Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Это и будет одно искомое линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами, к которому при

ведена система	(25). Общий интеграл последнего уравнения, как
известно, выражается через показательные функции. *					будем
Исходя из этого,		частные	решения	системы (25)
искать в виде показательных функций
	Уі =	ÿi =	l ß hX, • ■•. Уп~		(29)
Параметры	у2, ... , у„,		входящие	в частные	решения

У\, Уі, ■■-,Уц, полагаем постоянными, которые необходимо опре делить так, чтобы функции (29) удовлетворяли системе (25).

Подставив в систему (25) функции (29), после сокращения на

еІХ получим алгебраическую систему п			линейных	однородных
уравнений относительно уі, у2>• • ■. Т,Р
(«и -	X)Тх + «12Ï 2 +	• • ■+	О іп іа = 0.
. «2lT l +	(«22— X) Ta +	■• • +	«2 „T n = 0,	(30)

«„Л + «„2Ï2 + • • • + («„„ —Î.) T„ = 0.

Для того, чтобы эта система имела отличные от нуля реше ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е.

«11-- ^ «12 • ■• «1н

«21	«22	^	• «2«	_ п
«ni	«н2	• • •	апп	L

Получим, таким образом, характеристическое уравнение (28) матрицы А системы (25). Корни этого уравнения будут

)-1, 1-2, • • • . Кіг

Подставляя каждый из них последовательно в систему (30), определяем из соответствующих однородных систем уравнений Ті. Т2. • • ■>Тл> которые будут отличны от нуля, так как опреде литель однородной системы (30) равен нулю.

Здесь полагаем, что все значения Ài, Ào, .. ., À„ различны, т. е. характеристическое уравнение не имеет кратных корней.

Таким образом, по формулам (29) получим п линейно незави симых частных решений заданной системы, а их линейная ком бинация будет общим интегралом системы (25).

Заметим, что если характеристическое уравнение имеет ком плексные корни, то общий интеграл системы записывается в тригонометрической форме. **

* См., например, В. В. Иваненко, Краткий курс математического анализа,

ч.II. КВАИУ, 1969. § 144.

**См. там же. § 144.

Пример 1. Решить систему линейных однородных дифферен циальных уравиений

^Уі	I	г
- ^ - - - S x + l h + й.
du.,	у- У ъ+ У*		(31)
- ^ - У

Р е ш е н и е .

Соответствующее характеристическое

уравне-

нне по формуле (28) будет

~ ( 1 +>.)

+ц

—о,

1 —

илн

_ ) 2( У+

1 ) + 4(1-+1) = 0,

откуда

>^ =

).8 = — 2.

Частные решения заданной системы ищем в виде

Уі =

ÏI<?Xa',

У% =

Уз =

ТзеЬ’>

(32)

где -fi, уа, уз на основании (30)

определяем из системы

— (1 + '-) 7і + 72 +

7з ^ 0,

7 і— (1 + ^) 7а +

7з = 0.

(33)

7і + 7s + (1 — М Тз = 0.

ПриЯі = —1 система

(33) будет

Ï 2 +

7з =

7і +

Тз = 0-

7і +

72 +

2у3 =

О,

откуда получим, что

7і = 7г = — Тз-

Следовательно,

частные

решения

(32)

при

Яі= —1

можно

записать так

о-*

„0)

о~х

„(О _

р ~ х

У1 — ^і£

> У2

=—

Уъ —

где Ci — произвольная постоянная.

' '

При Х2 = 2 система		(33) имеет следующий вид
		—Зуі + Ï 2 + Тз = 0>
			Ті	Зуа +		у3 =	О-
откуда			Ті + Та— Та = О,
		Ті —	Т 21	Тз = Т і ~Ь I V

Соответствующие частные				решения			(32)		при Х2 = 2 буду
( 2) .	С,е	2.ѵ	(2)	С3е	2х	„ (	2)	= 2Сов		2 х
Уі			т			Уз

где С2— произвольная постоянная. Аналогично при Хз= —2 имеем

					Т і	+	Та +	Т з ~	0	;
			I		Т і +		Т г - г Т з =		О ,
откуда			[ Т і + Та “Ь З т з =						О ,
откуда
Следовательно,			Т і =			— Т а , Т з = 0 .
Следовательно,
„(3)	_	Г	р - 2 х	-		(3)	_	г „ - Ъ :
У1	=	'-‘3	&	-	У з		------Ь3е			,

,,< з )

Уз О,

где С3 — также произвольная постоянная.

Таким образом, общий интеграл системы (31) будет

Ух — Сіе	+	С2е + С3е ,
уг = С1е~х		Съе х — С3е~2х,
Уз = — Сге	х	2С3е А.

Пример 2. Решить систему

dy,

dx — 7Ух + Ух,

dy2

dx = — 2 ух —5ух-

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение по формуле будет

- ( 7 + Ь )		1	= 0,
- 2	-
		(5 + X)
или
Хг +	12Х + 37 = 0,
откуда			----- 6 — і-
Хі = — 6 -(- і,

Частные решения системы (34) ищем в виде

Уі = Т іеХд:. Уі = Тi ^ x\

где Y) и Y2 определяем из системы линейных алгебраических уравнений

f -	(7 + >0 Ті + T, = О,
I —	2ух — (5 + Ц у * = О,

При Яі = —6+ і последняя система будет

f — (1 + 0 7і + Тг — О, 1 — 2тх + (— 1 -f 0 Тз = О,

откуда, например, если YI = 1, то уг= 1 +і. Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)

