книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

первыми тремя уравнениями, а последнее уравнение заданной системы можно отбросить.

Решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвест­ ными

X1 *2 -{- 2 х3 = 1,

. хг — 2хг— *3 = 2,

3*і — *2+ 5*з — 3

по правилу Крамера, окончательно получим

Для проверки, подставив найденные значения неизвестных в каждое из уравнений заданной системы, видим, что система ре­ шена правильно.

Пример 3. Решить систему уравнений

Р е ш е н и е . Определим ранг матрицы системы и ранг рас­ ширенной матрицы. Для матрицы А имеем

следовательно, ранг матрицы А равен двум; ранг матрицы В также будет равен двум, так как

можно непосредственно убедиться, что решением системы (20) будет и их линейная комбинация

Заметим, что для системы линейных неоднородных уравне­ ний подобное утверждение не имеет места.

уравнений (20) называется фундаментальной, если она линейно независима и любое решение уравнений (20) является ее линей­ ной комбинацией.

Существование фундаментальной системы решений устанав­ ливается теоремой: если ранг г матрицы (21) меньше числа, п неизвестных, то уравнения (20) обладают фундаментальной сис­ темой решений.

Не приводя доказательства этой теоремы отметим, что если ранг матрицы А равен г, причем г</г, то, как уже было сказано, решение заданной системы (20) заменяем решением систе­ мы (22), которая ей равносильна. В системе (22) имеем п—г сво­ бодных неизвестных х ,+\, х г+2, . . ., х п, через которые по прави­ лу Крамера могут быть выражены остальные г неизвестных: xlt х3, . .. хг. Для того, чтобы полученная система решений была фундаментальной (основной), она должна быть линейно незави­ симой. Поэтому у —г свободных неизвестных выбираем как (п—г) -мерные векторы, которые характеризуются единичной матрицей

(§ 4) и которые, как было показано (§ 11), являются линейно не­ зависимыми. Таким образом, получим систему решений (23), ко­ торую можно представить в данном случае так:

где k = n-^r.

Таким образом получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными Хі и х2:

Отсюда по правилу Крамера находим

Это будет общее решение системы (24).

Для определения свободных неизвестных х3, х4, х0~ берем три базисных вектора в трехмерном пространстве

еа = (1, 0, 0), е2 —(0, 1, 0), е3 = (0. 0, 1).

Подставляя координаты каждого из этих векторов в найден­ ное общее решение в качестве значений для свободных неизвест­ ных и вычисляя значения для Х\ и х2, получим следующую фун­ даментальную систему решений заданной системы (24):

Рассмотрим, наконец, связь, существующую между решения­ ми неоднородных и однородных систем. Пусть дама система ли­

. ат1х1 + а,„2Х2+ ■ • "f" атПхп~ b/n-

Система линейных однородных уравнений

ат А + ат А + • • • + äfflA = О,

полученная из системы (25) заменой свободных членов нулями, называется приведенной системой для системы (25). Между ре­ шениями систем (25) и (26) существует связь, как показывают следующие две теоремы.

Т е о р е м а I. Сумма любого решения системы (25) с любым решением приведенной системы (26) снова будет решением сис­ темы (25).

Действительно, пусть c[t съ ■■ сп будет решение системы (25) и du d2, . . -, dn — решение системы (26). Берем любое из уравнений системы (25), например /г-е, и подставляем в него вместо неизвестных х ь хъ . . хп числа

сі + dx, сг -f d2, . . . , сп+ dn.

Получим

акі (А + ^і) + аш( с 2 + d2) + . . . + a/tn (сп + dn) —

= iaklCl + ßA2C2+ • ■• 4-aknCn)Jr(aklC^lJr ak2^2-\- • • • + akndn)—

—bk + 0 = bk.

Те о р е м а II. Разность любых двух решений системы (25) является решением для приведенной системы (26).

Доказательство этой теоремы аналогичное доказательству первой теоремы.

Из этих теорем вытекает, что найдя одно решение системы линейных неоднородных уравнений (25) и складывая его с каж­ дым из решений приведенной системы (26), получим все решения системы (25).

Задачи

В задачах № 105—108 найти фундаментальные решения систем линейных однородных уравнений.

2*х —- 4*0 + 5*3 + : 3*4 = 0,

3*4 — 6*2 -г 4*3 -г 2*4 = 0,