книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Данная система, неравенств определяет на плоскости множест­

Допустим, что, решив относительно у каждое неравенство, получили два неравенства одинакового смысла, например

у• /е!А' -Ь V у > к2х 4- Ь.г.

Вэтом случае при всяком данном значении х значение у дол­ жно быть любым числом, большим, чем наибольшее из двух чи­

жит .г а другое не содержит у. В данном случае, решив первое неравенство относительно х, а второе относительно у, получим,

Очевидно, что также могут получиться неравенства со знаками противоположного смысла. Первое из неравенств (20) определя­ ет правую полуплоскость относительно прямой л'= а, a второе верхнюю полуплоскость относительно прямой i/= ß. Система не­ равенств (20) определяет вну-

лельны. Решая каждое из неравенств, например относительно у, получим yj--kx+b, y4=kx + b\, где ЪфЪх. Видим (черт. 35). что в случае (а) и (д) общее решение системы может быть задано не­ равенством

y> kx + b,

а в случае (б) неравенством y<.kx + bt; в случае (е) неравенст­

вами

ііх + b < у < kx 4- Ьъ

наконец, в случаях (г) и (е) система решений не имеет. Система трех неравенств с двумя неизвестными может опре­

делять на плоскости треугольник, срезанный угол, угол и т. п. Некоторые из возможных случаев представлены (черт. 36).

Укажем также, что линейное неравенство (12) может быть заменено уравнением

& \х \ + a 2X 2 + • . - + a nX n — S l>

где Si— произвольный положительный параметр. Система линей-

йых неравенств может быть заменена системой линейных урав- , пений с положительными параметрами, к которой применима теории, изложенная выше (гл. II).

Черт. 35.

Рассмотрим, например, систему двух неравенств

J' агх + Ьгу + сх > О,

(21)

1а„х + Ь2у + с2> 0.

Эту систему неравенств можно заменить системой линейных уравнений

где Sj H s2 суть произвольные параметры, причем Si>0 и s2> 0 .

182

где iSJ > О, S2> 0, т. e.

Приравнивая коэффициенты при единичных ортах i, j, получим формулы (23). Следовательно, множество решении системы (21) представляет множество точек, находящихся внутри угла между

векторами а, Ь, что было непосредственно установлено выше.

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение относительно а также приводит к неравенствам одинакового смыс-

185

не имеет решении. В этом можно убедиться алгебраически.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, чтобы система трех неравенств

определяла конечную ооласть, которая в данном случае пред­ ставляет треугольник, является отличие от нуля определителя системы и всех алгебраических дополнений к элементам его треть­ ей вертикали, т. е.

причем определитель D и Лі3, Л23, Л33 должны иметь одинаковые знаки.

Для того, чтобы применить эти условия к рассмотренной вышесистеме неравенств (пример 9), прежде всего'ее перепишем так

Видим, что сформулированные выше условия выполняются, так как D, .Дз, ,4 23, А33 отличны от пуля и все имеют одинаковые знаки, в данном случае— положительны. Следовательно, неравен­ ства (24), (г5). (26) определяют замкнутую область, т. е. тре­ угольник ЛВС (черт. 40), что и показано выше непосредствен­ ным вычислением.

Аналогично можно рассматривать системы неравенств с тре­ мя неизвестными. Каждое неравенство вида Ах-г By+Cz + D-J-Q определяет одно из двух полупространств, на которые плоскость A xJrBy + Cz + D ~0 разбивает все пространство. Система нера­ венств определяет общую часть полупространств, определенных каждым неравенством в отдельности.

Поимер 10. Рассмотрим систему неравенств

I 4х — у — 2 + 1 > 0,

( х — у + г + 2 > 0 .

Р е ш е н и е . Решая каждое из неравенств относительно г, имеем

J z < 4л- - у -і- 1,

(31)

[ г '■ — X ■у — 2.

Неравенства могут выполняться совместно, если

— X ~ у —2 < іх — у -f 1,

откуда

5 3

-■* + -

— х + У — 2 < г < 4 х — у + h