книги из ГПНТБ / Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи

На рис. 4.10 схематически изображено решение урав­

w

w(x,x0,t)

(fç.fx0,x,tj \.

w(x,x„t) \

Рис. 4.10.

Таким образом, для того чтобы вычислить вероят­ ность достижения процессом x(t) нулевого уровня £ = 0 , необходимо в формулу (4.103), принимающую для дан­ ного случая вид

оо

Р {х0, t) — 1 — j q.(x0, x, t) dx,

р к , о = 2 [ і - Ф ( ^ ) ; .

Усложним несколько задачу и найдем вероятность того, что выходной процесс x(t) в отсутствие сигнала достигнет порога ЕФО. Поскольку в данном случае поглощающая граница уже не совпадает с центром сим­ метрии решения уравнения (3.55), определяющего фун­ даментальное решение (4.106), (4.107), то не существует

151

такого .полюса Ху, при котором удовлетворялось бы гра­ ничное условие

для всех моментов времени t.

Принципиально можно отыскать такую комбинацию

будет удовлетворять условию (4.109) с необходимой степенью точности. Однако подобный путь весьма гро­ моздок. Для приближенного решения задачи можно использовать только один дополнительный полюс в неко­ торой точке ХІ, но при этом функцию q(xo, х, t) следует определить в виде

с предыдущим случаем удобно определить дополнитель­ ный полюс ХІ в точке зеркального отражения основного

152

XQ = Q приведены на рис. 4.11. Графики построены для безразмерного времени at.

Допустим теперь, что на вход накопителя помимо белого шума воздействует сигнал s (t). Как указывалось выше, этот случай эквивалентен задаче вычисления ве-

0,0-

0,2

лишь разницей, что постоянную Е следует заменить на разность Е—Ь(і).

В частном случае, когда s(t)=E, выражение для

Р(хо, t) удается упростить:

Р( ^ ) = 2 [ і - ф ( Д - у ^ ) " -

Возможно дальнейшее обобщение задачи за счетвведения распределения для начального заряда xQ [18].

153

4.7.Срыв слежения в простейших системах

авторегулирования

В радиотехнических устройствах широко применяют­ ся различные системы авторегулирования, основное на­ значение которых состоит в том, чтобы осуществлять слежение за интересующим параметром полезного сиг­ нала с достаточной точностью. При наличии помех воз­ никают ситуации, когда шум выводит ошибку за некото­ рые пределы, превышение которых делает дальнейшее

ния, как правило, определяется характеристикой дискри­ минатора.

Предположим [20, 9], что некоторое устройство осу­ ществляет слежение за фазой ф(/) сигнала

s{t) =A(0cosM+'cp(0]> ср(^ = 0) =ср0 .

Будем полагать, что срыв слежения происходит в том

чиняется уравнению Фоккера — Планка — Колмогорова

<7(фо, ф. 0) = б ( ф ) .

То обстоятельство, что фундаментальное решение уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова в переход­ ном режиме известно, позволяет воспользоваться для отыскания плотности q{(po, Ф, /) методом отражений,

154

изложенным в предыдущем параграфе. Наличие двух симметричных границ приводит к необходимости выби­ рать целую серию дополнительных полюсов, расположен­ ных также симметрично относительно границ. Пусть

Рис. 4.12.

фундаментальное решение w (cp0, ср, t) для некоторого / имеетівид, изображенный на рис. 4.12. Для компенсации плотности на границах составим комбинацию

лю разность на границе і/2, дает дополнительное отрица­ тельное приращение на границе —1/2. Аналогичное при­ ращение получается от плотности ш(—/, ср, t) на границе 1/2. Очевидно, что для удовлетворения требований (4.115) необходимо компенсировать эти приращения, что

155

положение о м а л о й в е р о я т н о с т и указанного пере­ хода. Но любая следящая система удовлетворительно вы­ полняет свои функции в том случае, если вероятность срыва слежения достаточно мала, поэтому метод [22] лег в основу ряда исследований по срыву слежения в авто­ матических системах [23—25]. Разберем подробнее этот метод.

Для одномерного случая из (4.117) получаем

Как следует из гл. 3, одномерный диффузионный процесс можно характеризовать одномерным полем скоростей КІ(Х) систематического изменения координаты x(t). Поэтому в соответствии с (4.118) для поля скоростей КІ(Х) можно ввести потенциал '£/:

вой стационарного распределения плотности определяет­

157

U(x) = [/=const,

и потенциальный рельеф представляет собой горизон­ тальную прямую. Вследствие этого флюктуации частицы не ограничены и закон распределения w(x, t) беспре­ дельно расплывается с течением времени.

K/P)

Рис. 4.14.

Рассмотрим теперь явление срыва слежения в коор­ динаторе головки самонаведения, описываемой уравне­ нием первого порядка (26]. Упрощенная функциональная схема координатора для одной плоскости радиоуправле­ ния изображена на рис. 4.14. Пеленгатор головки упро­ щенно представлен в виде безынерционного нелинейного элемента с дискриминационной характеристикой f{Q),

158

Ѳц='Ѳц о+Ш.

Сучетом изложенных соображений дифференциальное

уравнение для ошибки слежения Ѳ имеет вид

в системе в статическом режиме при отсутствии флюк­ туации. Положив

ddfdt = 0, я 0 0 = О,

из (4 . 122) находим

/(•ѲІ)=0/А. (4 . 123)

Типичная характеристика пеленгатора /(Ѳ) и результат графического решения (4 . 123) приведена на рис. 4.15. Из уравнения (4 . 122) следует, что

tfi(e)=fl—kf(B).

Тогда потенциальный рельеф системы описывается со­ отношением

экстремальные точки определяются решением уравнения

глядно описать явление срыва слежения в координаторе,

159