книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

В этих обозначениях уравнения (5.131), (5.132) прини •мают вид

Алгоритм (5.133), (5.134) реализуется схемой, представ­ ленной на рис. 5.5. На этой схеме ПГ — подстраиваемый

X

Рис. 5.5.

из двух каналов. Один из них основной, на выходе кото­ рого вырабатывается оценочное значение x*(t). Этот ка­ нал моделирует уравнение (5.133). Второй канал, пост­ роенный в соответствии с (5.134), представляет собой систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), ко-

іорая выраоатывает опорным сигнал на основе приняв. . •ііизации l(t) и оценочного значения x*(t).

2. Фазовая модуляция. Сигнал при фазовой мо , ::..ч,ян записывается в виде

•2Мф

ки в той последовательности, в которой они проводились •при анализе амплитудной модуляции, можно получить следующие уравнения фильтрации

определяющие структурную схему оптимального прием­ ника (рис. -5.6). Приемник представляет собой автома­ тическую систему, осуществляющую слежение за фазой принимаемого сигнала.

202

Относительная среднеквадратігческая ошибка филь­ трации при ФМ оказывается равной

о

Опуская выкладки, приведем окончательные выра­ жения, определяющие структуру оптимального прием­ ника и качество его работы

= % = - A T ( 0 sin к * + 1 * ) ;

No

Структурная схема оптимального фильтрующего уст­ ройства, .составленная по уравнениям (5.141), изображе­ на на рис. 5.10. Основная особенность приемника 4 M сигналов, равно как двух других приемников, схемы ко­ торых приведены на рис. 5.5, 5.6, состоит в реализации •квазикогерентной обработки принятого колебания. Ины­ ми словами, оптимальная фильтрация сообщения х(і) осуществляется в том случае, когда, из колебания извле­ кается максимум информации, в том числе и информация о «несущественном» параметре <ç(t). Вычисление в каж­ дый момент значений фазы сигнала позволяет подстраи­ вать колебание опорного генератора с таким расчетом, чтобы получалась когерентная обработка принятой реа-

204

лизации ^(t). Постоянно присутствующий шум п(і) и случайный характер сообщения x(t) не дают возможно­ сти вычислить точное значение фазы сигнала, в резуль­ тате чего оптимальное устройство осуществляет квази­ когерентный прием.

Качество работы оптимального приемника 4 M сиг­ налов характеризуют графики зависимостей, рассчитан­

Ход зависимостей свидетельствует о том, что при

чении индекса модуляции ßt / y M расширяется спектр сигнала Это обстоятельство следует иметь в виду при решении конкретных задач.

В работах Р. Л. Стратоновича, Н. К. Кульмана, В. И. Тихонова, Ю. В. Саютина и других авторов [15— 24] решены многочисленные задачи по синтезу разнооб­ разных систем связи с непрерывными видами модуля­ ции. Помехоустойчивость импульсных систем передачи непрерывных сообщений исследована в работахМ. С. Яр­

205

специфику применения теории условных марковских процессов к задачам оптимальной фильтрации непрерыв­ ных сообщений. Можно утверждать, что указанная тео­ рия позволяет составить структурные схемы олтималь-

0,7

0,5

0,3

0,2

0,1

0,07

0,05

0,03

Рис. 5.11.

ных приемных устройств для многих практически важ­ ных систем передачи непрерывной информации, кроме того, количественно оценить потенциальную помехо­ устойчивость таких систем.

5.8.Оптимальное обнаружение марковских сигналов на фоне белого шума и марковских помех

при дискретном наблюдении

Аппарат теории условных марковских процессов по­ мимо задач фильтрации позволил решить широкий круг задач о б н а р у ж е н и я случайных и детерминированных сигналов на фоне белого шума и разнообразных типов помех. Основополагающие работы по этой тематике при­ надлежат Р. Л. Стратоновичу « Ю. Г. Сосулину [13, 28—32]. Задача любого оптимального приемника заклю­ чается в извлечении из принятой реализации %(t) макси­ мума информации об интерсующем параметре сигнала. При обнаружении сигнала эта информация заключен?

206

в апостериорных вероятностях того, что на интервале наблюдения сигнал есть или сигнала нет. Введем тараметр наличия сигнала

1, когда сигнал есть, О, когда сигнала нет.

ся детерминированной функцией случайного марковско­ го процесса т](t). Таким образом,

(5.143)

Компоненты l(t), x(t), r\(t) образуют в совокупности трехмерный марковский процесс. По физическому содер­ жанию задачи компонент %(t) известен, следовательно, два остальные компонента образуют условный марков­ ский процесс, который характеризуется соответствующи­ ми апостериорными плотностями вероятности. Введем новые обозначения для апостериорных плотностей веро­ ятностей, удобные при анализе задачи обнаружения:

WpS(xi, Ï](|'Ê'O, 'Ѳ=1) —апостериорная плотность веро­ ятности компонентов xt, r\t в момент t при наблюдении реализации 1(4) на интервале [0, t] и при наличии сигнала;

wPs(r\t\Vo,Q—0)— апостериорная плотность вероят­ ности компонента щ в момент t при известной реализа­ ции \(t) и при отсутствии сигнала.

При дискретном наблюдении в момент t = kAt апосте­ риорные плотности вероятности запишем в виде

Для плотностей вероятностей (5.144) справедливы уравнения нелинейной фильтрации, которые были полу­ чены выше. Однако для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала необходимо в конечный момент вре­ мени Т = пМ знать иные апостериорные вероятности, а именно:

ствия сигнала при том же условии.

207

Если использовать критерий максимальной апосте­ риорной вероятности, то правило решения формулирует­ ся следующим образом:

Обычно оптимальные приемники обнаружения работают по другому алгоритму

. ( S i e - . )

ш(і'э МѲ=0)

где р и 7—априорные вероятности наличия и отсутст­ вия сигнала соответственно.

Основная задача состоит в том, чтобы, используятеорию нелинейной фильтрации, вычислить сначала ве­ роятности (5.144), затем на их основе определить вероят­

правдоподобия можно также определять с течением вре­

дает благоприятные условия для применения двухпорогового решающего устройства, работающего по крите­

208

Впервые задача обнаружения марковского сигнала на фоне белого шума при дискретном наблюдении была по­ ставлена и решена 'в работе [28]. Затем в [29] было полу­ чено дифференциальное уравнение для вычисления лога­ рифма отношения правдоподобия Zt = \nAt применитель­ но к задаче обнаружения диффузионного марковского процесса в шуме

зованием понятия ненормированных апостериорных мер [6]. Этот метод хотя в известной степени и сокращает выкладки, но вместе с тем сложен для понимания. По­ этому представляющее основной интерес уравнение

Разберем сначала случай дискретного наблюдения, что­

2G9

Для обоих процессов запишем плотности вероятности переходов за элементарный .интервал наблюдения. По аналогии с (5.34) имеем

210