книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

обусловленное его внутреплим шумом. До срыва угловое рассогласование Ѳ флюктуирует в области слежения, в окрестности значения Ѳі, где находится дно потенци­ альной ямы. Срыв слежения наступает в том случае,

ФѲ

когда частица (координата. Ѳ) под действием шума пре­ одолевает потенциальный барьер и скатывается по его правому склону.

Вероятность срыва слежения P(t) за время t рассчи­ тывается по формуле

о

где о(Ѳг) —поток вероятности через сечение 02. При ма­ лой вероятности срыва поток G(ßz) считается постоян­ ным и его величина определяется выражением {22, 23]:

160

с Другой стороны, определяется уровнем флюктуации,

ПОСКОЛЬКУ

флюктуации, что находится в полном соответствии с фи' зическимй представлениями описываемого явления.

Вопрос о достижении поглощающих границ много­ мерным марковским процессом представляет собой гораздо более сложную проблему, чем разобранная выше задача для одномерного процесса. Определение вероят­ ности достижения границы двумерным марковским про­ цессом, в частности, обсуждается в работах (27, 28], где формулируются условия поглощения в двумерном случае и рассмотрен ряд примеров. Количественные соотноше­ ния в конкретных задачах удается получить, только используя ЭВМ.

5

ТЕОРИЯ УСЛОВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ФИЛЬТРАЦИИ

ИОБНАРУЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

5.1.Вводные замечания

Прежде чем переходить к изложению теории условных марков­ ских процессов, обсудим постановку задачи о фильтрации случайных сигналов, с которой связаны основные применения указанной теории.

Пусть на вход приемника поступает реализация %{t), которая является смесью сигнала S (s, t), помехи V(r|, і) и белого шума n(t). Предполагается, что функции 5 и V детерминированы, а функции x(t) и т) (t) случайны. Взаимосвязь сигнала и помехи выражается некоторой детерминированной функцией Ф; белый .шум обычно

аддитивен, так что

І(0=Ф[5(*, 0. Ѵ(ті, t)]+n(t).

В предположении, что известны статистические характеристики случайного сигнала, помехи и шума, наблюдателю необходимо опти­ мальным образом решить, какая реализация сообщения x(t) содер­ жится в принятом колебании

Из-за наличия помехи f\(t) и шума n(t) оценочное значение сообщения х*{і) не будет в точности совпадать с переданным x(t), что приводит к ошибкам фильтрации. Очевидно, что чем меньше ошибка, тем выше качество фильтрации. Количественно качество фильтрации можно оценивать по-разному. В некоторых задачах ка-

11—186 161

чест.во фильтрации характеризуется величиной средней квадратичен

В дальнейшем будет рассматриваться практически важный слу­ чай, когда сигнал и помеха являются стационарными процессами и взаимодействуют аддитивно

<*(0>=0, <іі(0>=0,

<x(t)x(t+r)>=kx(z),

<vj (Ol С + ' ) >

Требуется определить характеристики системы, осуществляющей оптимальную фильтрацию сигнала (сообщения) из колебания £(/)• Решение поставленной задачи дается теорией линейной фильтрации, разработанной А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. По этой теории импульсная характеристика оптимального фильтра G0 (0 должна

удовлетворять интегральному уравнению t

которое называется уравнением Винера—Хопфа.

При этом среднеквадратнческая погрешность оптимальной филь­ трации е2 определяется выражением

е* = 'l+ [ G 0 (X,) d4 I j [*» (*» - 'i) + A, Сч - t.) +

ôlo -

Разберем простой пример [3].

Пусть необходимо отфильтровать с минимальной среднеквадратической погрешностью нормальный стационарный процесс x(t) с функцией-корреляции

от аддитивного белого шума n(t).

L62

закону распределения. Однако в радиотехнике обычно используются радиосигналы, которые не являются нормальными процессами, хотя модулирующее сообщение чаще всего предполагается нормальным. Иначе: для радиотехники актуальна задача фильтрации нормального сообщения, которое существенно и е л и и е й и ы м образом связано с сигналом. Из других недостатков линейной теории следует отме­ тить то обстоятельство, что в результате весьма сложного решения уравнения (5.2), характеристики оптимальных фильтров получаются трудно реализуемыми. В разобранном выше простом примере опти­ мальный фильтр должен иметь импульсную характеристику, которую

ных трактов, расположенных в функциональных схемах после ди­ скриминаторов сообщения.

