книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие
.pdfГ Л А В А III
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ
§ 14. Произведение матрицы на число. Сложение матриц
1. О п р е д е л е н и е . Для того, чтобы умножить число а матрицу А, или матрицу А на число а, надо все элементы матри цы. А умножить на а, т. е. если
то
Из определения умножения матрицы иа число вытекают сле дующие свойства:
а) 1 • А —А\
б) 0 -А = 0; следовательно, получили нулевую матрицу, т. е. матрицу, у которой все.элементы равны нулю;
в) a(ßA) = (aß)A, где а, ß — числа. Если матрица А квадратная
то из ее элементов можно составить определитель del А, тогда detccA = a" det/4,
потому что если все элементы какой-либо горизонтали (верти кали) определителя умножить на одно и то же число а(а=£0), то значение определителя умножится на а (§7).
2. О п р е д е л е н и е . Суммой двух матриц
одинаковых размеров, т. е. имеющих соответственно равное чис ло горизонталей и вертикалей, называется матрица тех оке раз меров, элементы которой равны суммам соответственных эле ментов матриц А и В. Следовательно,
Пусть матрицы А, В, С, обладают одним и тем же количест вом горизонталей и одним и тем же количеством вертикалей, тогда из последнего определения вытекают следующие свойства:
а) А -\- В = В |
А |
(коммутативность сложения), |
||||
б) (Л + В) + |
С = А + (В 4- С) |
(ассоциативность сложения), |
||||
в) |
А + |
0 — А, |
где 0 — нулевая |
матрица, |
||
г) |
(а + |
ß) А = |
о..А + |
ß/4, |
где а, ß — числа, |
|
д) |
a (A -f- В) = аА + аВ, |
где а — число. |
||||
На основании этих свойств, например, получим |
||||||
|
|
Л + Л = 2Л, |
Л + Л + Л = З Л . |
|||
Введя обозначение
( — 1) Л = — Л ,
будем иметь
л+ ( — Л ) — о ,
( — а) л = — а Л ,
— (А + В) = - А - В .
6 Зак. 18. |
81 |
Для кратности вместо А + (—В) обыкновенно пишут А—В. Таким образом, для матрицы А и В всегда найдется такая мат рица X, что А + Х=В. Матрица X называется разностью матриц В и А и обозначается через В—А, что показывает существование обратного действия к сложению.
Суммой двух диагональных матриц одного и того же порядка
будет также диагональная матрица такого же порядка
|
аи + ^хі |
0 |
• • |
• |
0 |
\ |
А л- В — |
О |
ßng “f" ^22 • ■■ |
О |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
0 |
. . . |
апп+ bnn |
J |
|
Пример. Определить матрицу
М = ЗА H- QB - 5С .
если
2 1
53
—1 2
Р е ш е н и е. Искомая матрица будет
|
2 |
1 |
з |
|
( |
\ - |
1 2 |
- 2 |
М = 3 |
5 3 -- 2 |
0 + 6 3 0 — 3 |
4 |
|||||
|
- 1 2 |
\ - ъ ) |
V2 |
1 5 - 1 |
||||
|
0 |
1 2 |
|
3 |
6 |
3 |
9 |
12 \ |
|
3 |
2 1 |
|
0 |
15 9 - 6 0 Н - |
|||
|
- 1 |
1 2 - 2 |
|
- 3 6 |
3 - 15 / |
|||
6 |
- 6 |
|
12 - І 2 \ |
I' |
|
0 |
- |
5 - 10 |
|
+ 18 |
0 |
- |
18 24 |
+ |
— 15 |
— 10 - |
5 |
||
12 |
6 |
|
30 - 6 / |
\V 5 — 5 - 10 |
|||||
|
|
|
|
|
1 2 - 8 |
1 1 - 1 5 |
|||
|
|
|
|
= I |
18 |
—1 |
— 29 |
24 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
7 |
23 |
— 11 |
§15. Линейное преобразование. Умножение матриц
1.Положим, что в прямоугольной системе координат хОу задана точка М(х, у). Оставляя начало координат в точке О, повернем координатную систему так, чтобы новое направление оси абсцисс Ох' образовывало с прежним угол а. Заметим, что угол поворота отсчитывается в направлении, обратном движению часовой стрелки. Обозначая координаты заданной точки М в прямоугольной системе х'Оу' через х', у', получим следующие известные формулы преобразования координат:
j x = х ' co s а — у |
' sin а , |
\у — X' Sin а + ÿ ' |
COS а. , |
которые доказываются в аналитической геометрии. В этих фор
мулах координаты X, у выражаются через координаты х', і/ |
л и |
н ейно с некоторыми числовыми коэффициентами. Вообще |
до |
вольно часто приходится встречаться с заменой одних перемен ных (неизвестных) через другие, которые выражаются линейно через первые. Такую замену переменных обыкновенно называют их линейным преобразованием (линейной подстановкой).
