книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи
.pdfспектральными плотностями /Ѵо/2, то коэффициенты сно са и диффузии определяются соотношениями
КІ{Х, t)=Fi{-x, |
/ ) ; |
(3.175) |
N |
|
|
*<i(0 = ^ J ] G f t ( ' ) G i f c ( 0 . |
(3.176) |
|
Ограничение, связанное с равенством спектральных плот
ностей для всех шумов nf(t), |
не является существенным. |
Из дальнейшего будет ясно, |
что наиболее интересный |
для практики случай имеет место, когда в системе (3.174) имеется лишь один белый шум n(ty.
Решение многомерного уравнения |
Фоккера — План |
|||
ка — Колмогорова представляет собой |
более |
сложную |
||
задачу, |
чем решение |
одномерного уравнения. |
Однако |
|
в одном |
частном, но |
важном случае |
удается |
получить |
общее решение многомерного уравнения. Именно: если
коэффициенты сноса — линейные функции |
пространствен |
||||
ных координат |
|
|
|
|
|
|
КІ |
(t, x) = £ ацхі |
(t) + atf |
. |
(3.177) |
а |
коэффициенты |
диффузии — постоянные |
величины |
||
|
|
/ ( „ • ( / ) = const, |
(3.178) |
||
то |
многомерный |
процесс x(t) |
является |
н о р м а л ь н ы м |
|
процессом [2, 5, 7, 9]. При этом |
любой компонент |
много |
|||
мерного марковского нормального процесса в стационар ном режиме обладает дробно-рациональной спектральной плотностью. Справедливо и обратное утверждение: если нормальный процесс имеет дробно-рациональную плот ность, то его можно рассматривать как компонент много мерного марковского процесса.
При выполнении условий (3.177), (3.178) система сто
хастических уравнений |
(3.174) примет вид |
N |
N |
|
(3.179) |
Сформулированные положения, доказанные впервые Дж . Дубом, весьма важны по той причине, что реальные стационарные процессы, с которыми приходится иметь
120
дело в приложениях, часто характеризуются нормальным законом распределения, а их спектральные плотности хорошо аппроксимируются дробно-рациональными функ циями. Следовательно, такие процессы можно рассматри вать как компоненты многомерных м а р к о в с к и х про цессов, и при их исследовании можно применять методы марковской теории.
Как было выяснено выше. (§ 3.8), одномерные мар ковские процессы недифференцируемы. В то же время характерной особенностью реальных процессов является их дифференцируемость, вызываемая' инерционностью реальных устройств. В связи с этим возникает вопрос о создании математической модели, которая полнее отра жала бы свойства реальных процессов. Такую модель можно создать на основе •многомерных диффузионных процессов. Для этого обратимся к системе (3.179) и ограничимся сначала простейшим случаем N=2. Посто янные коэффициенты в (3.179) зададим таким образом,
что система уравнений примет вид: |
|
||||
^ |
= « „ * , + « „ * я + О / г ( 0 ; |
(3.180) |
|||
|
*щ-=хх. |
|
|
(3.181) |
|
Подставляя |
(3.181) |
в (3.180), |
получаем стохастиче |
||
ское дифференциальное |
уравнение |
в т о р о г о |
порядка |
||
или, обозначив |
|
|
|
|
|
|
x2{t) = |
x[t), |
|
|
|
? * . - a t l % - a l |
t x = |
Gn(t). |
(3.182) |
||
Процесс x(t) |
в уравнении (3.182) описывает выход |
||||
ное колебание динамической системы второго |
порядка, |
||||
на вход которой |
воздействует |
белый шум n(t). |
Следует |
||
отметить, что x(t), будучи компонентом двумерного диф фузионного процесса, сам по себе марковским процессом не является. Действительно, для решения уравнения вто рого порядка (3.182) необходимо задавать в начальный момент to не только значение координаты хо, но и ее про изводную ^ . Однако задание производной (ско-
роста) равносильно заданию д в у х значений х в близкие
121
моменты времени, например x(t0) = Х о и x(t0—t) |
=хй—Ах, |
||
поскольку |
dx/dt = |
Um(Ax/x). |
|
|
|
t-*0 |
|
В этом |
случае |
процесс x(t,) в «будущем» |
(t>t0) за |
висит не только от «настоящего» (to), но и от «прошло
го» (to—г). Следовательно, |
марковское |
свойство не удов |
|||||
летворяется и процесс x(t) |
не является |
марковским. Из |
|||||
ложенные |
соображения, |
конечно, |
относятся |
(и даже |
|||
в большей |
степени) к процессам, описываемым диффе |
||||||
ренциальными |
уравнениями |
более |
высокого |
порядка. |
|||
Из корреляционной теории случайных процессов (см., |
|||||||
например, (7]) известно, что для определения |
спектраль |
||||||
ной плотности |
стационарной |
функции |
y(t\), |
связанной |
|||
с другой функцией z(t) уравнением вида:
* ( 0 = К Sr У (0 + К - g ^ r у {t) + .-.• + ьту (t) =
=Pm{^)y{t),
необходимо разделить спектральную плотность Sz(co) на квадрат модуля полинома, получаемого из Pm(d/dt) за меной d/dt на /со, т. е.
