книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие
.pdfКроме того, умножение матриц дистрибутивно относительно сложения и относительно вычитания. Следовательно,
|
(Л + В) С = АС + ВС , |
С (Л + В) = СА + СВ , |
а также |
|
|
|
(.А - В)С = АС — В С , |
С ( А - В ) = С А - С В . |
Наконец, умножив квадратную матрицу саму на себя, полу |
||
чим степень матрицы |
= Л", |
|
|
Л Л . . . Л |
|
где я — число натуральное. |
|
|
4. |
Из всевозможных линейных преобразований выделяется |
|
одно преобразование, которое называется тоэісдественным |
||
|
У і = |
* i . |
|
У г — х 2 , |
|
Уп — хп-
Это преобразование определяется единичной матрицей
которая перестановочна с любой квадратной матрицей Л данного порядка, т. е.
где |
|
|
|
АЕ = Е А = А , |
|
|
|
|
|
|
|
0ді ^12 |
• 0>1п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
А = |
Æoi Cl")*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cln |
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
В задачах № 109-117 вычислить произведения матриц |
|
|
|
|||||
109. |
3 —2 |
3 4 |
|
Отв. |
5 |
2\ |
|
|
|
5 |
- 4 |
2 5 |
|
|
7 |
0 J ' |
|
110. |
a |
b |
а ß |
|
Ore. |
аа -f- b'; |
aß + bo |
|
|
с |
d |
л 8 |
|
|
ca -}- d'( |
cß -ф- do |
|
112.
ИЗ. |
'а + |
b + |
с |
а? |
Ьп- + с2 |
b- -b 2ас |
|
а + |
b + |
с |
Ь! + |
2ас |
а? -fft2 + С2 |
|
|
3 |
|
a -f b + с |
а b ~ 1 |
|
114. |
|
|
|
|
|
|
115.
116. |
Отв. |
''о 0o o \ |
||
|
|
0 0 |
0 |
0 |
|
|
0 0 0 0 |
||
|
|
,0 О0 о / |
||
117. |
Отв. |
|
|
|
В задачах № 118—122 вычислить выражения |
|
|
|
|||
118. |
Отв. |
15 20 |
119. |
1 - |
2І3 |
Отв. / із —и |
|
|
20 35 |
|
3 - 4 ; |
\ 21 -2 2 |
|
120. |
Отв. |
|
121. |
'1 |
г |
Отв. |
|
|
|
|
,0 |
1, |
|
о о |
. 0 |
к |
|
||
0 і3 о . |
. 0 |
|
0 0 а3 . |
. 0 |
|
0 0 0 . . |
■“п |
> |
|
|
123. Вычислить AB—ВА, если
Отв. |
0 0 . |
|
. 0 |
а? |
. |
||
о |
О |
. 0 |
|
о о |
а$ . . . 0 |
||
0 0 0 . . |
|
|
|
|
/1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
A = |
2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
\1 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ors |
- 1 0 —4 |
- 7 \ |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
14 |
4 1 . |
124. Вычислить BA—AB, если |
|
|
|
- 7 |
5 |
- 4 / |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 1 |
° \ |
/ |
3 |
1 — 2 |
|
|
|
А = \ |
|
|
|
|
|
|||
1 1 |
а |
в = |
3 |
_ 9 |
4 |
|
|
|
- 1 2 |
1 / |
Ѵ - з |
5 — 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Отв. |
О0 0\ |
|
|
О0 0 ]
ООО/
125. Доказать, что каждая матрица второго порядка
удовлетворяет уравнению
х2—(я т d) X + (ad— be) = 0 .
§16. Обратная матрица
1.Квадратная матрица
/ Яц CLі2 • • . С 1 \ц ^
я21 а22 • • ■н2п
\ащ С1п2 ■ ■ • CLnn )
называется вырожденной (или особенной) , если ее определитель равен нулю de't Л = 0, и невырожденной (или неособенной), если del А ф 0.
Соответственно этому и линейное преобразование S, рассмот ренное в предыдущем параграфе, которое определяется матри
цей А, будет вырожденным, если del /1 = 0, и невырожденным, ко гда det А ф 0.
