книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

dwVa'{x,

і)>-c=Lpr

(л) wvs

(X,

t) +

[F (X, t)

-

dt

-<F(x,

t)>}wps(x,

t).

(5.67)

Это

основное

уравнение,

которое было

получено

Р.

Л.

Стратоновичем

[4—6].

Оно,

очевидно,

включает

в себя частные случаи

(5.49), (5.60), (5.61). Пример мо­

делирования уравнения (5.67) для простейшего

дискрет­

ного процесса

( N = 2 )

>был приведен

в предыдущем

па­

раграфе. При N>2

необходимо согласно (5.60) строить

іѴ-канальное устройство, которое должно в

к а ж д ы й

момент времени t вычислять все N апостериорных

веро­

ятностей WpS(xj,

t).

За .оценку

переданного

сообще­

ния

принимается

то мгновенное

значение

Х*І(І),

Д Л Я

риант,

когда

уравнение для

плотности

вероятности

(5.67)

б е з п о г р е ш н о с т е й

заменяется

на уравнения

для конечного

числа параметров. Это возможно, когда

Если априорный процесс является нормальным [для

этого

необходимо, чтобы Кі(х,

t)=ax+b

(a,

b = const),

Къ(х,

t) =const (ом. § 3.8)], то апостериорная

плотность

будет также нормальной в том случае, когда

функция

F(x,

t) представляет собой полином от

х

степени,

не

выше второй [6, 12]. Последнее

положение

основывается

на следующих соображениях. Если

подставить

функцию

2°2

(0

} ,

(5.68)

где

in(t) и <32(t) —математическое

ожидание

и диспер­

сия

апостериорной плотности,

в уравнение

(5.67),

то

в левой части после взятия производной

по t

будуті

чле-

дЧврДх, i)

d-\nwps{x,

t)

I /ô Intop,(x, I)

lu wps (X, t) = -

-

i - ln & -

-

i - In s2 (0 -

j £ i

^ ô ~

Тогда

из (5.61)

получим

-

°3

(0 +

m [i)f + ^

à

. { x _ m {t)Y

=

= aa2

(^) — a,t [л — m (/)] -f- — -f-

•

AL

[JC -

m (Ol2 +

32

(0 [25 {t) X - x~],

(5.70)

•(0

m(t) = x*,

a2(t)=a*2.

С учетом новых обозначений из

(5.70) получаем

X* = ах* + 4Іг X* -

-£=r х* +

^ С - Щ,

(5.71)

—

ѵ О

а*2 = ; * 2 ^ - І У Л ^ + Л Ѵ Ѵ ,

(5.73)

ляется линейным, что находится

в полном

соответствии

с общими

представлениями: фильтрация

нормального

процесса

из другого нормального

процесса

осуществля­

13*

183

дискретных марковских

процессов x(t), r\(t) [14].

Вывод уравнений фильтрации будем производить по

методике [5] *>.

По аналогии

с § 5.2

рассмотрим трехмерный маркое- .

скин

процесс [%(t), x(t),

r\(t)\ который

подвергнем

дис­

кретизации. Дискретный процесс [%т, хт,

г\т]

будем

ха­

рактеризовать

начальной

Wo(£,o, Хо, щ)

и

переходной

v(îh,

Xh, r\k/i,h-i,

Xh-u *\h-i)

плотностями

вероятностей.

Wps{xm+V

m + l ) =

Yi

Щв{хт+г.

тіт+ 1 . m + 1 ) .

1 ш + 1

Упростим

обозначения:

S(xJt')=S(x),

V(-r\Jt)

=

V(r\);

Xh-i,

Цк-і]

= [І', x',

11'],

[lh, Xh, щ]=[1,

x,

T)]

и заме­

тим, что двумерный процесс [x(it),

r\{t)]

характеризуется

априорным

уравнением

дщгІ»,-п, { ) = Ь

р г { х 1

Шрг

{ х > Чі

t),

(5.75)

где Lpr(x,

t]) — некоторый априорный

оператор.

По аналогии с (5.57) плотность вероятности

перехода

из состояния [|'

х', г\'] в

состояние

[£,

х,-і\]

за

время Ai

V(6,х.ц\Ѵ,

X ' ,

т,') =

[§,,,

+

А а ( X ! х ' ) ] [ 8 ч Ѵ

+

+ Д*Я (TJ

I т)')]

ехр {

[Ç - 5 (X) -

V

} .

или в иной

форме

X,

л',

7)') =

/ ^

[

8

^ ,

8^, +

Д Щ х , т,|х",

где

(5.76)

Л

(X, 7, J X',

у )

=

ехр

/

- [

Е

-

S

(X) -

V ( T , ) ] 2 J

X

X [ M ^ : | ^ ) 8 w + A ( 4 | V ) 8 ^ ] + - i r X •

Х {ехр ( - ^ - [5 -

Six)

-

V (T,)]2) -

1} Ьхх, 8 ^ .

(5.77)

Подставим

(5.76) в рекуррентное соотношение (5.74).