Таким образом, такой переход от переменных х ь хъ |
■ |
. |
хп |
к переменным уь у2, . ■ -, уп, когда переменные у\, уъ . |
. |
., |
уп |
выражаются л и н ей н о и о д н о р о д н о через переменные х и х2, .. ., хп:
|
У\ = |
ап х1 |
+ а 12х., + |
... + |
а1пхп , |
|
|
|
у.г = |
ап |
-f- аг2 х2 + ... + |
&2п хп . |
|
(5) |
|
|
............................• • |
• • * • • » |
|
|
|||
|
Уп |
®ЛІ |
”Ь ^/і2 ^2 “Ь • • ■4“ &пПХц |
|
|
||
называется |
ли н ей н ы м п р ео б р а зо в а н и ем |
(или л и н ей н ой |
подст а |
||||
н о вк о й ) переменных х\, хъ ■■-, хп |
в переменные у\, |
у% |
. . ., уп*. |
||||
Выражения вида 5 |
также называются л и н ей н ы м и |
ф орм ам и . |
|||||
*) Целая |
рациональная |
функция |
у = atx" -f- а2х 2 + . .. + amx “n, где |
||||
A'J , д'2, ... х,п — независимые переменные, называется однородной, если все ее члены одного измерения (одной степени). При n=il функция будет линейной, при л = 2 — квадратичной и т. д. Все коэффициенты аг, ат являются постоянными.
Линейное преобразование 5 вполне определяется своей мат рицей из коэффициентов
'а\\ аіа ■• • аіп
ла2\ а22 ■■■а2п
1/г2. . . а „
Обратно, задавая произвольную матрицу п-го порядка, можно написать линейное преобразование, для которого эта матрица является матрицей из коэффициентов. Следовательно, между линейными преобразованиями п переменных и квадратными мат рицами /г-го порядка существует взаимно однозначное соответ ствие. Поэтому всякому понятию, связанному с линейными пре образованиями, и всякому свойству этих преобразований должно соответствовать аналогичное понятие или свойство, относящееся к матрицам.
Рассмотрим вопрос о последовательном выполнении двух ли нейных преобразований. Пусть после линейного преобразования 5 выполнено линейное преобразование
|
'2i = |
bn |
-f blt yt + |
.. ■+ |
bln y„ , |
|
|
|
|
|||
|
Z2= |
b-n t/i + b2î У-2 + |
. |
• + |
b2n y„ , |
|
|
|
(Т) |
|||
|
zn = |
bnlyl + bn2y2 -f |
. • ■+ |
bnn y„ |
|
|
|
|
||||
переводящее |
систему |
переменных |
|
уи у& . . . . |
уп |
в |
систему |
|||||
*і, z 2. • • -,z„. |
|
|
Т вполне |
определяется своей |
матрицей из |
|||||||
Преобразование |
||||||||||||
коэффициентов |
|
|
b„ |
b\2 ■ ■bln |
\ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bn |
Ь22 ■■■b2n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
bnг bn2 • |
■bnn) |
|
|
|
|
|||
При совместном действии преобразований 5 и Т переменные |
||||||||||||
X1, хъ ■. ., хп переходят в переменные z u 22, . . ., zn. |
|
Действи |
||||||||||
тельно, подставляя |
значения y t (г=1, 2, . . ., п) |
из S |
в Т, полу |
|||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г і = Ь ц (Д и *1 + а 12 Х 2 + |
• ■• + а |
1,і Х п) + |
Ь іг («21 х і |
а 22 Х 2 |
+ |
• • ■+ |
||||||
+ а 2 п х п ) + • • • + ^ ln ( а п1 Х 1 + а п2 х 2 + • ■■ + а пп х п) > |
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z l = Ф и а Ч + |
^/2 а 2 1 |
+ |
• |
• • + b ln |
a n l) х 1 |
|
“Ь |
|
|
|
|
|
|
+ |
Фц а12 -f b12 й-22 + |
■• • + |
b,n апъ) х2 -(- |
|
|
||||||
|
+ |
............................... ........................... + |
|
|
( U ) |
|||||||
где i= l, 2, . |
+ |
Фі1 й-іп + bl2 a.in -f |
... 4- bln ann) xn , |
|
|
|
||||||
. ., n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем линейное преобразование U, которое производит то же действие, что и последовательное применение преобразований 5 и Т. Это линейное преобразование U называ ется произведением преобразований Т и S, а матрица С, которая характеризует линейное преобразование U, есть произведение матриц В и .4.