Например, известное в аналитической геометрии преобразо вание координат при повороте координатных осей (§ 15):
|
I X |
— х' cos я — у' sin а , |
|
||||
|
1 у = |
х' sin я + у' cos я |
|
||||
будет преобразованием невырожденным, так как |
|||||||
|
cos я |
— sin я |
= |
cos2 я -)- sin2 я Ф 0 ■ |
|||
|
det Л = sin я |
cos я |
|||||
Пусть рассмотренное выше (§ 15) линейное преобразование S, |
|||||||
переводящее систему |
переменных |
х\, |
х% |
. . ., х п в систему |
|||
Уі, У2, |
. Уп- |
|
|
• ■ • + |
Clin |
xn , |
|
|
Уі = а11х14" |
х2-J- |
|||||
|
Уі = а21х1 4~ й22х2+ |
■ |
* + &2П * |
||||
|
Уп — ашх 1 |
+ anax2 + |
■ • |
• 4“ cinnxn j |
|||
будет невырожденное, т. е. de’t А ф 0. Покажем, что для этого ли нейного преобразования существует обратное линейное преобра зование, которое обозначаем 5 _1, переводящее систему перемен ных уь у% ■■ -, Уп в систему х х, х2, . . ., х п.
Для того, чтобы построить указанное обратное линейное пре образование 5 -1, надо переменные x h х% . . ., хп выразить через Уі. Уъ ■- •Уп■Следовательно, необходимо решить систему /г ли нейных уравнений с п неизвестными. По правилу Крамера (§ 10) эта система имеет единственное решение, так как определитель системы de'L4 Ф 0. Таким образом, получим:
|
Хі = ^ >1 |
X = |
м і ’ |
X = ^ 2 - |
|||||
|
|
|
м і |
’ |
2 |
" |
м Г |
||
где, как обычно, |
\Л\ |
обозначает определитель матрицы А и |
|||||||
|
an ai2 • |
• |
Olt-1 Уі aim • •• aln |
|
|||||
Dt = |
a21 a22 • |
|
|
|
2 |
CI21+1 • |
■<hn |
|
|
■Ягі-і У |
|
|
|||||||
|
« m a |
Л2 • |
■ani-l |
Уп anl+ 1 ■ • ann |
|
||||
Разлагая затем определитель Di |
по элементам і-й вертикали, |
||||||||
имеем |
|
Di = |
|
А1іу1+ |
А2іу2+ |
... + Anlym |
|||
|
|
|
|||||||
где t'=l, |
2, . . ., n |
и Ay, |
А2і, . . ., |
Ап1 |
будут алгебраические |
||||
дополнения элементов і-й вертикали определителя Dr
*і = Л і ! / , + Л і |
Уі + • |
Аni |
|
|
у* |
|
|||
м . |
Ml |
|
Ml |
|
*2 = Л12 Ух + 'Ann |
У2+ |
Ans Уп, |
(S-1) |
|
M l |
|
|
M l |
|
Ai1„ |
, ALg » |
, |
A r |
|
A |
■Уі + ттгУ* + |
Уп- |
|
|
IA |
|
|
|
|
Полученное линейное преобразование S-1 и есть обратное относительно преобразования S. Это преобразование характери зуется матрицей, которая будет обратной относительно матрицы
ахх |
(1-\О. .• • а1п |
|
||
Л = |
Ü-22• • |
• Оіп |
|
|
■ап1 ап2 ■■■а„п |
|
|||
и обозначается А~1. Следовательно, |
|
|
||
Ли |
Л21 |
|
ЛЛІ |
|
И) |
Ml |
' |
' Ml |
|
•^12 |
■^22 |
|
A „2 |
|
Ml |
Ml |
' |
' Ml |
(1) |
Ain |
A2n |
|
Ann |
|
ІМІ |
Ml ' |
' Ml) |
|
|
ІВпдим, что для получения обратной матрицы А-1 надо в мат
рице А каждый элемент atJ- |
заменить его |
алгебраическим до |
|||
полнением A[j, |
деленным на определитель матрицы |
|Л|, и затем |
|||
получившуюся |
матрицу транспонировать. |
Транспонированием |
|||
матрицы, а также определителя (§ 7), называется |
перемена ро |
||||
лями горизонталей и вертикалей с сохранением |
их |
номеров. |
|||
Следовательно, |
горизонтали |
данной матрицы будут в той же |
|||
последовательности вертикалями транспонированной |
матрицы, |
||||
и наоборот. |
|
невырожденной матрицы п-го по |
|||
Можно доказать, что для |
|||||
рядка (невырожденного линейного преобразования) существует только одна обратная матрица (линейное преобразование).
Непосредственно убеждаемся, что
ЛА- 1= Е, А~1А = Е.
Если матрица А невырождающаяся, то можно говорить не только о положительной, но и отрицательной степени матри цы, т. е.
= А~п,
наконец А° = Е.
Пример 1. Дана матрица
3 2
А =
- 1 4
Найти обратную матрицу.
