Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2020

Система (31) определяет .множество точек пространства, расположенных

ниже плоскости г =4.ѵ-—у-Н и выше плоскости					г=	—х + у —2. Это есть мно-
жество точек						5	3
жество точек		некоторого двугранного угла Прямая у= і^ х +					'^'является про
екцией	па плоскость .ѵОу ребра этого		двугранного			угла, а	полуплоскость
5	3	'
у < ~2	+ ~2	ссть проекция на плоскость хОу рассматриваемого двугранного
угла.
Пример Л. Решить систему неравенств
		\ 4х — у — z + I < О,
		1 X — у + z	‘г 2 > 0.
Р е ш е н и е . Заданную систему перепишем так
		( г > 4х -	у +	1,			(32)
		U > — .у + У -		2.			(32)
		U > — .у + У -		2.
Определим теперь, какое из выражении в правых частях							неравенств (32)
является большим.
Неравенство 4х—у+ 1> —х+ у + 2 имеет месте,					если
		5	3
		У < ~2Х	- Y ’

неравенство 4х—у + К —х + у —2 имеет место, если

у> і * + т -

Следовательно, г > 4.V—у + \,				5	3	х -+ у — 2, если
Следовательно, г > 4.V—у + \,				если у < ту- х ~ ту 1 2		х -+ у — 2, если
5	3
у > “2“ х -р ту >поэтому имеем две элементарные области:
				5	3	1 < г < -J-
			со < ÿ < J £ + 9 , 4х — у			1 < г < -J-
	,	5	3	< у < +	ОО, — Л- -І- у — 2 < г < -f со.
— оо < .Ï < +- со,		у	.У— Л,	< у < +	ОО, — Л- -І- у — 2 < г < -f со.

Таким образом, система (32) определяет двугранный угол, внутренние точ ки которого лежат выше каждой из плоскостей z = 4х — у+1 и z—— х+ у —2.

Подобно тому, как система (29) трех неравенств с двумя неизвестными определяет замкнутую область, если выполняются условия (30), то и система четырех неравенств с тремя неизвест ными

	ацхг +	« 13х> + а13х3 + Ь, >	О,
’	П"х\Х\ -\|-	ÜvnXn — CL»3X3 -)- Оо Y	О,
		‘	(33)

~Ь а з2л”а ~Ь я з:іА'з 4“ Ьз^> О,

а ііх і Y

а і3х 3 + bi > О

будет определять некоторую замкнутую область, если определи тель этой системы

« п	«12 «13		Ьг
«21 ^22		«23	Ь2
D =			Ьз
«31	«32	«33	Ьз
«11 «42		«43	Ь>
и алгебраические дополнения к		элементам его последней вер
тикали

	« л	«22	«23			« и	«12	«13
	«31	«32	«33	- 0 ,	Д 24 =	«31	«32	«33
	«41	«42	«43			«41 £7-4о «43
	«11	«12	«13			«11		«13
ЛШІ=	«21	£7-оо	«23	ф О .	Â » -	«21	Cl 22	«2S
	«41	£?42	« 3			«31	«32	«33

=£0,

Ф о,

причем D и Л/4 (t= 1, 2. 3, 4) имеют одинаковые знаки.

Эти условия являются необходимыми и достаточными. Одно линейное неравенс :во с тремя переменными, как извест

но, определяет одно из двух полупространств, на которые плос кость, например, Оцд^ + о ^ г + аы-Хз-гôt= 0 разбивает все прост ранство. Следовательно, система (33) определяет общую часть четырех полупространств, определяемых каждым неравенством в отдельности. При указанных выше условиях эти четыре полу пространства образуют в пересечении тетраэдр.

Полученные результаты -обобщаются на случай системы (н-гі)-го неравенства с л неизвестными.

Действительно, если уравнениеan-Cj-l-a12.v2+ а13.т3404=0 опре

деляет плоскость в трехмерном пространстве,	то уравнение
ап х х + а1ъх 2+ . . . + а1пх п + Ьг	= 0	(34)

определяет плоскость в /г-мерном пространстве, которая также называется гиперплоскостью. Гиперплоскость—это есть геометри ческое место всех точек (хд, хо. ., х„) «-мерного пространства, удовлетворяющих линейному уравнению (34). При Ь, = 0 гипер плоскость проходит через начало координат.

Поэтому одно линейное неравенство в /г-мерном пространстве

апХі + апх2+ ... + а1пх п + 6Х> 0

представляет /г-мермое полупространство, т. е. совокупность всех точек л-мерного пространства, расположенных по одну сторону гиперплоскости (34).

