книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

Уравнение нелинейной

фильтрации (5.83) обобщает­

ся и на тот случай, когда

процессы x(t) ,и r\(t) непре­

тера

усреднения

при получении

функции

<F(x, rj,

t)>:

dJ^fkll=Lvr

{ x ,

^ W

p s

{ x ,

ъ t)

+

где

4-oip, (X,

T), t) [F (X, -f], t)-<F

(X, -n, 0 > ] ,

(5.93)

Lpr (x, ij) = -

/С, (x,

t ) -

щК,

(т,, t)

+

+ 4 - -Ѣ к>

о + 4 - Ѣd-rfK"'

ъ

(5-94>

F (X, -n,t)~

№ [S (X) +

V Ш

-

[S (X)

+

V (7,)]=};

<

F (x, 7j, t) >

= j J

F (JC, ц, 0 ш р а

(x,

7],

0 djcrfiq.

(5.95)

d W v s § 0

=

(x) wvs(x,

t) +

wvs(x, t)

X

X[F(x,t)-<F(x,t)>],

(5.96)

где Lpr(x)

определяется

выражение

(5.63),

F (x, t) = ±.

[2ÉS (x) -

S2

(x)},

(5.97)

1 V

0

<F (x,

0 >

=

j

F {x,

t) wps

(x,

t) dx.

(5.98)

Очевидно,

соотношения

(5.96) — (5.98)

являются

обоб­

щением выражений

(5.67), (5.65).

В § 5.4 были сформулированы требования, удовлет­

ворение которых

обеспечивает

гауссовский

характер

апостериорной плотности wps(x,

t).

В связи с этим обра­

тим внимание на то, что если x(t)

н е л и н е й н ы м

обра­

зом входит

в выражение

для

сигнала

S(x),

то

указан­

ные требования

к виду функции F(x,

t)

не будут

выпол-

для плотности (5.96) в такой ситуации

не представляет­

ся возможным. Однако

при б о л ь ш и х

о т н о ш е н и я х

с и г н а л / ш у м характер апостериорной

плотности

таков,

что п р и б л и ж е н н о

ее можно все-таки считать

нор­

мальной |11].

неквадратического отклонения

апостериорной

плотности

o*x(t) функции КІ(Х, t),

Кг{х, t), F{x, t) будут

изменяться

незначительно. Это обстоятельство

позволяет

разложить

функции

Ki(x,t),

Kz(x,l),

F(x,t)

в

ряды Тейлора в ок­

рестности

точки

x*(t), ограничившись первыми членами

разложения. В

каждом

из рядов

следует

учитывать

мулированным

в § 5.4. Именно*):

КІ(Х) =/Сі (x*) +К'І(Х*)

; Щх) =Кг{х*) ;

(5.99)

F(x,

t)=F(x\

t) +F'(x*. t) (x-x*) +

+ 4zF"{x*,

t){x~x*y\

d-W=^

(x*) + <?(t) F' {x*, t),

(5.100)

S(x)=A(t)

cos[(ùot + <ço]=[A0+x(t)]cos

( W + Ф о ) ,

(5.102)

Ki(x, /)=*(*), К?(х,

/)-*,(*).

Согласно

(5.97),

(5.102)

функция F(x,t)

определяет­

ся выражением

F(x,t)

= ^ -

^ (t) [А0

+ X (О] cos Ы

+ %) -

-±.[А0

+ х(і)]*у,

- (5.103)

скания

фильтра)." Вычислив

производные F'(x,t)

и

F"(x, t)

при х=х*

и подставив

их значения вместе с ко­

эффициентами КІ{Х)

и

/Сг(^)

в

соотношения

(5.100),

(5.101), получим уравнения оптимальной фильтрации

Л " * = - ( а + ' ^ Ч К +

£

[с (*) cos

+

- 4 " Л о ] '

(5.104)

°

; = -

Ч 2

- л Н 4

+ % .

(5.105)

а * 2 _ А/р (Y — а) е2 Т'с — N, (т + Д ) ,

^ jQg)

1 +

ce2 1 '

AL

,

4аАг„ (у + «) -f

N«

W7" '

4 a A L ( r - ° 0 - A L '

ражение для апостериорной

дисперсии:

Ё стационарном режиме при /—ѵсо

(из (5.106) имеем

1 +

Л'

(5.107)

2а2 М,

Поскольку дисперсия а*" в

общем

случае зависит от

значение а*2 = const (5.107). В результате

соотношение

(5.104)

принимает вид

х*=

— уд:*+

2 - « 2 É(*)cosK* + ? 0

) - - 4

- 4 , . (5.108)

чения XÙO и фо известны

точно.

До сих пор изложение в настоящей главе велось при­

менительно к тому случаю, когда

фильтрации

подвергал-

-, -,

f

\-0,5А0

2Gp

Cos(ù)0t+g>)

NO

Рис. 5.3.

ся сигнал с

одним параметром,

модулируемым

о д н о ­

м е р н ы м марковским

сообщением. Причем

этот

пара­

метр являлся

е д и н с т в е н н ы м

случайным

параметром

н е с к о л ь к и м и случайными параметрами,

хотя

полез­

ным (несущим информацию

о сообщении)

может

быть

один. Каждый из случайных

параметров сигнала можно

х(1)

является

марковским

процессом,

то «

сам

много­

мерный процесс x(t)

также будет

марковским. Тогда вся

вышеизложенная теория обобщается

на

многомерный

случай [11].

