книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

Напомним (§ 3.2), что понятие непрерывности свя­ зывается с требованием малого изменения координаты при 'малом .изменении времени. У диффузионных процес­ сов это требование удовлетворяется при б ее к о н е ч н о й мгновенной скорости, гари этом координата х не уходит в бесконечность из-за того, что воздействующая сила (белый шум) непрерывно меняет знак. Недифференци­ руемость одномерных марковских 'процессов обусловли­

3.9.Задачи о достижении границ

Как было 'показано выше, одним из основных пре­ имуществ аппарата марковских процессов является воз­ можность определения стационарного распределения процесса на выходе систем первого порядка (в том чис­ ле и нелинейных), если на их вход поступает белый шум. Однако имеется и другой класс практически важ­ ных задач, решение которых возможно с помощью тео­ рии марковских процессов — это задачи, связанные с до­ стижением границ.

Исчерпывающее решение подобных задач требует изучения самых разнообразных типов границ. При этом возникает ряд трудностей, поскольку вид границы существенным образом влияет на плотность распреде­ ления процесса «, следовательно, на его статистические характеристики. Особенно наглядно это обстоятельство иллюстрируется примерами с отражающими и погло­ щающими границами (см. рис. 3.3, 3.4). Более общими являются границы, обладающие свойствами полупогло­ щающих (нолуотражающих) экранов. С такого рода границами мы встречались в § 1.2 при рассмотрении дискретного блуждания частицы.

Применительно к непрерывным процессам полную классификацию границ дал В. Феллер [20, 21]. Процесс,

происходит мгновенное возвращение ее во внутреннюю часть интервала в некоторую' случайную точку, имею-

110

ее отыскания уравнение Фоккера — Планка — Колмого­ рова. При этом необходимо учесть новый вид граничных условий (3.148). Поскольку при дельтообразных началь­ ных условиях уравнение для одномерного распределения

qlx0,x,t,)

д.(ів,ха)=$(х-ос0)

\P/a,t3jâfx-aj I \p/s,ts)â/x~a) \P/o,t2}â(x-a) \Pla,t^â(x-aj\

ts t

Рис. 3.12.

совпадает с уравнением для плотности вероятности пе­ рехода, то вместо функции q(xo, х, t) можно рассматри­ вать ненормированную плотность вероятности перехода р{х, t\t0, х0). Функция р(х, 4\і0, х0) удовлетворяет урав­ нению Фоккера — Планка—-Колмогорова с граничными условиями

Заменив в (3.35) v(x, t\x0, to) на p{x, t\x0, t0) и проин­ тегрировав обе части уравнения но х в пределах от а

до b, имеем

(3.155)

В уравнении (3.155) положено, что коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, что обусловливает однородность марковского процесса. Поскольку для

то вместо (3.155) можно написать уравнение для вероят­ ности недостижения границ

Введем в рассмотрение вероятность Р(хо, t) того, что траектория процесса достигнет за время t границы а или Ь. Очевидно,

Уравнение (3.158) следует решать с начальным усло­

1шР£х9, t)=l.

Нетрудно заметить, что вероятность Р(х0, t) является интегральным законом распределения случайной вели­ чины— времени первого достижения границы из началь­ ного состояния Хо, так что решение уравнения (3.158) в принципе дает возможность определить искомую плот­ ность вероятности w(t) и все ее моменты. К сожалению, даже в -простых случаях решить уравнение (3.158) с ука­ занными траничными условиями не удается.

1 1 4 '

Определим среднее время Т — Т(а, хв, Ь) первого до­ стижения границы. Прежде всего отметим, что согласно (3.157)

Тогда

Т = < Г > = j tа я ( *- 0dt =

о

Здесь произведено интегрирование по частям и учтено

При решении (3.161) необходимо учесть граничные усло­ вия: если хй—а или х0 = Ь, то 7 = 0 . Заменой dT/dx0=u уравнение (3.161) сводится к линейному уравнению пер­ вого порядка

Решение (3.162) записывается в виде

где

Отсюда, переходя к переменной Т, получаем

(3.163)

115

Результат (3.166) впервые получен в работе {22] (см. также {23]), тде приведены и уравнения для моментов любого порядка времени достижения границ. Практи­ ческое использование этих уравнений, к сожалению, со­

При этом <p(z) = 0 и

т(Ь — х0)(х0 — а)

ï? •

116

(3.168)

где

Z

117

— интеграл вероятностей,

ч

В частном случае, когда границы симметричны (а = =—Ь) и х0=0, из (3.168) получаем

о

Известны и другие подходы к решению задач о до­ стижении границ. Среди них следует отметить метод от­ ражений крыльев плотности w(x, t) от границ [17] и ме­ тод 'вычисления вероятности перехода броуновской ча­ стицы через высокие потенциальные барьеры [24]. Оба метода иллюстрируются примерами, приведенными в § 4.7. Задачам анализа срыва слежения ъ различных радиотехнических устройствах посвящена книга [25].

3.10.Многомерные диффузионные процессы

Понятие непрерывного случайного процесса можно обобщить «а многомерный случай. Для этого необходи­

многомерную (размерностью Nn) плотность вероятности такого процесса можно записать в виде

«to„(x i- {>' х =' *N)- (3.170)

Если закон распределения вектора х,- в будущий мо­ мент tu вычисленный при условии, что в настоящий мо­ мент th значение вектора х^ известно, не зависит от того, какие величины принимал вектор Xj ъ прошлые моменты времени t-, то многомерный случайный процесс назы­ вается марковским.

Как и в одномерном случае, плотность вероятности перехода многомерного марковского процесса подчиняет­ ся уравнению Колмогорова — Чепмена, а многомерное распределение (3.170) выражается через произведение плотности вероятности Ші(хь ^і) и плотностей вероятно­ сти перехода u(Xj+l, U+i\Xi, ti).

118

деление многомерного диффузионного процесса не тре­

горова, записанное применительно к плотности вероятно­

ют системе линейных стохастических дифференциальных уравнений

где функции Fi и Ga(t) детерминированы и непрерывны, a tij(t) (/'=1, 2, ..., N)—белые шумы с одинаковыми

119