Обозначив для краткости знаменатель через

С, с учетом

изменившихся

обозначений

получим

wps(x,

ц, t-\-M)

=

Е

SWPS{Х''F , I ) V { L

*'711%'!Х''Ѵ )

=

X'

г,'

=~^Е YàV^h[5-' SII'+Л'Л{Х>711Х ''Ѵ ) 1ШР5

^0 ^

X'

-Г)'

+ Ä T S SЛ{Х'711

Y )% S

^

(5'78)

X'

у

Нетрудно заметить [см. (5.74)], что для вычисления

знаменателя

С следует

числитель

(5.74)

просуммировать

по X, ц, т. е.

X

1)

+ Л ' Е Е Л {Х~711

Ѵ )

^

^ / ) ] =

X'

ц>

в

Разложив величину

С - 1

в

ряд и подставив

результат

(5.78), лолучим

wvs

{х,

т,, t-{-àt)=wps

{х,

-т],

О+ЛгЕ ЦЛ {х,і) 1 X',t)')

Wps

{X',

7)',

Л '

1)'

О - а>Р 8 (-*Л1.')А*

S

S

Л (л, Tj|Jc',^')>pe (Jf',

т)', 9.

(5.79)

В соотношении (5.79) опущено слагаемое, имеющее по­

рядок

малости (АО2 -

Перенесем

wps(x,r\,t)

влево,

разделим

обе

части

уравнения

(5.79)

на

At

и

перейдем

к

пределу

при

At—ѵО:

l i m

wps

{x,

У),

t+At)

— wvs

(x,

7),

/ )

= J ™

J ]

J ] A

(•*•

ч

I

ч') ° Ѵ (*'. "4', 0

-

- Шпшр, (x,

TJ, 0 J

]

J

]

Л (x,

7j

I x',

7)') W p

a

(x',

n',t).

(5.80)

Предел

величины

Л(х, ті|х', г\')

находится

просто

и

выражается соотношением

lira Л (л-, т)

I x',

у ) =

Я (л-1

8

+

+ я (ѴѴ) 8Д,. -

[5 -

S (x) -

V (г,)]3 Ьхх,

8 ч ѵ .

(5.81)

Используя

(5.81),

преобразуем

формулу

(5.80) к

виду

^ ( * . ^ 0 а = 2 ] я ( ^ | ^ > р . ( ^ , , , / ) +

Л:'

-

wps

(х.-ц.і)

£ j

^

Л

У

'

0

1 5 - 5

(x)

-

V (i)f.

(5.82)

*

i

Упрощая

(5.82),

получаем'

+

œ»p.(X,

T,, f)[F(x,

n,t)-<F(X,

ъ

t) > ] ,

(5.83)

где [см.

(5.75)]

L p

r

{x,

TJ) шР 5 (JC, f), ^

=

£

Я (JC

I Л:') twps

(x',

f\,t)-{-

X'

+ S M I | V ) ' ^ ( ^

V.O.

F (x,

ъ

t) =

J -

(2^ [S (x) +

V Ш

-

[S (x) +

V (-л)]2},

(5.84)

Jv

0

TJ, t).

<

F (x,

•»!,*)> =

S S / 7

(л-, ï), 0 Œ»pe

x

V

Соотношение

(5.83)

является

уравнением

нелинейной

фильтрации

сообщения

x(t)

и случайного процесса ті(#)

из белого шума. Очевидно, что, располагая

распределе­

нием

wvs(x,r\,t)

легко

вычислить

wps(x,t):

Юр, (JC, 0 =

S

'«V (•*,

0

(5-85)

ч

t)

и затем

по максимальному значению wps(x,

принять

решение о значении

x*(t).

Разберем

задачу

фильтрации

марковского

процесса

с двумя состояниями x(t)

из белого шума n(t)

и

другого

марковского процесса с двумя состояниями t\(t),

т.

е.

S(x)=x(t),

V(j\)=r[(t).

Положим

x1—-f)l

=

0;

х., = х;

-*і3 ==

TJ;

Я (х31 x,) =

Я (x 10) =

<хх;

Я (JC,

I х2) = Х(0\х)

=

ßx ;

„fi<

Я Ы ъ ) =

Я Ы 0 ) =

Ѵ

M 4 l

h = ) =

A(0|ïi) =

P v

^

;

и учтем,

что

(x, |л;1) =

Я(0|0) = —ax;

Я (x,

\ x3)

=

X(x\x)

=

— ß*;

(тІ 1 |7,1 ) =

Я ( 0 | 0 ) = - а ч ;

Я( - Ч а |т І 8 ) =

Я(1 і|іі) = - Р ч .

l b - ö 7 >

Имея

в

виду

(5.86) — (5.87),

конкретизируем

уравнение

(5.83):

(°;

°-1)=

- (ax+ar)

wps (0, 0, 0 + р.хШр8 (X, 0,

*)•+

4-

оір„ (0, -п, 0 -

^рз (0,

0J)<F

(x,

il, 0 > ;

(5.88)