книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Основы линейной алгебры.

Иваненко В. В. Учебное пособие, 197jî.

В учебном пособии излагаются векторная алгебра, основы теории опреде­ лителей и матриц, решение систем линейных однородных и неоднородных уравнений, основные сведения о билинейных и квадратичных формах, матрич­ ный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами. В виде дополнения дана теория линейных нера­ венств. Пособие содержит весь материал, необходимый для изучения тех математических и инженерных дисциплин, которые пользуются аппаратом ли­ нейной алгебры.

Эта книга является вторым изданием учебного пособия под тем же назва­ нием, изданного КВАИУ в 1961 г. В данном издании почти весь текст пере­ работан и существенно дополнен, внесены изменения в характер изложения материала и его расположение. Изложение теоретического материала сопро­ вождается образцами подробно решенных примеров и задач. Имеется также достаточное количество примеров и задач для самостоятельного решения.

Книга предназначена для слушателей инженерных специальностей, может быть использована слушателями других специальностей.

Г Л А В А I

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ

§1. Основы векторной алгебры

впространстве трех измерений

1.Среди величин, встречающихся при изучении природы, а также в технике, можно различать величины двух видов. Одни из них вполне определяются числом, например: масса тела, тем­ пература, электрический или магнитный потенциалы и т. д. Друіие отличаются между собой не только численным значением, но

инаправленностью, например: сила, скорость, ускорение движе­ ния. Первые из этих величин, не связанные с понятием о направ­ лении, называются величинами скалярными, или короче скаля­ рами. Вторые, имеющие определенное направление, будут век­ торными величинами, или векторами.

Геометрически вектор может быть представлен направлен­

ным отрезком прямой AB, где А и В — две точки Пространства, взятые в определенном порядке: А —• начало, В — конец вектора.

Вектор также часто обозначается одной буквой, например, а. Длина отрезка AB называется длиной или модулем вектора AB, что записываем так: А В = \А В \, или а — \а\.

Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если пря­ мые AB и CD параллельны или совпадают.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор на­ зывается нуль-вектором. Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

2. Для тот, чтобы получить вектор с, представляющий сумму двух векторов а и 6, надо от произвольной точки А пространства отложить вектор а, к его концу приложить начало вектора b и соединить точку А с концом С вектора. Ь, тогда АС по величине и направлению представляет вектор с.

Видим (черт. 1), что сумма двух векторов а и b является ди­ агональю параллелограмма, построенного на слагаемых векто­

рах а и Ь. Отсюда имеем, что

а4- b — b + а ,

т.с. сумма векторов коммутативна.

Л

L

Заметим, что вектор с называется еще геометрической суммой или результирующим вектором. _ __ _

Для того, чтобы найти сумму трех векторов a, b и с, склады­ ваем сначала а с b и к результирующему вектору прибавляем

вектор с. Окончательно получаем вектор AD. Непосредственно видим (черт. 2), что придем к тому же результату, если к вектору

а прибавим сумму Ь + с.

Таким образом, имеем ассоциативность суммы векторов, т. е.

(â + Ь) + с = а + (Ь + с) ■

Следовательно, для того чтобы найти, например, сумму век­

торов a+ b+ c+ d, надо последовательно в любом порядке отло­ жить эти векторы, совмещая начало каждого следующего с кон­ цом предыдущего, и провести замыкающую линию полученной ломаной линии, ведя ее от начала первого вектора, к концу по­

следнего. Таким образом, точка М будет началом вектора f — a+ 4-Ъ+c + d, а точка N, конец последнего вектора d, будет концом

вектора f (черт. 3). Из коммутативности и ассоциативности сло­ жения вытекает, что векторы можно складывать в любом по­ рядке, а также можно заменить любое их количество результи­ рующим вектором.

5. Три вектора а, b и с называются компланарными, если су­ ществует плоскость, которой все они параллельны.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является их линейная зависимость. Действительно, на­

пример, вектор с можно рассматривать как геометрическую сум­ му векторов а и Ь, т. е.

с= а.а Н- |36 ;

вэтом случае все три вектора а, Ь, с можно считать лежащими

водной плоскости.

Если векторы а, Ь, с не компланарны, то всякий вектор d мо­ жет быть представлен как их линейная комбинация:

d = о.а + ßb + ус,

т.е. вектор d разложен по векторам а, Ь,_с.

6.Три некомпланарных вектора е,, во, е3, отложенных из од­ ной и той же точки О пространства, называются репером. Пря­

мые Ох, Оу, Oz, на которых лежат векторы еь е2, е3 репера, на­ зываются координатными осями, точка О будет началом коор­ динат, а плоскости хОу, yOz, xOz называются координатными

плоскостями. Векторы еь е2, е3 в этом случае будут масштабны­

ми векторами осей координат. Если векторы щ, е2, е3 попарно ортогональны и их модули равны 1, то система координат будет

прямоугольной. Тогда эти векторы обычно обозначаются і, j, k и называются ортами. Далее будем пользоваться прямоугольной

системой координат и ортами і, j, k. Заметим, что прямоугольная система координат может быть левая и правая: здесь пользуемся преимущественно правой системой координат.