5 » < " > = т а т - |
( 3 - 1 8 3 > |
На основе (3.182), (3.183) легко находим спектральную плотность процесса x(t)
5 * > ) = W ^ T - |
( З Л 8 4 ) |
По аналогии с (3.180), (3.181) "можно составить си стему из N' уравнений
dx |
|
|
|
|
|
(0; |
—= .л+ .2^ + • • •+ ,л + |
|
|||||
dt |
а |
а |
3 |
а |
G n |
|
dt |
= |
*,; |
|
|
|
(3.185) |
dx |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
• |
|
|
|
|
которая эквивалентна стохастическому дифференциаль ному уравнению N-ro порядка
dNxN |
d»-% "N-2~ |
..-amxN=Gn(t). |
(3.186) |
||
dtN |
1 1 dtN~l |
1 2 dtN~2 |
|||
|
|
||||
122
Применяя к (3.186) |
формулу |
(3.183), находим |
спектраль |
||||
ную плотность компонента |
Хк(і): |
|
|
|
|
||
|
Sx |
(«) = • |
G* |
ff. |
|
(3.187) |
|
|
|
|
|
||||
Физически |
соотношения |
(3.185) — (3.187) |
описывают |
||||
выходной процесс xN(t)=x(t,) |
линейной системы Л/'-го |
||||||
порядка, на |
вход |
которой поступает белый |
шум |
n(t). |
|||
В силу линейности системы и нормального |
распределения |
||||||
белого шума |
выходной процесс x(t) |
будет |
нормальным. |
||||
,y(t) H А |
x(t) |
n(ti |
|
yd) |
|
x(t) |
|
>• |
|
|
|
|
|||
о) |
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.13. |
|
|
|
|
Но нормальный процесс с |
дробно-рациональной |
спек |
|||||
тральной плотностью является компонентом многомерно го марковского процесса, причем общее число компо нентов N равно степени полинома, стоящего в знамена теле выражения для спектральной плотности (3.187).
Если процесс x(t), сформированный линейной систе мой ІѴ-го порядка, подать на вход другой линейной си
стемы т-го порядка, то выходной |
процесс последней |
будет компонентой (JN + m)-мерного |
нормального мар |
ковского процесса. Это обстоятельство важно в следую
щем |
отношении. Пусть имеется |
некоторая |
система А |
|||
т-го |
порядка |
(рис. 3.13,а), |
на вход которой |
поступает |
||
случайное колебание |
y(t) |
со свойствами, далекими от |
||||
свойств белого |
шума. |
Необходимо |
вычислить |
основные |
||
характеристики выходного процесса x(t).
Если подобрать такую систему В (рис. 3.13,6) /-го порядка, на выходе которой под воздействием белого шума п(і\) образуется колебание y(t), то x(t) можно рас сматривать как компонент (т + 1)-мерного диффузионно го процесса и применять к его исследованию теорию мар ковских процессов.