Р е ш е н и е . Данная матрица невырождающаяся, так как
|
А| = |
|
3 2 |
= 14; |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
алгебраические дополнения будут |
|
|
|
|||
А ц = 4, Лі2 = — (— 1) — 1, |
Л-21 = — 2, |
Л22 —3. |
||||
Следовательно ,по формуле (1) имеем |
|
|||||
Лц |
Л2і |
4 |
|
2 |
( 2 |
1 |
Ml |
M l |
14 |
|
14 |
7 |
7 |
1 |
|
|
1 |
3 |
||
Л12 |
^22 |
|
3 |
|||
1 Ml |
M l |
14 |
|
14 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
||
Пример 2. Дана матрица
Найти обратную |
матрицу. |
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
|
Матрица А невырождающаяся, так как |
|||||||
|
|
1 |
0 |
2 |
1 0 |
2 |
1 |
4 |
|
M l |
|
1 1 |
2 |
0 1 |
4 |
- 5 . |
|||
— |
1 - |
1 |
|||||||
|
|
0 |
1 - 1 |
0 1 - 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Вычисляем далее алгебраические дополнения: |
|
|
|||||||
Ац = 1 |
- |
2 |
= — 3, |
Л12 = |
|
|
|
= - 1, |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А 13 — |
- 1 1 |
1 |
|
|
0 |
2 = 2, |
|
|
|
|
О 1 |
|
|
|
1 |
— 1 |
|
А 22 — |
1 |
2 |
|
Аоч — |
1 О = - 1, |
|
||
|
О |
- 1 |
|
|
|
О |
1 |
|
0 2 |
— |
2, |
Аз2 — |
1 |
2 |
-- -- 4, .Адз -- |
1 0 |
|
1 2 |
|
|
|
— 1 |
2 |
|
- 1 |
1 |
Следовательно, по формуле (1) получим
'3_ |
2_ |
2 _) |
|
|
|
||
5 |
5 |
5 |
|
|
' 3 - 2 |
||
J_ |
J_ |
4 |
|
|
|||
|
5 |
1 |
1 |
||||
5 |
5 |
5" |
|||||
.1 |
1 |
||||||
J_ |
|
J_ |
|
|
|||
J _ |
|
|
|
|
|||
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
2. Если квадратная матрица |
|
|
|
|
|
||
О.Ц |
|
«13 • |
■<h» ' |
|
|
||
&21 |
|
«23 • |
■ « 2 л |
|
|
||
А = «31 |
« 3 2 |
«33 • |
• |
а3п |
|
|
|
Ahn а2п а3п■ • « л п.
совпадает со своей транспонированной матрицей, то такая мат рица называется симметрической. В симметрической матрице элементы, симметрично расположенные относительно главной ди агонали, равны между собой, т. е. а /у- = ajh Заметим, что произ ведение двух симметрических матриц, вообще говоря, не являет ся симметрической матрицей. Это произведение двух симметри ческих матриц будет также симметрической матрицей только в том случае, когда данные симметрические матрицы перестано вочны между собой, т. е. AB —ВА.
Если квадратная матрица отличается множителем — 1 от своей транспонированной матрицы, то такая матрица называется кососимметрической. В кососимметрической матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной ди агонали, отличаются друг от друга множителем—1, т. е.л;у = —ау;, а элементы, стоящие по этой диагонали, равны нулю. Например,
матрица |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
- 1 |
0 |
4 5 |
|
А = |
— 4 |
0 6 |
|
- 2 |
|||
- з |
- 5 |
- 6 |
0 |
будет кососимметрической. Произведение двух перестановочных между собой кососимметрических матриц является симметричес кой матрицей.
3. Воспользуемся умножением прямоугольных матриц и сво ствами обратной матрицы для того, чтобы получить правило Кра мера решения системы п линейных уравнений с п неизвестными.
Для этого рассмотренную выше систему (13, гл. II)
«ИЛ'і + |
Яі2х 2 |
4- • • • + |
аіпХп = |
bi, |
+ U2ix2 |
4" |
&2nXn —b2 |
||
a n l X l + |
a n2X 2 |
+ • • • + |
&nn.X n — |
Ь n |
запишем одним уравнением |
|
|
|
|
|
AX = B, |
|
(2) |
|
которое называется матричным уравнением. В этом матричном уравнении Л есть матрица заданной системы
^11 |
^12 • • • Æ-1п |
|
А = |
|
Я22 • • ■ |
|
|
|
^ |
|
• • еі« |
|
^ПІ и п і ■■■^ п п / |
|
X и В являются столбцевыми матрицами, составленными соот ветственно из неизвестных и свободных членов
*1 |
|
V |
Х2 |
|
Ьо |
• |
, |
в = |
X = |
|
|
х п |
|
Ьп, |
Произведение АХ имеет смысл, так как число вертикалей матрицы А равно числу горизонталей матрицы X.
