книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Г Л А В А II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

§ 5. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнении с двумя неиз­ вестными Хі и х2:

j а^Хх ~Ъ ^12-^2 = Ьх,

Коэффициенты данных уравнений обозначим одной буквой а с двумя индексами, из которых первый указывает номер уравне­ ния, в которое входит коэффициент, а второй — номер неизвест­ ного, при котором он стоит. Свободные члены обозначим буквой b с индексом, указывающим номер уравнения.

Умножим сначала первое уравнение заданной системы на а22, а второе на —а\2; затем первое уравнение системы умножим на

—а2и а второе на ап . Складывая после умножения данные урав­ нения, окончательно получим:

Видим, что знаменатель обеих дробей один и тот же; он пред­ ставляет двучлен, составленный из коэффициентов при неизвест­ ных. Этот двучлен называется определителем второго порядка (§ 4, 15) и записывается следующим символом:

в'11&22 ^12^21 = <7п Лі9

С?21 ^22

Таким образом, определитель второго порядка состоит из че­ тырех элементов, которые расположены в двух горизонталях, или строках, и в двух вертикалях, или столбцах.

Числитель первой дроби получен из знаменателя путем заме­ ны коэффициентов при х х соответствующими свободными члена­ ми; аналогично получен и числитель второй дроби,

Следовательно, формулы (1) окончательно будут:

где знаменатель не равен нулю.

Диагональ квадрата, на которой расположены элементы и а2% называется первой или главной диагональю, а диагональ,

на которой находятся элементы аі2 и а2ь называется второй диа­ гональю. Таким образом, для того чтобы вычислить определи­ тель второго порядка, необходимо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих по второй диагонали.

Пример 1. Вычислить определитель

Р е ш е н и е . Применяя установленное правило, имеем

п(1 + t2)2____________4P

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

§ 6. Определители третьего порядка

Пусть дана система трех линейных уравнений

c тремя неизвестными xb x% ,т3. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены обозначены по такому же принципу, как и для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если умножим обе части первого уравнения системы (2) на число 022<7зз—«2зазі обе части второго уравнения на «із«з2—«і2«зз

Этот определитель часто называется определителем заданной системы (2). В рассматриваемом случае полагаем, что он не ра­ вен нулю.

Числитель, также как и при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (§ 5), можно записывать в виде определителя третьего порядка, который легко получить из зна­ менателя, заменив первую вертикаль, где расположены коэффи­ циенты при Х\, соответствующими свободными членами. Таким образом имеем

где D и D1определяем по формулам (3) и (4).

Для того, чтобы найти хъ необходимо из уравнений системы

(2) одновременно исключить х, и х3, поэтому уравнения этой системы умножим соответственно на я2з я3і—я2і я33, аИ а33— —я,3язь я13я2і—Яц я23, а затем сложим. Таким образом опреде­ лим х2. Наконец, для того, чтобы найти х3, необходимо уравнения заданной системы соответственно умножить на я21 я32—я22яЗІ, Я]2Яз>і—ЯцЯ32, яи я22—я!2я21 и сложить.

Окончательно имеем

и определитель системы 0Ф 0.

Таким образом видим, что определитель третьего порядка имеет девять элементов, расположенных в трех горизонталях и трех вертикалях. Этот определитель есть многочлен, состоящий из шести одночленов, из которых три взяты со знаком плюс, а три со знаком минус. Каждый одночлен содержит три сомножи­ теля — по одному элементу из каждой горизонтали и каждой вертикали. Все это соответствует тому определению определителя n-го порядка, которое было дано выше (§ 4).

Легко установить правило для вычисления определителя треть­ его порядка: произведение элементов, расположенных по главной (первой) диагонали, берем со знаком плюс, и, кроме того, берем со зна ком плюс произведение элементов, расположен­ ных параллельно главной диагонали; произведение элементов, расположен­ ных во второй диагонали

и параллельно второй диагонали, берем со знаком минусЭто правило для вычисления определителя третьего порядка, которое можно показать схематически (черт. 6), называется правилом Саррюса.

Пример 1. Вычислить определитель

Р е ш е н и е. По правилу Саррюса имеем

D = 2-4-(—5) -f (— !)• 1 • 1 4- 3-(— 2)-3 — 1 - 4-3 —

— ( - !)•(— 2)(— 5) - 1 -3 -2= — 4 0 — 1 — 18 — 12 + Ю — 6= -67.

Пример 2. Вычислить определитель

Р е ш е н и е. По правилу Саррюса получим

D = (а2+ 1) (Ь* + 1) {с2+ 1) + а?Ь2с- + а-Ь2с2 —

- а*с* (62 + 1) - ЬЧг {а1+ 1) — аѢ 2 (с2 + 1) =

= (a*ô2+ а? + Ь2+ 1)(с2+ 1) + 2a W — ЗаW —

— а2с2— ô2c2— а 262= а2+ ö2+ с2 + 1.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений

3 - 1 1

Для того, чтобы воспользоваться формулами (5) и (б) в оп­ ределителе системы необходимо последовательно заменить эле­ менты всех вертикалей, начиная с первой, на соответствующие свободные члены. Последовательно выполняя вычисления, на­ ходим:

§7. Свойства определителей третьего порядка

Св о й с т в о I. Значение определителя не изменится от за­ мени его горизонталей (строк) вертикалями (столбцами) и об­ ратно, сохраняя порядок следования.

Действительно,

в чем можно непосредственно убедиться, раскрывая каждый из указанных определителей по правилу Саррюса.

Операция замены в определителе горизонталей вертикалями с сохранением порядка следования обычно называется транспо-

нироваиием определителя. Таким образом, определитель не ме­ няется при транспонировании.

Из свойства I вытекает, что всякое утверждение о горизон­ талях определителя справедливо и для его вертикалей и обратно, т. е. в определителе горизонтали и вертикали равноправны. Поэ­ тому дальнейшие свойства будем формулировать и доказывать только для вертикалей; аналогичные свойства для горизонталей не будут требовать особого доказательства.

С в о й с т в о II. Если поменять местами две вертикали, то определитель изменит знак.

Например, в данном определителе третьего порядка поменяем местами вторую и третью вертикали, тогда

Тогда, с одной стороны, на основании установленного свойства определитель должен изменить знак на обратный, т. е. если он был раньше равен D, то теперь станет равен —D. С другой сто­ роны, определитель не может измениться, так как перемещаемые вертикали содержат соответственно равные элементы. Таким образом, D = —D, откуда 2D — 0 и, следовательно, D = 0.

С в о й с т в о III. Если все элементы какой-либо вертикали умножить на одно и то же число m (m ф 0 ) , го значение опреде­ лителя умножится на тп.