Многомерные диффузионные процессы целесообразно использовать и при анализе нелинейных систем [7]. Пусть система А (рис. 3.13) нелинейна и уравнение, связываю-
123
щее ее выход и вход имеет вид:
^ |
+ |
с , |
*£*+\..\+ст_х%+f(x)=y{t), |
|
|
|
(3.188) |
||
где f(x) |
— нелинейная функция. |
|
|
|
|
||||
Если выбрать указанным выше способом линейную |
|||||||||
систему |
В, то процесс y(t) .будет |
иметь |
дробно-рацио |
||||||
нальную плотность и, следовательно, может |
рассматри |
||||||||
ваться |
как компонент |
/-мерного |
диффузионного про |
||||||
цесса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
у _ „ |
. d x |
—dli±i. |
— 1l • |
|
|
|
|
|
|
5 - =% - =у г + 3 ; -- . '•• • |
|
(3.189) |
||||
|
|
|
rf/™-1 |
~~ |
dt |
—Уі+™> |
|
|
|
вместо |
(3.188) получаем |
уравнение |
|
|
|
||||
%* |
= - С^'+™ - - |
- с |
' - f (Уі») + Уі- |
(3.190) |
|||||
которое |
в совокупности |
с уравнениями |
(3.185), (3.189) |
||||||
составляет |
систему |
1 + т дифференциальных уравнений |
|||||||
первого 'порядка, в .правую часть одного из которых вхо
дит белый |
шум. |
Следовательно, |
каждая из функций |
|
Ui(t) ( і = 1 |
, 2, |
1 + т), в том числе, конечно, и x(t) = |
||
=yi+i(t,), |
является компонентом |
(/ + т)-мерного марков |
||
ского (но уже не нормального) процесса. Это очень важ ное положение. Оно свидетельствует^о том, что задача
определения |
закона распределения |
функции на выходе |
|
существенно |
нелинейных систем |
п р и н ц и п и а л ь н о |
|
разрешима для широкого класса |
задач, охватывающего |
||
многие практически интересные |
случаи. |
||
К сожалению, реализация изложенной схемы исполь зования многомерных диффузионных процессов для опре деления характеристик выходных колебаний разнообраз ных динамических систем сопряжена с преодолением зна чительных математических трудностей, связанных с ре шением многомерного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова. В литературе известно несколько типов стохастических дифференциальных уравнений, для кото рых д в у м е р н о е уравнение Фоккера — Планка — Кол-
124
могорова имеет решение. Мы перечислим эти случаи, сле дуя [9].
Если случайный процесс описывается дифференци альным уравнением второго порядка
a S " + $ - = |
|
/(•*) + «('). |
|
(3.191) |
||||
где а — .постоянная; / — непрерывная |
функция, |
то ста |
||||||
ционарное двумерное |
распределение |
для |
х и x = dx/dt |
|||||
имеет вид: |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 XS |
4 Г |
|
1 |
|
||
|
|
|
Jv7 + |
T / - f W ^ ' | . |
(3.192) |
|||
Интегрирование |
(3.192) |
по х |
дает |
|
|
|
|
|
wc?(x) |
= const ехр 1-^- |
j " / (x') dx' |
\. |
(3.193) |
||||
Для уравнения (3.191) с помощью метода Фурье удается также получить в виде сложного функционального ряда плотность распределения в переходном режиме.
В том случае, когда процесс описывается уравнением вида
fgL + e Ä ( x x)-f(x)=V7n(t),. |
(3.194) |
|
где 8 — малый параметр; h и f— непрерывные |
функции, |
|
то соответствующее двумерное |
уравнение Фоккера — |
|
Планка — Колмогорова сводится |
специальным |
приемом |
к одномерному уравнению, которое затем можно решить.
Наконец, |
дифференциальному |
стохастическому |
урав |
нению |
|
|
|
^ |
+ [ 1 + № (x)] % |
- / (x) = п (t), |
(3.195) |
где и.2 —постоянный параметр, соответствует стационар ная плотность, определяемая выражением:
шс т (х) = const ехр J j " / (х')[ 1 -f- yrh {х')\ dx'-\-^3h (x)
Указанные виды дифференциальных уравнений (3.191), (3.194), (3.195) описывают лишь незначительное
125
число конкретных динамических систем, поэтому в боль шинстве случаев для решения многомерных уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова следует использовать вычислительные машины.
