книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Кроме того, условимся считать ранг матрицы равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю.

Замена в матрице горизонтален вертикалями и обратно с со­ хранением порядка их следования называется транспонировани­ ем матрицы. При транспонировании матрицы ее ранг не изме­ няется. Это следует из свойств определителя.

Существуют различные методы вычисления ранга матрицы, из которых ограничимся одним способом .наиболее распростра­ ненным и достаточно эффективным.

Этот метод состоит в том, что при помощи элементарных пре­ образований заданная матрица приводится к треугольному виду.

Элементарными преобразованиями матрицы являются следу­ ющие ее преобразования: а) перестановка двух любых горизон­ талей (вертикалей); б) умножение всех элементов любой гори­ зонтали (вертикали) на произвольный множитель, отличный от пуля; в) прибавление к любой горизонтали другой горизонтали, умноженной на произвольное число и аналогичные преобразова­ ния вертикалей. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется и получаем матрицу, эквивалентную данной. Справедливость этого утверждения вытекает из свойств опреде­ лителей (§ 7).

Если матрицы А и В одинакового ранга, то это обыкновенно записываем так:

порожденных данной матрицей, дающее возможность установить ее ранг, представляет довольно длительный и трудоемкий про­ цесс. Поэтому заданную матрицу преобразуем так, чтобы без каких-либо особых вычислений получить определитель, отличный от нуля. Желательно, чтобы образованный из элементов матри­ цы определитель был диагональный, который всегда легко вы­ числить. Для определения ранга данной матрицы удобно, преж­ де всего, сложить первые три горизонтали и полученную сумму

вычесть из четвертой горизонтали, тогда

Затем вторую горизонталь умножим на 3, сложим с первой и по­ лученную сумму вычтем из последней горизонтали, имеем

Далее первую и вторую горизонталь одновременно вычтем из третьей горизонтали, а затем последнюю вертикаль, умножая предварительно на 3, 2, 1 и 3, прибавляем ко всем предшествую­ щим вертикалям, аналогично поступаем и с предпоследней вер­ тикалью. Выполняя последовательно указанные преобразования, получим

Наконец, все элементы первой вертикал» поделим на три и Первую вертикаль поменяем местами с третьей, тогда

т. е. имеем треугольную матрицу. Следовательно, ранг данной матрицы М равен трем, так как определитель третьего порядка

базиса п-мерного векторного пространства, будет, как известно

(§ 4), единичной матрицей

'1 0 .. - 0^

О 1 ... 1

Е„ =

,0 0 . . . 1,

Ранг единичной матрицы Еп равен п, так как определитель

1 0 . . . 0

D,і= 0 1 . . .0 ФО.

О 0 . . . 1

Последнее равенство приводит к выводу, что базисные век­

торы еь въ ■■ -, еа будут линейно независимыми, если принять во внимание еще следующие условия: линейную зависимость век­ торов в /г-мерном пространстве (§ 3, п. 3) и существование у системы линейных однородных уравнений (16) только нулевых или тривиальных решений (§ 10, п. 3).

Не излагая общей теории, покажем еще на конкретном при­ мере 'применение ранга 'матрицы к решению задачи о линейной зависимости векторов.

Положим, что надо найти линейную зависимость между век­ торами

сіі = ег~\~ 4е2-{- бз 4* ^4і

öjj = 2et + Зе2— із +

Составив матрицу, горизонталями которой будут координаты

заданных векторов, имеем

/

Для того, чтобы определить ранг этой матрицы, элементы первой горизонтали умножим последовательно на —2 а затем на —1 и прибавим к элементам последующих горизонталей, то-

1да

Определитель

14 ¥=0,

О— 5

следовательно .ранг матрицы А равен двум. Элементы определи­ теля D расположены в первых двух горизонталях, следователь­

Иа основании этих равенств приходим к выводу, что послед­ няя вертикаль матрицы В выражается линейно через предыду­ щие вертикали, а именно, если все элементы первой вертикали умножить на ßb все элементы второй — иа ß2 и, наконец, все элементы предпоследней вертикали умножить на ß„ и полученные произведения сложить, то и будем иметь последнюю вертикаль матрицы В. Следовательно,

I

Таким образом видим, что в случае совместности системы (17) ранг матрицы А равен-рангу матрицы В.

Обратно, пусть матрицы А и В имеют одинаковый ранг, рав­ ный, например, г. Покажем, что в этом случае система (17) бу­ дет совместна.

Так как ранг матрицы А равен г, то должен существовать хотя бы одни определитель r-го порядка D, порожденный матри­ цей А, отличный от нуля. Этот определитель D будет, очевидно, определителем и расширенной матрицы В. Без ограничения общ­ ности доказательства можно допустить, что D находится в левом верхнем углу матрицы А и В, так как в противном случае можно было бы изменить соответствующим образом нумерацию уравне­ ний и неизвестных. В этом случае первые г горизонталей матри­ цы А, а также и матрицы В, будут линейно независимы, а осталь­ ные горизонтали (если такие имеются) будут через них линейно выражаться. Таким образом, умножая первые г уравнений сис­ темы (17) на соответствующие числа и почленно складывая, по­ лучим любое из остальных т—г уравнений системы (17), т. е. каждое из этих «і—г уравнений (если т > г) получено как линей­ ная комбинация первых г уравнений системы (17). На основании этого достаточно ограничиться первыми г уравнениями системы

(17) и таким образом получим систему

которая равносильна первоначальной, потому что всякое реше­ ние первых г уравнений будет, на основании сказанного, удов­ летворять и всем остальным т—г уравнениям системы (17).

Здесь возможны два случая: г = п или /'</г.

Если г = п, то число уравнений в системе (19) будет равно числу неизвестных, причем по условию определитель этой сис­ темы D =h 0. Известно (§ 10), что такая система имеет единствен­ ное решение, получаемое по правилу Крамера.

Эту систему можно решить по правилу Крамера относительно Х\, хъ . . .хг, так как определитель г-го порядка из коэффици­ ентов при этих неизвестных есть D и по условию не равен нулю. Придавая затем свободным неизвестным хг+\, . . ., хп произволь­ ные числовые значения, получим соответствующие числовые зна­ чения для л'і, х% . . ., хг. Следовательно, при г<п имеем беско­ нечное множество решений.

Таким образом, если матрицы А и В имеют одинаковый ранг, то система (17) будет совместной, причем при г = п она является определенной, а если г<п, то неопределенной. Кроме того, при рассмотрении этих случаев установлен также практический спо­ соб решения системы (17).

Пример 1. Решить систему уравнений

*1 — 2 х3 + З*3 — *4 + 2*в = 2,

3*х — *а + 5*з — 3*4 — *5 = 6,

2*! -f *2 + 2*3 — 2*4 — 3*5 = 8.

Р е ш е н и е . Прежде всего, определим ранг матрицы систе­