• Следовательно, система (« + 1)-го неравенства с п неизвест ными:

а 11Х 1 +		С>12Х 2 +	• • +	« Д А + b1>		0	,
^2 1* ^ 1	+	^22-^2	• • +	« 2 ПХ П +Ьф>0,
							(35)
Й'ЛІХ 1	+	rt/l2X2 +	• • • +	а п п х п~Г- Ь п	>	0	,
ft/i + U x l		+ Ял +12 -і-'г Ч- • • ■+ а п + \ п х			п	“Ь Ь п + \ )> 0

определяет общую часть (н-И)-го /і-мерных полупространств, которые определяются каждым из неравенств в отдельности.

Для того, чтобы указанная область была замкнутой, необхо димо и достаточно, чтобы определитель системы

" и	ÛX8	• ■• а ь,	bi
1‘21	&22	■■(І2п	ь г
о„х	а п2	• ■■ft'ап	bn
Ял+11	ЙЛЧ-12 • . . Clfl-r ] n		bn-r

и все алгебраические дополнения к элементам его последней вер

тикали Ліл-ч ф 0 {і= I, 2.......п, п + I ),	причем знаки D и Л/я+і
должны быть одинаковы.	(35) имеет решение, пред
При указанных условиях система	(35) имеет решение, пред

ставляемое, как говорят, п-мерным тетраэдром, пли симплексом.

Если п = 3, то это определение дает трехмерный тетраэдр, при п = 2 имеем треугольник и при п = 1 отрезок. Эти случаи были рассмотрены выше.

§8. Смешанные системы

Вматематике и приложениях рассматривается также реше ние смешанных систем соотношений, из которых некоторые яв

ляются уравнениями, а некоторые неравенствами, содержащими неизвестные.

Решение системы соотношений:

fl (Xli X2>■■■> xn) —Fi (xb -V2, . . ■• A‘„)-

			(36)
/*(xl,	-v2>• • ■. X,ï) = Fk{Xl’ -v2, . . • > Xn)’
'fl {Xl> X2>•		• • > Xn) Ф ^ l ( xl>	X2i ■• A‘J>
			(37)
T l (Xl>	X2>•	•• > Xn) Ф <7 ) / (xl>	Xl<■• • > Xn)

можно толковать как решение системы уравнений (36) при до полнительных условиях (37).

Вообще, как было сказано		выше (22), всякое		неравенство
f (ЛТ ’	'	> Х п)	О	(38)
может быть заменено уравнением
ï(Xl,	*з........-Ѵ„) =		/г	(39)

•с положительным параметром /г. Множество всех решений не равенства (38) есть множество всех решений уравнения (39), ко торые могут быть получены при произвольных положительных значениях k.

Например, уравнение х—у —0 пли у = х определяет биссект рису .первого и третьего квадрантов, неравенство x > 0 опреде ляет правую полуплоскость, включая и ось Оу, а система соот ношений

X — t/ = О,

* > 0

определяет биссектрису первого квадранта координатной плос кости.

Таким образом, решая смешанную систему, неравенства бу дем рассматривать как дополнительные условия, при которых надо решить систему, составленную из уравнений, входящих в состав заданной смешанной системы. Ограничимся рассмотре нием примеров.

Пример 1. Решить систему

P e ш e и и e. Общее решение дается формулой

у = 2JC+I.

На основании дополнительного усло вия

	,V + \|/ + 2 = .Ï + (2-г				1) + 2 =
		=	Зл- ф- 3 >		О,
	откуда х > — 1.
	Следовательно, і/=2.г-Ы, где ,г> — 1.
К	Таким	образом,		множество		решений
	смешанной	системы		(40)	изображается
Черт. -Н.	точками прямой		2.ѵ—г/+1 = 0', лежащими
	в полуплоскости		х+ у + 2>0.			Это есть
	луч AB (черт. 41).

Пример 2. Решить систему	л--	у	+ 1= 0,

	2.V —	у	! 2 >	0,
	X — 2у — 4- >			0.

Р е ш е н и е .Общее решение уравнения будет1

У = х + 1.

Принимая во внимание дополнительные условия, имеем

2 х - -(-'•■+ 1) ~ 2 = л - - у 1 ; О,

откуда X > —1; кроме того,

л- - 2 (х + 1) + 4 = — X -)• 2 > О,

откуда х < 2. Следовательно,

і/= х -И ,

где —1< х < 2.

