книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

Постоянная

времени контура

т к

характеризует ско­

рость изменения

огибающей A(t)

и

фазы (p>(t), поэтому

на основании (4.2) полагаем, что

скорость

эта значи­

тельно меньше скорости изменения

процесса

£(£). В этом

А > т к , A(t-b)3*A(t),

? ( / - Д )

(4.25)

Условия

(4.25)

означают,

что

величины

A(t—А)

и

Ф'(^—А), во-первых, статистически

независимы от

| ( 0

и, во-вторых, мало отличаются от значений A(t)

и <p(t).

Ввиду малости величины Дф функции yi(t)

и yz{t)

мож­

но представить в виде

Уі('і) =—W)

sin[oW+<Po + 9(?—A)]—

—

I

{t) Дф cos [cüo^ + фй + Ф (t—A)],

Y2 (0 = —I

(t) cos [соо^ + фо + Ф (t—A) ] +

4- % (t) Дф sin M

+ Фо+<р

—А)].

(4.26)

Приращение фазы Дф найдем из решения (4.20):

9 (f) -

t

д т

=

<Р(/ -

Д) = -

«о,

j " Jj-W. cos Ф (*')Л'=

о

д

= - ш ° J

c o s ф

(' + * ) d x -

( 4 - 2 7 )

—д

Если

учесть (4.25),

то

вместо

(4.27)

получим

о

Л? = - Ш \ 1 V + Х ) C 0 S К ' + Ш о* +

+ ?

( 4 - 2 8 )

—д

< Y ,

( О > = - <

* (О А « Р c o s К Н - Ѵ Ь ? ( é

-

Д)] > % .

(4-29)

<

T2 (0 > =

<

S (0 A<p sin [m0f +

cp„ +

?

-

Д)] >

v

(4.30)

где скобки <

>

означают обычное

усреднение

по ан­

самблю реализаций, а скобки <

>

<р0

указывают на

усреднение по фазе фо.

Подставим

(4.28) в

соотношение

(4.29)

и

проведем

преобразования:

о

<

L (9 >

=

j

< И (f) S (* +

*) cos К * +

сро

+

—д

? (0] > % dx =

+

Т (f -

A)] cos [%1 + ш0л- +

«р0

+

о

= Щ ? г |

^ M 0 ^ C +

^ ) { c o s K ^ +

A?)

+

—Д

+

cos 2 [ ш 0 * +

- і - ш0л- +

? і +

? ( 0 ] }

о

=

2 ^ Г

j-д «о ü (9 ü С + * ) cos (ш0х

-f•

Л?)

=

= Щ ) j ^ w

c o s ш ° х - <

5 ( / ) * ( ' + л )

х

[ < Т . ( 0 > = 2 } С 7 Л " j

^ ( X ) C O S C B 0 X ^ =

_ д

о

= MW \ ^(x)cos%xdx

= smS(f0),

(4.31)

9*

131

выполняется

соотношение

k^(A)=0,

поэтому

нижний

предел —>Д

заменен

на

—оо. Если

теперь

провести

усреднение функции

уг(0>

то можно

получить

< Ѵ * ( 0 > = 0 .

(4.32)

дит функция yi(t),

обладающая малым (временем

корре­

ляции

и

математическим ожиданием

S(fQ) =<а0 /8Л (t).

Чтобы

привести уравнение (4.23) ік каноническому

виду,

необходимо заменить процесс уі(і)

на эквивалентный бе­

лый шум.

Обозначим

yt{t)-<yi(t)>[=ni(i),

(4.34)

где rii(t)

—-процесс со свойствами

белого

шума:

<

n, (t) > =

0; < n, (t) пх (t +

т) >

=

S (т).

(4.35)

оо

= f ^(V)cosu>0TtfT==4-S(f0).

(4.36)

Л = - а Л + - ^ г + «ѵг1 (0.