. 4
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
4.1. Вводные замечания
При анализе работы разнообразных радиотехнических устройств приходится учитывать действие различного рода внутренних и внеш них шумов. В большинстве случаев физическая природа шумов позволяет рассматривать их как непрерывные случайные процессы, что обусловливает широкое применение теории случайных функций при решении конкретных задач.
Общую теорию случайных функций можно условно разделить на три раздела: корреляционная теория, теория многомерных рас пределений и теория непрерывных марковских процессов. Использо вание корреляционной теории оказалось особенно плодотворным при исследовании линейных систем. Теория многомерных распределений нашла свое применение при анализе выбросов случайных процессов. Аппарат непрерывных марковских процессов более универсален, чем выше указанные теории, поскольку с его помощью можно и анали зировать работы линейных систем и вычислять некоторые характе ристики выбросов случайных процессов. Кроме того, этот аппарат позволяет:
—определять плотность вероятности процесса иа выходе нели нейной системы;
—вычислять специфические характеристики нелинейных систем
путем решения задач о достижении границ.
В настоящей главе рассматривается ряд конкретных радиотех нических примеров, которые иллюстрируют основные преимущества теории марковских непрерывных процессов. В большинстве случаев исследуемое колебание представляется в виде одномерного марков ского процесса. Последнее обстоятельство требует привлечения бе лого шума в качестве математической модели входного случайного колебания. Как указывалось в § 3.4, реальный случайный процесс с временем корреляции т„ можно аппроксимировать белым шумом
лишь в том случае, если величина і к много |
меньше постоянной вре |
мени системы т с . Соблюдение этого условия |
специально оговаривает |
ся в каждой рассматриваемой ниже задаче. |
|
4.2. Воздействие шума на параллельный колебательный контур
Рассмотрим задачу о воздействии флюктуационного тока на параллельный колебательный контур [1], состоя щий из конденсатора С и катушки индуктивности L 126
с омическим сопротивлением R (рис. 4.1). Случайное воз действие представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с характеристиками:
< |
6 (*)"> = О, Іг^) |
= <Ці)Ці + |
ъ)> |
= с>Я(ъ), (4.1) |
где а2 |
— дисперсия, R(x) |
—коэффициент |
корреляции. |
|
Предположим, что спектр 'входного |
колебания значи |
|||
тельно шире полосы пропускания контура. Это условие эквивалентно следующему
|
00 |
|
|
zK=^R(x)dx^rc=^-, |
(4.2) |
так что ток £,{t) |
о |
|
можно рассматривать как |
белый шум |
|
со спектральной |
плотностью, определяемой |
выражением |
(3.61). |
|
|
Обозначим ток в индуктивной ветви контура |
черезy\(t) |
|||||
и запишем очевидное |
равенство |
|
|
|||
Отсюда получаем следующее |
уравнение |
|
||||
i + f |
і + т ^ = т г г * - |
( 4 - 3 ) |
||||
Введем параметры контура: |
|
|
|
|||
2 |
|
1 |
I |
R |
(4.4) |
|
ш о = Т с г > |
а = = ^ Г = 2 Г |
|||||
|
||||||
Тогда вместо (4.3) |
имеем |
|
|
|
||
Ч + |
2ач + со*і| = а£б. |
|
( 4 5 ) |
|||
Соотношение (4.5) представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка, которое является частным случаем уравнения (3.191). Поскольку для (3.191) известны решения (3.192), (3.193), то можно просто найти закон распределения мгновенных значений
тока r\(t) (этот закон |
будет |
нор- |
|
|
|
||||
мальным). Однако |
в |
узкополос- . |
. |
ffiA |
|||||
ных |
колебательных |
системах про- |
I |
j |
|||||
текают |
процессы,- |
имеющие |
ха- |
k,.i |
J,,, |
* |
|||
рактер |
квазигармонического |
ко- |
J |
|
|
||||
лебания |
со случайными амплиту |
|
|
|
|||||
дой и фазой, и основной |
интерес |
|
|
|
|||||
для |
исследования |
представляют |
|
|
|
||||
не |
свойства мгновенного |
значе- |
|
Рис. 4.1. |
|||||
127
ния 11 (t), а •статистические характеристики огибающей и фазы. В связи с этим осуществляется переход от диффе ренциального стохастического уравнения второго по рядка (4.5) к двум стохастическим уравнениям первого порядка для огибающей и фазы.
