книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

Чтобы очертить границы применимости подобной замены, воспользуемся известным в статистической ра­ диотехнике результатом (см., например, [2]) : при воз­ действии белого шума на параллельный колебательный контур дисперсия шумового тока <^ в стационарном ре­ жиме определяется формулой

<=%

Из (4.71), (4.72) получаем условие малости шума n{t):

Подставляя (4.71) в (4.70) и имея в виду (4.63), окончательно получим

Соотношения (4.75) записаны на основе сопоставления процессов ya{t) и y%(t) (4.22) и учета статистических характеристик последнего

(4.32), (4.33).

2. Синхронизация генерато­ ра при наличии помех [6, 4].

Для повышения стабильности частоты к автогенераторам подводят синхронизирующее напряжение от другого генера­ тора, как правило, маломощ­ ного, но обладающего боль­ шей стабильностью. Последнее

Рис 4.4. обстоятельство позволяет пре-

140

ходимые обозначения физических величин указаны на схеме.

От соотношения (4.77) перейдем к уравнениям для амплитуды и фазы. Однако в отличие от случая § 4.3 этот переход производится относительно частоты син­ хронизации кос, а не через резонансную частоту контура

Поступая далее известным образом (§ 4.2, § 4.3), можно получить интересующее нас уравнение для флюктуирую­ щей фазы

14І

где Ac — параметр, называемый шириной полосы син­ хронизации. С учетом (4.79) уравнение (4.78) перепи­ шем в виде

3. Фазовая автоподстройка частоты под действием

жение с которого u(t) воздействуют на реактивную лампу (РЛ), которая изменяет частоту синхронизируемого ге­ нератора, приводя ее к совпадению с частотой основного генератора. Для практики особенно интересен случай, когда сигнал u0(t) поступает на фазовый детектор вместе с шумом 1(0- Это обычно имеет место при пространст­ венном разнесении основного генератора и остальных элементов ФАП.

устройством, а фильтр нижних частот обладает идеаль­ ной характеристикой (коэффициент передачи равен еди­ нице в области нижних частот и нулю при высоких частотах). При этом будем учитывать флюктуации ча­ стот основного и синхронизируемого генераторов. Пред­ положим также, что шум £ (0 можно представить в ви­ де узкополосного квазигармонического колебания со слу­ чайной амплитудой Е(і) и фазой Ѳ(0

•1(0 = £ ( O c o s 0 ( O = £ ( 0 c o s M + 6(0],

функция корреляции которого выражается формулой

Іі^ (т) = a'R (т) COS аус.

142

Пренебрегая амплитудными флюктуациями, колебания "оСО и и с ( 0 можно записать в виде

Здесь At, Аг — постоянные амплитуды, шо и <в— средние частоты, Ѳі(0 и 02(0—случайные фазы колебаний.

Запишем сумму напряжений основного генератора и - шума таким образом:

составляющие огибающей E(t) имеют нулевое матема­ тическое ожидание и распределены по нормальному

Если обозначить через и. коэффициент преобразова­ ния умножителя, то напряжение на выходе перемножаю­ щего устройства запишется как

X (Ѳ2 - Ѳ,) + sin (Ѳ, + Ѳ2)] - Es [cos (Ѳ2 - Ѳ.) -

- c o s f ö + e,)]}.

Фильтр низких частот пропустит лишь колебания разностной частоты, так что на вход реактивной лампы поступает напряжение

143

Пусть реактивная лампа управляет изменением частоты синхронизируемого генератора по линейному закону

где уб(0 —процесс, который может быть заменен экви­ валентным белым шумом.

Сопоставляя результаты анализа трех приведенных задач [см. уравнения (4.73), (4.80), (4.87)], приходим к выводу о том, что поведение фазы колебательной си­ стемы во всех случаях подчиняется одному и тому же стохастическому уравнению. Обращаясь для определен­ ности к уравнению (4.87) и полагая

<Y 5 (О Y6 (t + 1 ) > = 4 ^ 8 W = H T S M'

"14*4

любом k. При отсутствии граничных условий нельзя указать такого значения k, для которого в стационарном режиме поток вероятности был бы равен нулю. Поэтому '

1) периодичности — w (<р + 2я&) = ai(q>) ;

2) нормировки на каждом периоде — j * tw(<p)d<p=l.

о

Вычисления [6,4] приводят к следующему результату:

и имеет симметричную формулу (рис. 4.6). Если шумы велики (Do мало),' то функция до(<р) близка к равно­ мерной.

Рис. 4.6.

Различные аспекты функционирования системы ФАП под воздействием шумов с помощью теории марковских процессов анализируются, например, в работах В. И. Ти­ хонова (7, 9—12], Э. Витерби [13].

4.5.Воздействие шума на детектор

сэкспоненциальной характеристикой

Разберем задачу [4] по определению плотности рас­ пределения напряжения на выходе экспоненциального детектора, состоящего из диода Д и параллельной

и

Mr J с " : Ü

Рис. 4.7.

цепочки RC (рис. 4.7). Характеристика нелинейного эле­ мента i=if\(u) выбрана экспоненциальной для того, что-

146

бы обойти трудности, связанные с использованием -не­ линейных зависимостей, не имеющих непрерывных про­ изводных [14—17].

Составим дифференциальное уравнение для выход­ ного напряжения г)(/). Имея в виду обозначения, ука­

4.6.Анализ работы накопителя

Внастоящем и следующем параграфах рассматри­

вается решение некоторых типичных ' п о р о г о в ы х за­ дач для марковских процессов, а именно обсуждаются методы вычисления такой важной характеристики, как вероятность достижения границы случайным процессом.

Разберем в этой связи [18] работу простейшего #С-накопителя, на выходе которого имеется пороговое устройство (рис. 4.8). Предполагается, что с момента ^о=0 на 'вход накопителя подается детерминированный сигнал s(rf) и белый шум n(t). На выходе фильтра на­ пряжение складывается из детерминированной b(t) и случайной x (t) составляющих и сравнивается в порого-

148

вом устройстве с напряжением Е. В момент равенства величин b(t) +x(t) —Е пороговое устройство срабаты­ вает. Задача состоит в определении вероятности сраба­ тывания порогового устройства за время t.

Рис. 4.8.

Поставленная задача эквивалентна задаче о вычис­ лении вероятности появления выброса случайного про­ цесса x(t) над переменным порогом Un(t)=E—b(t). При отсутствии сигнала порог становится постоянным: uu(t)=E. Согласно (3.157), (3.149) вероятность Р(х0, t) превышения за время t случайным напряжением x(t) уровня ua(t) находится по формуле

Если же существует поглощающая граница, то процесс

Для общности будем полагать, что в начальный мо­ мент to на емкости - С существует начальное напряже­ ние хо, так что

Для решения сформулированной задачи воспользуем­ ся известным в математической физике методом- [19],

149