(4.37)

К1(А)

= - а А - \ - ^ г ,

^(А)

= ш20^,

(4.39)

а затем уравнение

Фоккера — Планка — Колмогорова

dw(A, t) _

д (

с \

, л

А

i ш о< Ѵ оі дЧе (Л,

t)

dt

M [ - a A + 2 Â ) w ^

') + —

(4.40)

формуле

(3.132):

А

(А')(А') dÄ

А • ехр

шс т (А)

= Кг {А)

ехр

IКг

2 в а

L

0

где

а 2 =

^ = - Г ( Э ш о 5 ( / о ) .

А^О.

тура при воздействии «а него

широкополосного

шума,

распределена по закону Релея.

Решение нестационарного уравнения

(4.40)

доволь­

но сложно [4]. Если

предположить, что в

некоторый мо­

мент времени t±

огибающая

A {t) имеет

значение

A(ti)=Au

находящееся внутри

интервала

(а, Ь),

то по

формуле (3.166) можно вычислить среднее

время дости­

жения границ. Используя

(4.39)

и

выполняя вычисле­

ния, получаем

T^T(a,Al,b)

=

- ± {

[

i n \ ^

\ X

Из (4.41) найдем

соотношения для

частных случаев:

Т (О, А„

Ь) = lim Т (а, Д ,

6) =

а-*0

- т М / т - Д - / - ! - » ) -

In

Г (a, Av

oo) = l i m 7 > „

Л,, £>) = •

•In

При выводе

последних

выражений

интеграл J (а, ß)

вычисляется

с

помощью разложения

подынтегрального

выражения в ряд.

раметров гармонических

колебаний

[2,

4]. Для

этого

обратимся

к

рис. 4.2,

где

+k(t) изображена схема генерато-

ра

с

трансформаторной

связью

между

сеточной и

анодной

цепями. На

рисун­

ке помимо элементов

конту­

ра

обозначены: / — анодный

ток лампы,

представляющий

собой сумму среднего значе­

ния

< / > = / 0

и

флюктуаци-

онной

составляющей

\(t);

Рис. 4.2.

г) — ток в индуктивной

цепи

контура;

M — коэффициент

взаимоиндукции

между

анодной л

сеточной

катушками;

ие — напряжение

сетка — катод.

Для напряжения на контуре имеем

уравнение

b j +

/?4

=

- i - j ' ( / - T | ) < f r |

(4.42)

И Л И

-

, /

?

• ,

1

1

,

(4.43)

LC

/0 .==s«g

(4.44)

/ 0 = я Л Г і - - | - Ж Ѵ .

(4.45)

С учетом

(4.45)

уравнение

(4.43)

преобразуется

к виду

г,- + $

RCv +

« и = % [sMy -

- f Ж3-/]3 ] +

(О

или

Ч + « о ^ =

ш* ^ ( 5 М - і ? С ) - - ^ М Ѵ ] + с о ^ ( ^ ) .

(4.46)

Введем обозначения:

Л = 2 1 / ^ ^

=

2 , / ^ .

e = u0(sM-RC),

7 , , = - ^ .

(4.47)

Тоііда вместо (4.46)

Чі + шо іі ^«"оіі

- ^ 2 і 2 j + Л 7 6 О '

(4.48)

гии с (4.7), (4.8) представим

в виде квазигармо­

нического колебания со случайной амплитудой

A (t) и

фазой Ф(і):

i\i(t)=A(t)cosO(t),

(4.49)

Ф(0=юо*+<Рй+<р(0.

(4.50)

и в соответствии с (4.12)

положим

4, = —(v4(*)sm®(/).

(4.51)

Очевидно,

что при этом

остаются

справедливыми соот­

ношения

(4.13) —(4.16).

Подставляя (4.15),

(4.16)

в выражение (4.48), с учетом замены ц на

получаем

* - і і ( і ~ £ ) - # и « .

\ < 4 - 5 3 '

Если в (4.52), (4.53) подставить (4.49),

(4.51), то

щих

гармонические

функции

с аргументами

пФ(і)

(п>\),

можно

получить

укороченные

уравнения

лампо­

вого генератора:

А =

^

(1 _

Л2 ) - J

S (t) sin Ф (0.