Итак, предположим, что колебательный контур обла дает большой добротностью
Q = ^ = - g - M . |
(4.6) |
В этом случае флюктуационный ток r\ (t) можно пред ставить в виде квазигармонического колебания со слу чайными амплитудой А(і) и фазой Ф(і):
i\(t) = A (t) cos <D(t); |
(4.7) |
Ф(0=Фо+ю0 г:+'<р(0. (4.8)
где A (t) и q>(tf)—медленно меняющиеся случайные функции времени по сравнению с основным колебанием контура cos a0t; <ро — случайная начальная фаза, не за висящая от внешнего воздействия £(0-
Как известно (см., например, [2', 3]), огибающая узкополосного колебания определяется соотношением
|
|
Л(0 = |
1 / > ( 0 + ? ( 0 . |
(4.9) |
||
где |
т) (t) — так называемый сопряженный процесс, |
кото |
||||
рый |
связан |
с процессом |
т\ (t) парой |
преобразования |
Гиль |
|
берта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
оо |
л |
|
|
|
— 8 |
|
—°° |
|
|
Согласно первому из соотношений (4.10) |
|
|||||
|
|
і ( 0 = |
- А ( 0 з і п Ф ( 0 . |
(4.11) |
||
Вычисляя |
производную |
r\ = dy\/dt |
и |
пренебрегая |
при |
|
этом производными от медленно меняющихся функций A(t) и фі(0 легко заметить, что
1 i = (D0 î(0 = -(o0 i4(Osin®(0- |
( 4 - 1 2 ) |
|
Из |
'выражений (4.7), |
(4.8), |
(4.11) |
получаем формулы |
||||||||||
|
для огибающей и фазы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
. |
~ |
|
|
|
|
Лг = |
7Г + |
4 - , |
|
- |
|
(4.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
ш о |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
»= |
_ ( р о _ ш 0 |
/ _ arctg^L - |
|
(4.14) |
|||||
|
Продифференцировав |
(4.13), |
|
(4.14) |
.по времени, |
имеем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А=-Іти |
+ <ті)' |
|
|
|
(4-15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
V = - ^ Ü + < ^ |
|
|
|
( 4 Л 6 ) |
||||
|
Подставив в уравнения (4.15), (4.16) соотношения (4.5), |
||||||||||||||
|
(4.7), |
(4.12), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
А=-аА\\ |
— соз2Ф(*)] —ш^ДОипФр), |
(4.17) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
? = asm2O(0--^4(0cos4?(0. |
|
(4.18) |
|||||||
|
|
В |
связи |
с тем, что контур |
по условию (4.6) высоко |
||||||||||
|
добротный, |
в нем происходит |
эффективная |
фильтрация |
|||||||||||
|
высших гармоник, которые, следовательно, не могут |
||||||||||||||
|
оказывать существенного влияния на процессы в кон |
||||||||||||||
|
туре. |
Это |
обстоятельство позволяет |
отбросить |
члены, |
||||||||||
|
содержащие |
гармонические |
|
составляющие |
удвоенной |
||||||||||
|
частоты, так что вместо |
(4.17), (4.18) |
получаем следую |
||||||||||||
|
щие у к о р о ч е н н ы е |
уравнения: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
À |
— ~aA |
— a>£ (t) sin Ф (t); |
|
(4.19) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
<р = |
- - ^ ( г ) с о 5 Ф ( 0 . |
|
(4.20) |
|||||
|
1 Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Т.(0 = |
- Ч 0 8 т Ф ( г ) = |
- 6 ( 0 8 ш [ ? в |
+ |
ш0^ + |
т(0], |
(4.21) |
|||||||
' |
Т2 |
(t) = |
- |
1 (t) cos Ф (t) = |
- |
Е (t) cos [<p„ + |
mtt + |
? (*)]. |
(4.22) |
||||||
|
Тогда вместо (4.19), (4.20) имеет дифференциальные |
||||||||||||||
|
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i4 = |
- o 4 + |
aie T l (0. |
|
|
|
(4.23) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
? = - Х Т . ( 0 . |
|
|
|
(4.24) |
|||
в которых воздействующими случайными колебаниями служат процессы уі(0 и уг(0-
9—186 |
19Q |