В связи с приведенными соображениями особый практический интерес представляет созданная Р. Л. Стратоновичем [4, 5, 6]. теория условных марковских процессов, на основе которой построена теория н е л и н е й н о й фильтрации. Настоящая глава посвящена изложе­ нию основ этой теории.

Отметим, что используемые в дальнейшем интегралы, содержа­ щие в подынтегральных выражениях случайные функции, будут по­ ниматься как снмметризовапные [6, 7]. Операции дифференцирования и интегрирования с симметрированными интегралами можно произво­ дить по правилам, которые справедливы для обычных интегралов.

5.2. Рекуррентные соотношения для условных вероятностей состояний марковского процесса

Рассмотрим сначала простой случай, когда

*) -Ниже для вероятности -и .'плотности вероятности попользуется одно и то же обозначение, которое позволяет проводить выкладки, не конкретизируя вид марковского процесса.

164

марковских процессов состоит в том, чтобы, р а с п о л а ­

вектор поступивших на вход 'приемника да'нных за время от 0 до t = niAt\ х,„= (л'о, xlt..., хт) —• вектор неизвестных значений сигнала. Обозначим совместную плотность рас­

аналогично

V m+l

Будем интересоваться апостериорным распределением последнего значения хт сигнала, для которого введем специальное обозначение

165

Одномерную плотность (5.13) определим из многомер­ ной (5.12) интегрированием по «лишним» аргументам

Х П У (?ft. хк I Sft_л-,£ _, )гіл',£_,и(Е,„+1,

•^от+і I 5m. X m ) d x m —

С учетоім (5.15) из (5.14) окончательно получаем рекур­

46fi

Соотношения (5.16), (5.17) позволяют по мере наблю­ дения одного компонента |.г- (г'=0, \,...,т) двумерного марковского процесса вычислять условное распределение для другого компонента х{. Рекуррентные формулы (5.16), (5.17) дают возможность пересчитывать значения апостериорных вероятностей от шага к шагу. При этом не требуется помнить все значения go, gi, ... , gm наблю­ даемой реализации, посколькудля определения апосте­ риорной плотности на следующем шаге используются лишь последние значения gm и | m + i . .

5.3. Фильтрация марковского процесса с двумя состояниями из белого шума

Продемонстрируем применение рекуррентных соотно­ шений, полученных в предыдущем параграфе, на кон­ кретном примере (4, 5, 8]. Пусть x(t)—марковский про­ цесс с двумя состояниями, a r\(t) =n(<t). Таким образом, необходимо отфильтровать процесс х(і) из белого шума.

Марковский процесс с двумя состояними рассматри­ вался в § 2.5. Положим для простоты

Поскольку рекуррентные соотношения (5.16), (5.17) «ра­ ботают» при дискретном времени, то ниже нам понадо­

которая подвергается дискретизации во* времени.

167

Случайный процесс ii(t) при дискретном времени это последовательность независимых значений гауссовой слу­ чайной величины.

В качестве .дискретного отсчета будем использовать среднее за интервал дискретизации (th—At, th) значение колебания n(t):

Подобная замена справедлива в интересующем нас слу­ чае, когда Д/-9-0. Вычислим характеристики величины nr.

Здесь учтено, что < « {ts) a ( У > = -^£ - 8 (tt — t).

С учетом (5.26), (5.27) закон распределения пк запи­

В рекуррентных соотношениях (5.16), (5.17) фигурирует плотность вероятности перехода процесса ( | т , х,„), осо­ бенностью которого в данном случае является то обстоя­ тельство, что один компонент (|т а ) является непрерывной случайной величиной, а второй (х т ) принимает только

168

Выражение (5.30) представляет собой матрицу перехода

независимости отсчетов белого шума вероятность обра­

Отметим, что составление выражения для плотности вероятности перехода многомерного марковского про­ цесса представляет собой одну из основных трудностей при решении конкретных задач с использованием рекур­ рентных соотношений (5.16), (5.17).

Конкретизируем формулу (5.17) для рассматриваемо­ го случая, расписав подробно числитель

169