Основной

практический

интерес представляет

тот ва­

риант, когда

все случайные

параметры

Xi(t),

..., xm(t)

сигнала S(x(i),

I)

описываются априорным

стохастиче­

ским уравнением вида

х» = %(*) + %(*)-

•

(5.109)

< ' ѵ ( « « ( у > = 4 ѵ ^ . - У '

г-

ѵ = і , 2 , . . . . т .

Изменение априорной плотности wpr(x,t)

случайного

вектора x(t)

определяется

многомерным

уравнением

Фоккера — Планка — Колмогорова ,(3.171)

dWpr{x,t)

= L p r W p r {

X t t )

i

(

5 Л

Ю

)

где

в соответствии

с

(5.109)

m

ш

^ = - Е Й ^ Л + - Г S ^ г ^ -

( 5

Л

1 1 )

ftHwg.O = L p r t g ) p s (

x

, t) + wps(x,

t)[F(x,

t)-<F(x,

f)>] ,

(5.112)

где

F{x,

t)=

ji-[2Ê(f)S(x,

t)-S2(x,

t)),

(5.113)

< F ( x ,

*)>

=

J . . . J f ( x ,

О^РЛХ. O^X-

(5-И4)

делить

оценочные

значения x*

(t) компонентов

вектора

x (t) и

кумулянты

К® (t)

апостериорного

нормального

распределения

m

Л

= М**> + Е * \ . ^ £ Я

(5.115)

ѵ=1

R.

= ± N

——ï ft /с*

* Ѵ ( х * }

- L У К *

^ ( х * }

+

i=i

i=i

нивается

дисперсией з*2(^) — К* (t). Обычно структуру

приемника

находят исходя их требования оптимальности

рассмотрении примера в настоящем

параграфе. Поэтому

уравнения

(5.115), (5.116)

упрощают,

заменяя

K*„(t)

на

их

стационарные значения

К* . Величины

JT*

находят­

ся

путем

применения

к уравнению (5.116)

операции

вре­

менного

усреднения

и последующего

решения

системы

уравнений [16].

вляют

обработку

сигналов,

модулированных

непрерыв­

ным случайным сообщением

по амплитуде (AM), фазе

(ФМ)

и частоте (4M) .

Будем полагать,

что

информационное

сообщение

x(,t)

описывается

стохастическим дифференциальным

уравиением

х =

— ах-\-пх

[t),

(5.117)

При таких предположениях вектор

x(t) имеет д&а

компонента: собственно сообщение

x(t)—xi(t)—инфор­

с частотой

2<йо равна

F (x* t) =

F =

J - JЙ (0 [Aa +

(01 cos [%t

+ cp* (0] -

- Л - [ А а + МАхЦі)Гу

(5.122)

Вычислим производные функции F, которые понадо­

бятся при .конкретизации уравнений (5.115),

(5.116):

^ = F V =

[Ä (0 cos Ы +

<p*) -

(Л0 +

Мл „**)];

d F — F 9 = — 7T И . + «

(0 si n

К ' + П

^ = F 4 9 = -

МАх*)Ці) cos(V + ? *);

w - = ^ = 2

^ ( ^ i n W + < P ' X >

К*хх = ^ - 2а/ С \ я -4-

^ +

усредненные по времени;

обозначив их чертой сверху.

Учитывая, что t(t) = S(x,

t)-\-n(t),

имеем

Кроме

того

(см.

§ 5.6),

ограничимся

рассмотрением

стационарного

режима, для которого

К*х^=К*чх=К*т=

= 0. Значения

кумулянтов

К% в

стационарном

режиме

также

обозначим

чертой сверху.

Тогда

вместо

системы

(5.125)

получим

(К*ХХУ Fxx

-

2аК*«+

V

Р„

+%=°:

Ä % ( Ä * ^ + Ä % / w - ; a ) =

0;

(5.126)

Решение системы

(5.126) находится просто

- * ' — % ( / й ^ і £ - ' ) . .

( ^ )

j j

* =

|

/ — І ^ Ц - ,

JE,*

= 0 .

(5.128)

_

2

дисперсии

К*хх

к величине априорной дисперсии ак

сообщения:

1

-

s

- = t = f ( / ' + ï - 1 ) -

Отношение

сигнал/шум q для A M можно записать

в виде

Тогда вместо (5.129)

окончательно

имеем

Ь\м =

2« (mV(l +

m2 )

( | / 1 +

4

( ? Г ^ і - 1 ) • ( 5 Л З ° )

Графики

зависимостей

3^Д( =

/(от, с), рассчитанные по

/77=

0,1

0,7

0,5

0,2

\о,з

0,3

f

2 3

5 7

W 20

ЗО 50

q,

Рис.

5.4.

вость когерентного

(N^=0)

и

квазикогерентного

N фО) приема оказывается одинаковой. Действитель­

но, если в

формуле

(5.127)

положить М А = 1 , то она

полностью совпадает с выражением

(5.107), полученным

+2Ж***щ

[Ці) C O S ( V + T*) — i - A

J .

(5.131)

? * = —

( A , + МАх*) т \ \ (t) sin Ы

+ T*).

(5.132)