(4.54)

9 = -^ЩсовФ(Г).

(4-55)

Для

стационарного

режима

(Л=0)

при

отсутствии

флюктуации

(l(t)=Q)

из (4.54)

находим

< І 4 > = +

1,

(4.56)

поскольку /4^0 . Кроме того,

при

1 ( ^ = 0

случайный

набег

фазы

ср(0>

обязанный

своим

происхождением

колебанию £(£), также равен

нулю.

Поэтому

соглас­

но

(4.50)

Ф(0=<оо*+<ро,

(4.57)

где

<ро — по определению случайная

начальная

фаза, не

зависящая от

Для того чтобы

отдать предпочтение

ление

на интервале

{—я,

+jt]. С

учетом

выражений

(4.47),

(4.56),

(4.57),

для

стационарного

режима ток

в контуре т|(^)

без учета флюктуации

представим в виде

ны Аа, .которая

представляет

собой установившееся зна­

чение амплитуды тока ц (t).

Рассмотрим

флюктуации

амплитуды. По

аналогии

с (4.19) осуществим замену

уравнения (4.54),

повторяя

^ Т ^ ^ + і і + ^ " , (0.

(4.59)

/C1 (A) = ^ ( A - A ' ) + 4-gJ-l

(4.60)

t»e T (A) =

^-exp

| — ^ - ( Л ' - l ) « ] , .

(4.62)

где К вычисляем

из

условия

нормировки,

C=ck,

fe=const.

wCT(A)

Характер распределения

показан на рис. 4.3.

>02 >і V

у

О

0,5

1,0

1,5

а=АІА0

жении малости флюктуации анодного тока

ее по­

ведение

описывается дифференциальным

уравнением

вида

. ? =

- ^ ( ' ) с о 8 ( ( у +

с?0),

(4.63)

причем

дисперсия

приращения

фазы

Дер растет пропор­

ционально времени наблюдения

Г [4, 2]:

a\y — kT, k =

const.

(4.64)

1.

Параллельный

контур

под воздействием

сигнала

и шума [5, 2]. Пусть

на контур LCR

(рис. 4.1)

помимо

белого-^шума n(t)

поступает

еще сигнал от автогенера­

тора,

обладающего

определенной

нестабильностью.

Вследствие этого

сигнал s(t)

можно

записать

в виде

і"+2аті + Ш ; т і = «о*[5(0 + л(0]-

(4-65)

Будем

полагать,

что добротность

контура

высока,

а

расстройка между

частотой сигнала со и

резонансной

частотой

контура «о мала,

т. е. |ш—шо|=Ао-Смо. При

таких условиях

ток

т) (t)

молено

представить

в виде

квазигармонического

колебания

со

случайной

фазой

и

амплитудой

r\ (t) =5(f)cosi[co/+o|)o + ip(0]-

Применяя

кдвум укороченным

уравнениям для амплитуды и фазы:

В =

-

a ß -

^

sin [ф (0 +

Ф0 -

<р (t) -

90]

-

_ т

Л ( * ) 8 Н і К + ф0 + ф(/)];

(4.66)

Ф =

Д 0 -

cos [ф(0 +

Фо -

?(0 — 90 ] —

- - ^ д ф с о в К +

Ф. +

Ш .

(4.67)

Из последнего уравнения

при отсутствии шума

(n(t)=0),

положив

предварительно

^ = 0,

находим

стационарное

значение разности фаз

Фет —<Pct = arccos^ - .

(4.68)

При А 0 = 0 из (4.68)

имеем

> « = = ? « —-тр-

(4.69)

туре отличается

от среднего

значения фазы сигнала

на я/2. В более

общем случае,

когда АофО, из-за реак­

чие, определяемое

(4.68).

Для удобства

анализа обозначим

y(t)+tya-*p(t)—w

+ n/2=%(t) =%.

Тогда вместо (4.67) получим

і = д о - w s i n * - * - т

c o s И + *° + Ф

<4-7 °)