Произведение линейных преобразований и произведение мат риц записывается так же, как и обычное произведение, причем преобразование, выполняемое первым, записывается первым справа. В том же порядке записываются сомножители матрич ного произведения. Следовательно,
U =>TS, |
С = ВA , |
|
|
|
||
где |
|
|
f c\I ^12 • •■Cln |
|||
Ьі1 Ьі3 • . ■Ьщ \ |
/ ÛJ1 я12 • |
• аы \ |
||||
С = ^21 ^22 • ■bbl |
I Cl<21 CL%2*■■a2n |
— C21 C |
• |
• C1n |
||
Ь„1 ЬП2 ■■■bnnJ |
\Unl un 2 . |
|
W Cll2•**^an |
|||
Здесь легко заметить, что |
|
|
|
|
|
|
си — Ьп йп “Ь ^і2 Ягі + • ■• ~Ь Ьыа.пі, |
|
|
||||
С12 — Ь ц а і 2 "T ^12 a i 2 ~Ь • • ■“Ь b in (ІП2 , |
|
|
||||
сin — Ьц Нщ -f- biгUm |
-Ь Ьщ ипп , |
|
|
|||
Вообще элемент сік |
матрицы |
С, лежащий |
на |
пересечении |
||
/-й горизонтали и k-й вертикали, |
выражается |
через |
элементы |
|||
матриц В и Л следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
cik = bи Uik + bi2 u4k + • • • + |
blnank. |
|
|
|||
Заметим, что операция умножения двух прямоугольных мат риц выполнима лишь в том случае, когда число вертикалей в первом сомнооісителе равно числу горизонталей во втором. В
частности умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя будут квадратными матрицами одного и того же порядка.
Пример 1: Вычислить произведение матриц
f l |
2 |
3 |
|
5 |
0 7 |
Л = 2 |
0 |
1 |
В = |
1 |
2 3 |
\3 - |
1 |
1 |
|
- 1 0 |
2 |
Р е ш е н и е.
1-5+2 - 1+3(—1) |
1-0+2.2+3-0 |
1-7+2-3+3-2 |
||
А В = . \ 2-5+0-1+1 (—1) |
2-0+0•2+1 -0 |
2-7+0 -3+1 -2 |
||
чЗ -5+ (— 1)-1+ 1(—1) |
3- 0+( —D-2+1-0 |
3-7+(—1 )■3+1 ■2у |
||
|
4 |
4 |
19' |
|
- I |
9 |
0 |
16 |
|
|
^13 — 2 20/ |
|
||
В данном случае полученное решение можно проверить таким
1 |
2 |
3 |
|
5 0 7 |
|
|
det А= 2 |
0 |
1 |
= — 3 , det В — |
1 |
2 3 |
= 34 |
3 — 1 |
1 |
|
- 1 |
0 2 |
|
|
4 |
4 |
19 |
|
9 |
О 16 |
— 102= — 3 -3 4 = d e U -d e tß . |
|
13 |
-2 |
20 |
|
Пример 2. Вычислить произведение прямоугольных матриц
|
/"«u |
«12 |
|
|
|
bи Ьц bi3 |
|
|
||||
А = |
^21 ^22 |
|
В = |
|
|
|
||||||
|
|
Ьц b2 Ô23 |
|
|
||||||||
|
|
y û s i |
« 3 2 у |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
anbn + |
|
|
“P |
СІ12622 |
« 1 1 ^ 1 3 |
- p |
«12^23 |
|||||
« 21^11 |
- + « 2 2 ^ 2 1 |
« 2 1^12 4 * |
«22^22 |
« 21^13 |
“ P « 2 2^23 |
|||||||
Пример (3.« 31^11Вычислить“P «32^21произведение«31^12 “P « 32^22диагональных« 31^13 P «32^*23yматриц |
||||||||||||
«и |
0 |
0 |
. ..0 |
' |
|
|
'Ьп |
0 |
0 . |
.0 ' |
||
0 |
«22 0 |
. . .0 |
|
В = |
0 |
