечивается физиче­ ским содержанием задачи. Действительно, вероятности перехода из

в состоянии л-2).

Образуем матрицу перехода Р и произведем ее разбиение на

Используя (1.29), определяем матрицу средних времен достижения поглощающего состояния

с вероятностью, близкой к единице, процесс начнется в состоянии Хг.

32

Учитывая, что функция ъ(у—гп)—е(г„— х) принимает лишь зна­ чения + 1, 0 и —1, для порога zn возможны переходы только в со­ седние состояния. В связи с этим в матрице перехода Р будут отлич­ ны от нуля лишь элементы главной диагонали и элементы двух диа­ гоналей, расположенных выше в ниже главной

(1.39)

SN-2 TN-2 Ям—2

О *N— I If—I .

Выразим вероятности.перехода через статистические характери­ стики огибающих. Вероятность ЦІ равна вероятности того, что порог

(Д ібудет .превышен как одним ішіумом (//>іД), так н смесью сигнала

сшумом (х>іА). Следовательно,

оос»

ЯІ = \ w0 (у) dy J да, {x)[dx.

Аналогично вероятность s£ равна

st = ^ ш0 (y) dy ^ ю, (х) dx.

оô

Вероятность ГІ определяется из і(1.38).

Пусть в начальный момент распределение вероятностей значе­ ний порога задано матрицей-строкой

(1.40)

Соотношениями (1.39), (1.40) цепь Маркова задана полностью, и в соответствии с классификацией § 1.3 определяется как эргодическая. В таксда случае через некоторое число шагов величина порога будет иметь финальное распределение (РОРІ • • • РК-\), которое мож­

но найти путем решения системы алгебраических уравнений (1.35). Применительно к рассматриваемой задаче имеем

34

Из первых (N— 1) уравнений системы (1.41) получаем

Последнее уравнение системы (1.41) с учетом (1.42) дает возмож­ ность определить вероятность ро'-

Г.9о_ , Çh_ Çh_ , _9о_ j7i_ <7а ,

Р'-" [1 + S j s, S a ' " 1 " s, s2 s, ^

(1.43)

Поскольку финальные вероятности (1.42), (1.43) выражаются через частное дфі+ѵ, то удобно ввести функцию

о0

(1.45) С учетом (1.44), (1.45) финальные вероятности (1.42), (1.43) запи­

Соотношения (1.46), (1.47) определяют искомое распределение ве­ роятностей для стационарного режима изменения порога. Функция f(z) является монотонно убывающей, поскольку

роятности, рі увеличиваются, а затем начинают убывать. Финальная вероятность имеет максимум при значении порога іоД, для которого f(ioA)—.1. При малом Д это приближенно соответствует условию

35

Таким образом, наиболее вероятное значение порога обеспечи­ вает равенство вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала.

В [11] показано, что среднее значение порога в стационарном режиме асимптотически равно порогу zo, а дисперсия финального распределения в пределе равна нулю. Это означает, что в процессе подстройки порог стремится принять оптимальное значение, для ко­ торого справедливо соотношение (1.50).

Вход •

Рис. 1.7.

Далее можно рассчитать среднее число шагов, через которое в первый раз будет достигнут оптимальный порог. Для этого не­ обходимо оптимальное значение порога с номером іо представить как поглощающее и затем совершить над матрицей перехода Р все необходимые преобразования, которые приведут к фундаментальной матрице N (§ 1.4). К сожалению,=матрица перехода (1.39) в данном случае имеет довольно сложный вид, поэтому получить общие ре­

2 и 3 поступают вспомогательные тактовые импульсы, которые про­ ходят через селектор 2 в там случае, если напряжение иа времен­ ном участке, где может быть сигнал, не превышает порога z n . Се­ лектор шумового участка пропускает тактовые импульсы лишь в том

36

случае, когда шумовое напряжение превышает порог. Таким обра­ зом, селекторы 2 и 3 реализуют соответственно функции e(zn —х) и б(і/—2п). Импульсы с селекторов поступают на исполнительное устройство 4, которое непосредственно регулирует величину порого­ вого напряжения.

Приведенные примеры дают некоторое представление о воз­ можном характере использования теории цепей Маркова в конкрет­ ных радиотехнических задачах. Основные трудности применения

с матрицами становятся весьма трудоемкими; например, определение фундаментальной матрицы N, связанное с необходимостью обраще­ ния матрицы I—Q, при большом N осуществимо лишь с помощью ЭЦВМ.

Иногда для физического процесса бывает весьма трудно найти веские доказательства в пользу его марковости при отсутствии убе­ дительных контраргументов. В таких случаях марковскую цепь рассматривают как первое приближение к полному описанию физи­ ческого процесса. Так, цепями Маркова представляются простейшие модели движения цели [12], помехи в каналах связи ['13—16] и др.

Применение аппарата цепей Маркова оказалось весьма плодо­ творным при анализе работы устройств цифровой обработки радио­ локационной информации [17—22].

2

РАЗРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

2.1. Вводные замечания

В первой главе рассматривались процессы, дискретные в про­ странстве и во времени. Обратимся теперь к процессам, непрерывным во времени, сохранив пока условие их дискретности в пространстве. К описанию таких процессов легко перейти от цепей Маркова. Предположим себе систему с конечным множеством состояний N, переходы в которой возможны в любой момент времени. В качестве такой системы в простейшем случае (N=2) можно рассматривать триггер, работающий в счетном режиме от хаотически следующих импульсов. Процесс x(t), описывающий работу триггера, является дискретным процессам с двумя состояниями х\, х2 и непрерывным временем. Одна из возможных реализаций такого процесса изобра­ жена на рис. 2.1.

По аналогии с цепями Маркова для описания разрывного мар­ ковского процесса необходимо потребовать задания начального рас­

і

В отличие от цепей Маркова непосредственное задание вероят­ ностей перехода Pa(t, i+At) оказывается невозможным, поскольку моменты переходов в разрывных марковских процессах не детермн-

t

XZ- I — І П 1 1 i 1 П I 1

самостоятельный управляющий поток, каждое из событий которого

получаете!) разрывный процесс с непрерывным множеством состоя­ ний. На р іс. 2.2, 2.3 изображены две возможные реализации разрыв­ ных процессов со счетным и непрерывным множествами состояний соответсі енно.

*> Для процессов іс непрерывным временем уравнение Колмого­ рова—Чепмена называют также соотношением Омолуховского.

38

Как и в марковских цепях, состояния разрывного процесса под­ разделяются на поглощающие и непоглощающие. В зависимости от наличия или отсутствия поглощающих состояний процессы класси­ фицируются на поглощающие и эргоднческне.

jh-rM-H-r

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Поскольку любой разрывный марковский процесс должен удовлетворять марковскому свойству (;§ 1.1), то на характер управ­

2.2.Пуассоновский поток событий

Вообще потоком событий называется последователь­ ность событий, происходящих одно за другим в случай­ ные моменты времени. Геометрически поток случайных событий удобно изображать в виде случайных точек на" реи времени. Пуассоновским потоком называется поток,

39