Таким образом, множество решений смешанной системы (41) изображается отрезком AB прямой х—(/+1=0, содержащимся внутри угла, который опре деляется двумя заданными неравенствами 2х—р + 2 > 0 и х—2р + 4>0 (черт. 42).

3Зэк.304

О Г Л А В Л Е Н И Е


Г л а в а			I.
Векторная алгебра. Понятие матрицы															п
§ 1. Основы векторной алгебры в пространстве трех измерений															п
§ 1. Основы векторной алгебры в пространстве трех измерений															О
§ 2.		Скалярное			произведение					двух векторов		. . . .			8
§	3.	Задами		(1—9		)	.......................................................................	пространство		. . . . .					11
§	3.	/і мерное векторное						пространство		. . . . .					12
§ 4.		Понятие		о	матрице			и	об определителе			. . . .			16
Г л а в а			II.
Основы теории определителей
§ 5.		Определители второго							п о р я д к а	...........................................					21
		Задачи		(10—2		3	) .....................................................................		п о р я д к а						23
§ 6. Определители третьего									п о р я д к а	..........................................					23
§ 7.		Задачи		(24—4		3	) .....................................................................			порядка . . . .					27
§ 7.		Свойства определителей								порядка . . . .					28
		Задачи		(44—4		8	) .....................................................................			.	.	.	.	.	33
§ 8. Умножение определителей										.	.	.	.	.	33
		Задачи		(49—5		1	)	.....................................................................		дополнения.	Некоторые			методы	37
§ 9. Миноры. Алгебраические										дополнения.	Некоторые			методы	вы
		числения определителей								...........................................					37
§		Задачи		(52—7		6	) .....................................................................								48
§	10. Правило				К р а м е р а			.....................................................................							50
§		Задачи		(77—8		9	)	.....................................................................							57
§	11. Ранг м а т р и ц ы							.....................................................................							58
		Задачи		(90—9		9	)	.....................................................................							63
§	12. Системы				линейных			у р а в н е н и й		...........................................					64
		Задачи		(100—104)				'							71
§ 13. Система линейных однородных уравнений															72
		Задачи		(105—Ф08)											78
Г л а в а			III.
Элементы теории матриц															80
§	14. Произведение					матрицы				Сложение			матриц		80
§	15. Линейное				преобразование.					Умножение матриц					83
		Задачи		(169—125)					.	............................................					89
§	16. Обратная				матрица										91
		Задачи			(126—1 3 9 )										99
§ 17. Характеристические числа и собственные векторы матрицы															100
		Задачи		(140'—1			4	3	) ..............................................................						105

Г л а в а IV.

Некоторые приложения теории определителей и матриц

§ 18.	Векторное п р о и з в е д е н и е ......................................................................								107
	Задачи	(144—153)			системылинейных уравнений		.	.	114
§ 19. Метод Гаусса решения									115
§ 20. Простейшие матричные					у р а в н е н и я ....................................................				119
	Задачи	(154—1 6 1 )			.............................................................................. от м а тр и ц ы			127	126
§21. Рациональные функции ...........................................									129
§ 22.	Задачи	(162—1	6 5 ) ......................................................................					129
	Билинейные н квадратичные ...........................................ф о р м ы
§ 23. Решение		системы		обыкновенных линейных дифференциаль					144
	ных уравнений с		постоянными коэффициентами			.	.	.
Д о п о л н е н и е
§ 1. Основные свойства			н е р а ............................................................в е н с т в а					160	159
§ 2. Тождественные неравенства.............................................................
§ 3. Задание некоторых числовых н точечных множеств при помощи									165
§ 4.	неравенств ............................................................................................							.
	Неравенства, содержащие абсолютную величину . . .								168
§ 5.	Решение	неравенств		с т е п е н и					169
§ 6.	Неравенства первой								173
§ 7.	Системы	линейных		н е ........................................................р а в е н с т в					177
§ 8.	Смешанные с и с т е м ..........................................................................ы								19!

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Василий Владимирович Иваненко

Ст. корректор С. Д. Цымбал

	'■ -	Техн. редактор Г. В. Куцая
		Техн. редактор Г. В. Куцая
г?2&ап.		Подписано к начата 26.01. 71 г.	Зак. £'Ж
Тпп. КВЛИУ.		Уч.-мзл. л. 11,048.	Печ. л. 12,230.
		Формат бумаги І50Х 80'/і6.
Цена 53 кип.		(Для внутриведомственной продажи).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2020

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