Умножим теперь обе части уравнения (2) на матрицу Л-1, существование которой вытекает из того, что матрица Л есть невырождающаяся. При умножении множитель А ~ 1 помещаем слева, тогда
л-ілх = л -ів,
отсюда
X = A~lВ,
так как Л-1 А = Е, а единичная матрица при умножении матриц играет роль единицы.
Вычисляя обратную матрицу Л-1 по формуле (1) последнее матричное уравнение перепишем так
|
|
( Ап |
Ла1 |
|
ЛІ |
|
|
|
|
Хі |
\ А \ |
Ml ' “ |
Ml |
Мі |
|
|
|
|
х2 |
л1г |
Ли |
|
■^л2 |
Ь, |
|
|
|
|
Ml |
Ml ' " |
Ml |
|
|
|
|
|
|
A u |
■^2л |
|
A„„ |
|
|
|
|
|
(Ml |
Ml ■ ” |
MlJ |
|
|
||
|
|
^ T 7 b i + ^ r f b t + |
+ |
^nl |
bn |
|||
|
|
|
|
|
|
|
M l |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЛ2 h |
|
|
|
и |
М |
|
|
M l |
°n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
л |
А |
2л |
|
+ |
A |
b„ |
|
|
1л |
|
|
u lnn |
|||
отсюда |
|
}\А\ |
ІЛ |
|
|
А\ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X , |
— |
{Ь іА ц . + |
Ь2А г1 + |
• ■• + М л О — - j j |
|
|||
|
■(і>іЛіг -f- |
Ь2А22 |
|
|
|
D. |
|
|
|
|
bnAn2) —-JJ |
|
|||||
*л |
1 |
(Min "H b2A2n + |
• • • + |
bnA nn) |
Dn |
|
||
|
IA I |
|
|
|
|
|
D ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |Л | |
есть определитель заданной системы, который выше |
|||||||
(§ 10) обозначен D, а выражения, стоящие в скобках, есть опре делители, полученные из определителя системы D путем после довательной замены всех вертикалей, начиная с первой, соответ ствующими свободными членами.
Таким образом, получили уже известные формулы (§ 10, 15), которые являются правилом Крамера.
Пример 3. Решить систему уравнений |
|
|||||
|
|
2 хі -р 3.ѵ'2 -р 2 х 3 |
= |
9; |
|
|
|
|
X^ -р 2х3 — Зхз — 14, |
|
|||
|
|
3Xj -р 4x2 ~Р |
— 16, |
|
||
представив ее в виде матричного уравнения. |
уравнением (2) |
|||||
Р е ш е н и е . |
Заданная |
система |
матричным |
|||
запишется |
так |
|
АХ = В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
/2 3 |
2\ |
А Д |
|
/ 9 \ |
|
Л = |
1 2 - 3 , |
X - *2 , |
В = |
14 |
||
|
\ 3 4 |
V |
W |
|
U / |
|
Решение этого матричного уравнения будет |
|
|||||
|
|
X — А~х В . |
|
(3) |
||
Прежде всего находим обратную матрицу Л-1. Для этого вы
числим |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
2 |
|
— 4 |
- 5 |
0 |
- 4 - 5 = - 6, |
|
\А I = 1 2 — 3 |
= |
10 14 0 |
|||||
3 4 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
10 |
14 |
|
|
|
|||||
а затем вычисляем алгебраические дополнения этого определи
теля: |
2 |
- 3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
1 |
= 14, |
Л 2і — — |
4 |
|
1 = |
5, |
|
Л 31 — |
3 |
2 |
= — 13, |
Ліо = — |
1 |
|
- 3 |
= — 10; |
|
2 |
- 3 |
3 |
|
1 |
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
= 8, |
|
Л 22= |
3 |
1 = |
— 4, |
Л 32 — |
1 |
|
— 3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
ЛіЗ — |
3 4 |
= — 2 , |
Лоз —-- |
3 |
= 1 |
^зз — |
1 |
2 |
= 1. |
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
Следовательно, по формуле (1) получим |
|
|
|
|
|||||||
Л,, |
Лоі |
Ля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
-™21 |
^31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Л | |
|Л | |
|Л | |
|
Л і і Л 2і А ц |
|
/ 1 |
4 |
5 |
- 13' |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
А~ 1 = Л 12 |
Л 22 |
Лзо |
|
А і2 Л22 Лд2 |
|
|
|
|
|
|
|
W W W . |
|
Л із Л 2з Л 33 |
|
|
|
|
|
|
|||
Л ]3 |
Л 23 |
Л 33 |
|
V |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
И І |
|Л | |
ИІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|