Ьіг |
0 |
. |
.0 |
|||
А = 0 |
0 |
«зз • . .0 |
Î |
0 |
0 |
Ьяз • .. 0 |
||||||
|
|
|||||||||||
,0 |
0 |
0 |
. • ‘&ПП |
|
|
. 0 |
0 |
0 |
. ■• Ьпп |
|||
Р е ш е н и е. |
|
0 |
0 . .. |
0 ' |
||
Йц6ц |
||||||
0 |
|
022^2-2 |
0 . .. |
0 |
||
0 |
|
0 |
^83^33 • .. |
0 |
||
. 0 |
|
0 |
0 |
. • ■&ппЬпп J |
||
Пример 4. Найти произведения AB и ВА матриц |
||||||
1 |
3 |
2 |
|
1 3 |
6 1 |
|
В = |
2 3 4 1 |
|||||
А = |
6 |
4 |
||||
1 |
|
2 5 |
1 3 |
|||
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е. Число вертикалей матрицы А равно числу го ризонталей матрицы В. Следовательно, произведение AB сущест вует и получим
1 |
3 |
1 |
3 |
6 |
1 |
\ |
2 |
|
|
1 |
= |
||
AB |
6 |
2 3 4 |
||||
1 |
4 |
5 |
1 3 / |
|||
|
|
2 |
||||
_/1- 1 +3-2 + 2-2 1-3-І-3-3 + 2-5 1-6-f 3-4 + 2-1 1-1 4-3-1 4-2-3 \ _
\Ы + 6-2 +4-2 1-3 + 6-3 + 4-5 |
1-6 -f 6-4 + 4-1 1■1+ 6-1 + 4-3 / |
||
/11 |
22 20 |
10^ |
|
~ \2 \ |
41 |
34 |
19 J ' |
Произведение ВА не существует, так как число вертикалей матрицы В не равно числу горизонталей матрицы А.
: 2. Воспользуемся умножением прямоугольных матриц для новой записи рассмотренного выше линейного преобразования 5:
Уі — &ПХ1+ |
012Л"2 + |
• • + |
CLlnXn , |
|
У%— ^21-^1 Ч” |
"f" . . * Ч- |
^zn^n 1 |
(S) |
|
|
|
|
|
|
Уп — ап1Х14” ап'іхі + |
■ • Ч~ &ппХц* |
|
||
Для этого обозначим через А матрицу из коэффициентов пре образования
£Ец Ct\2 • *• &\п
іТді #22 *
А =
\@П1 atl2 •
и введем столбцевые матрицы
Уі |
л'і |
Уг |
|
7 = |
, х = |
Упі |
. Хп |
тогда линейное преобразование 5 молено записать одним мат ричным равенством
Уі |
|
|
|
|
|
|
V |
У% |
/ а п а 12 . |
• в і « \ |
|
Х2 |
|||
— I |
(І2і |
&22 |
• |
■ • |
а гп |
I |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
\& n l |
&п2 |
* |
• |
&пп / |
|
• |
|
Уп. |
|
|
|
|
|
|
Х/і. |
или в сокращенной записи |
7 |
= ЛЛ '. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Произведение АХ существует, так как число вертикалей матрицы
Аравно числу горизонталей матрицы X.
3.Отметим некоторые свойства произведения матриц, где
рассматриваемые матрицы являются квадратными одного и того же порядка.
Легко проверить, что произведение матриц некоммутативно, т. е. вообще говоря, AB ф ВА. Например:
1 2 |
'10 7 \ |
5 8 \ |
А = 3 4 |
АВ = 22 25/ ’ |
ВА = 13 20/ |
Следовательно, AB Ф ВА.
Если АВ — ВА, то матрицы А и В называются перестановоч ными или коммутирующими между собой.
Например, матрицы
перестановочные между собой, так как
Умножение матриц ассоциативно, т. е. А(ВС) = (АВ)С.