Всякий вектор а можно разложить на его составляющие по осям координат, т. е.

а = ах -р сіу ~j- az — up, -j- ayj -j- azh >

где числа ах, ау, а, будут координаты, (или проекции) вектора а на осях координат.

где а представляет длину мли_модуль вектора а.

Векторы ax = axi, ay= ayj, az—azk, в виде суммы которых представлен вектор а, называются составляющими (или компо­ нентами) вектора а по осям координат.

Модуль |а | может быть определен как диагональ прямо­ угольного параллелепипеда, сторонами которого являются ах, ау, az, получим

отсюда, принимая во внимание (2), находим, что

cos2 (а, Cbc) + cos2(a, Оу) -f cos'- (а, Oz) = 1.

Последнее соотношение справедливо для всякого вектора.

Заметим, что вектор а часто задается своими координатами, что записывается так

а = (ах, ау, а.).

Если даны две точки: Мл (хь у и Zj) и М2 (х2, у2, z2), которые

являются соответственно началом и концом вектора а, то его ко­ ординаты будут:

à+~b = (ax -f- bxt ay -f by> az + bz),

a — b*= (ax — bx, ay — by, az — bz).

Эти соотношения легко обобщить для любого конечного числа заданных векторов.

Пример. 1. Найти длину вектора

а = mi -f (m -f- 1) j -f m (ni + 1) k.

Р е ш е н и e. Применив формулу (2), получим

I a j = Y a%+ dy -f al = У /я2 -f (m -f l)2 -f m2 (m + l)2 =

Пример 2. Определить модуль суммы и разности векторов

ä = ( 3 ; - 5 ; 8 ) , 6 = ( - 1 ; 1 ; - 4 ) .

Р е ш е н и е. Находим сумму заданных векторов:

ä + b = [3 + ( - 1); - 5 + 1 ; 8 + ( - 4 ) ] = (2; - 4 ; 4),

аналогично получим:

а - Ь = {3 — (— 1); - 5 - 1 ; 8 - ( - 4 ) ] = (4; - 6; 12),

отсюда:

|д + 0[ =1/ 4 + 1 6 + 1 6 = 6,

\а — 6 | = У 16 + 36 + 144= 14.

Пример 3. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы а = 60°, ß= 120°. Вычислить его координаты при условии,

что I а I = 2.

Р е ш е н и е . Пусть у будет углом между направлением за­ данного вектора а и положительным направлением оси Oz, тогда

cos2 а + cos2 ß + cos2 т = 1 »

следовательно, cos2 60°+ cos2 120°+cos2y= 1, отсюда

, 1/2 cos T = ± —2~

и по формулам (1) окончательно получим: а = (1; — 1; У 2) или ä = ( l ; - 1; - 1/ 2).

§2. Скалярное произведение двух векторов

Оп р е д е л е н и е . Скалярным произведением ab двух век­

торов а и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

где а есть угол между векторами а и b.

В результате скалярного умножения получаем скаляр, что и объясняет название скалярного произведения. Например, работа

А, производимая постоянной силой F на прямолинейном пере­ мещении s, будет

А = ( F j |s I cos a,

где а есть постоянный угол, который составляет сила F с пере­

мещением s.

Рассмотрим проекцию вектора а на вектор Ь. Про­

екцией вектора а на вектор b называется длина отрезка А'В', отсекаемого плоскос­ тями, перпендикулярными к

вектору b и проходящими через начало А и конец В

вектора а, причем эта длина берется со знаком плюс или минус в зависимости от того

имеет ли А'В' то же направ­

ление, что и вектор а или противоположное (черт. 5). Следовательно, группируя в формуле (3) разными_способами

множители, составляющие скалярное произведение ab, получим

ab — I а I cos я.• | b \ = пр*а • | b |,

(4)

ab = I b I cos я ■I a | = npâô • | a |,

T. e. скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию другого вектора на направ­ ление первого.

По самому определению (3) скалярное произведение комму­ тативно, т. е. не меняется от перестановки множителей:

об = Ьа.

Из формул (4) получим дистрибутивность скалярного произведения, т. е.

отсюда, умножая обе части на вектор а, получим равенство (5). Очевидно также, что скалярный множитель можно выносить

из-под знака скалярного произведения т. е.

(та) (nb) = тп (ab).

Следовательно, скалярное произведение ассоциативно по от­ ношению к скалярному множителю.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, jeonи один из сомножителей равен нулю, либо если векторы а и b взаимно