книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

часть множества решений каждого неравенства системы, взятого в отдельности.

Во многих случаях, по конечно ие во всех, множество всех ре­ шений неравенства (пли системы) с одним неизвестным состоит из конечного числа числовых промежутков. Аналогично для не­ равенств с двумя или большим числом неизвестных множество всех решений может состоять из конечного числа элементарных областей. В этом случае, который является наиболее важным в приложениях, под решением неравенства (или системы) подра­ зумевается установление неравенств, определяющих промежутки или элементарные области, где удовлетворяется данное неравен­ ство (или система).

Таким образом, в рассматриваемом случае одно неравенство, или система, заменяются новыми неравенствами, которые харак­ теризуют все те промежутки или элементарные области, где вы­ полняются данные неравенства.

Понятие эквивалентности уравнений и систем уравнений, из­ вестное из элементарной алгебры, распространяется на неравен­ ства и системы неравенств.

Имеет место определение: неравенство (система неравенств) Фі Ф Фо называется следствием неравенства (системы нера­

а(7) есть следствие (6), то неравенства (системы неравенств)

(6)и (7) эквивалентны.

Для неравенств имеют место теоремы, которые доказывают­ ся подобно тому, как аналогичные теоремы для уравнений.

ne будут эквивалентны. Действительно, система (10) есть след­ ствие системы (9), но система (9) не является следствием из системы (10), так как из условия fi+ f?> 0 при f \> 0 следует, что /2> —fi, но не следует, что /о>0.

Положим, например, что

/і = х — у, Л = X + у ,

тогда система (9) будет

х — у > О, х + у > 0,

откуда у < х и і/> —X, т. е. —х< у< х, что возможно при х>0. Таким образом, имеем элементарную область

0 < X < + с о ,

(Ох)

— X < у < X

(черт. 20).

Черт. 20. Черт. 21.

Следовательно, имеем область (Т)2) (черт. 21) и видим, что об­ ласть (Di) есть часть области (£>2). Вторая система неравенств является следствием первой системы.

Неравенство первой степени, или линейное неравенство, мо­ жет быть записано так:

ßi*i 4~я2л'2+ .. . + апхп ~Ь b ф О,

где для неизвестных x h х3, ..., хп и коэффициентов аи а3,. . an, b считаются допустимыми произвольные действительные числа. Таким образом, здесь и далее будем рассматривать неравенства над полем действительных чисел.

1. Л и и е й и о е н е р а в е н с т в о с о д н и м н е и з в е с т -

множество всех решений есть бесконечный интервал | — +оо

(черт. 22).

b

При о<0 решением будет любое число х < — — , т. е. мно-

жество всех решений есть бесконечный интервал ( — œ, — а (черт. 23).

Если а^О , то при Ь> 0 неравенство (11) удовлетворяется тождественно произвольным действительным значением х. При &<0 и (Z= 0 неравенство (11) решений не имеет.

Если А> 0 (или А < 0), то неравенство (16) выполняется в правой (левой) полуплоскости относительно прямой (15), а не­ равенство (17) выполняется в левой (правой) полуплоскости (черт. 26).

Аналогичную интерпретацию имеет множество всех решений линейного неравенства с тремя неизвестными, а именно: нера­ венству z>ax + by + c удовлетворяют все точки пространства,

расположенные выше плоскости z = ax + by + c, а неравенству z<ax + by + c удовлетворяют все точки пространства, находящи­ еся ниже этой плоскости.

1. Си с т е м ы л и и е йны х н е р а в е н с т в с о д н и м не из в е с т и ьгм. Рассматриваемую систему неравенств можно записать так:

Множество всех решений каждого из неравенств, взятого в

п интервалов, причем некоторые из них могут совпадать. Мно­ жество решений системы есть общая часть всех полученных ин­ тервалов. Если это множество пустое, т. е. интервалы не имеют общей части, то система неравенств противоречива. Если это множество не пустое, то общей частью интервалов является не­ который интервал и произвольное число х, принадлежащее это­ му интервалу, будет решением заданной системы.

Рассмотрим систему двух неравенств с одним неизвестным. Решая каждое неравенство в отдельности, можно заменить данную систему системой простейших неравенств. В зависимости от коэффициентов могут получиться или два неравенства одина­

кового смысла:

или неравенства противоположного смысла:

ряет любое число, содержащееся между а и ß, т. е.

Черт. 29. Черт. 30.

ß. но меньшего, чем а. В данном случае интервалы (— со, а) и (ß, + оо) не имеют общих точек (черт. 30).

Пример 1. Решить систему неравенств

f 3 + х > 4 + 2х, 1 5х — 3 ■; 4х — 1.

Р е ш е н и е . Решаем первое неравенство

.V — 2х > 4 — 3,

откуда .ѵ< —I. Аналогично, решив второе неравенство, получим х<2. Следо­ вательно, должны выполняться два неравенства х < —1 и х<2, что будет иметь место, если х < —1.

Пример 2. Решить систему неравенств

Г 3 + л- < 4 + 2.Ѵ-,

1 5х — 3 < 4х - 1 .

Р е ш е н и е . Решая данные неравенства, получим соответственно х > —1

нх<2. Оба эти неравенства удовлетворяются, если

—1< -V< 2.

Р е ш е н и е . Из этих неравенств соответственно имеем х < —1 и х > 2. Последние неравенства исключают друг друга, так как они не могут удовлет­ воряться ни при каком X. Следовательно, данная система решении не имеет.

Пример 4. Решить систему нера­ венств

Черт. 3!. Р е ш е н и е . Решая каждое из дан­ ных неравенств, соответственно полу­

чим: х> —1, х< 2 и х<1. Все три неравенства выполняются, если

— 1 < .V< 1.