ÿ(.»= е(-б+,>- ^ > = ( 1 + / ) e (-6+i>-

Если Y2= —6—і, тогда

f — (1 — i) Ti + 7a — O, 1— 2Ti — (— 1 — i) T2 = O,

откуда, например, если YI = 1. то Y2= 1—i- Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)

ÿî’W - 6- 1*

Таким образом, общий интеграл системы (34) будет

У-

Уі = Ае{- 6+1)х+ Ве(- 6- і)х,

уг = А ( 1 + і) е(~ь+і)х+ В ( \ - і ) е{- 6~1)х,

где А, В — произвольные постоянные. Применив формулы Эйлера

eix = cos х + і sin X, е~іх =cos х— і sin х,

полученный интеграл запишем в тригонометрической форме. Окончательно имеем

Ух = е~йх (Сх cos д: + С2 sin *),

у.2 = е~Ъх[(Сх + С2) cos X + (С2 — Сх) sin х],

где Сі =А+В и С2= (А—В)і суть новые произвольные постоян ные.

3. Если характеристическое уравнение (28) будет иметь крат ные корни, то решение системы (25) будет более сложным, а именно: каждому корню уравнения (28) кратности k должно со ответствовать k линейно независимых решений системы (25), причем одно из этих решений будет иметь вид (29), а остальные, вообще говоря, будут содержать многочлен от х. Но в данном случае, в отличие от одного уравнения с постоянными коэффи

циентами, может случиться, что не одно, а несколько решений, соответствующих данному кратному корню, будут иметь вид (29).

Не излагая общей теории, рассмотрим решение линейной сис темы дифференциальных уравнений, характеристическое урав нение которой содержит кратные корни.

Пример 3. Решить систему

dÿt	= Уг + Уз>
dx	= Уг + Уз>
4Уг	Уі + Узь	(35)
dx	Уі + Узь	(35)
dx
dÿ3	= Уі + Уг-
dx	= Уі + Уг-

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение будет

- X 1 1

1 — X 1 = 0 ,

1 1 - X

или А,3—ЗА,—2 = 0, откуда путем подбора находим

X, 2, Х2 = Х3 = — 1.

Частное решение системы (35) ищем в виде

Уг = Ті*іХ.ѵ Уг = Ъ е }х, Уз = Тзе'Л’>

где постоянные -уі, Уг. Уз определяем из системы линейных алгеораических уравнений

— М і + Тг + Тз — 0.
Ті — Мг + Тз = 0,	(36)
7і + Тг — Ms = 0,

При ?ч= 2 последняя система будет

— M i + Тг + Тз = 0,

Т і — 2 т г + Т з = 0 ,

Ті + Та — 2^з = О,

откуда, взяв любые два уравнения, например, nepèoe и второе, легко определим отношение неизвестных, например:

тогда имеем					' '"ОД
		2 ki + k%-{- 1 — О,
	1	Ä i - 2Ä, +		1 = 0.
Находим &i = /f2= l. или
		J h _	J a . _	j
		Та	Тз
отсюда	jx = Тг ~ ТзСледовательно,
	у? '= С іе**,	y\X)=Cxé-\			г/'1'== Сгеіх.
При À2 = À3= —1 система уравнений					(36) приводится к одно
му уравнению
	Тх + Тз + Тз = О
пли уз=	— (71+V2), т. е., если уі = С2, у2=Сз. то у3 = — (С2+ С 3),
отсюда находим новые частные решения системы (35) :
	у ? = Сге~х) yf> = С3е - \ у.р = - (С2 + С3) е~х.
Таким образом, общий интеграл системы (35) будет
	Ух =	Схе2х + С2е - Ѵ,
	Уг =	і	Сле~х.		(37)
	І/а — Схв~"х		(С2 -J- С*) б_Л

Для того, чтобы убедиться, что полученное решение систе мы (35) является ее общим интегралом, необходимо показать, что частные решения этой системы, входящие в решение (37), ли нейно независимы или. как говорят, образуют фундаментальную систему. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если частные решения образуют фундаментальную систему, то составленный из них определитель не равен нулю.

Действительно, для системы (35) имеем

е'1х	е1*	е1х	1 1	1
е~х 0		— е~х =	1 0 — 1
0	е~х	— е~х	0 1 -	1

следовательно .найденные зависимости (37) являются общим ин тегралом системы (35).

4. Рассмотрим линейную неоднородную систему линейны дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такая система легко решается методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Ограничимся рассмотрением неоднородной системы трех уравнений

4	СІцХ 4	а ііУ 4	«із2=	Ѵ х -
■ —jj^r 4	&21-X 4	ПціУ 4" a2S2=		V2.	(38)
dz	a3lx j- a3iy 4 -		a33z =	l / s.
dé	a3lx j- a3iy 4 -		a33z =	l / s.
dé

где V], V% Уз — заданные функции от t\ х, у, z — функции от t, которые необходимо определить, и — постоянные.

Положив правые части данной неоднородной системы (38) равными нулю, получим соответствующую однородную систему

4“ Яц* 4- &\чУ 4- fluz = О,

'	4	Я21Х 4	а22У 4	= О,
~	4" азіх 4		^32У4	ßs3z — О,
ее общий интеграл будет				' '
	X =	С]Ад 4	С 2х2 4 - С 3ха,
	У =	С-іУі 4“ С2у2 4- С3у$,.
	2 =	4 jZy 4	С2 ^ 2 4	C3z3,

где xlt у,,	zI (i= 1, 2, 3) — функции	от t, а Сь С2, С3 — произ
вольные постоянные.		неоднородной системы (38)
Будем	искать общий интеграл	неоднородной системы (38)

в виде (39), полагая, что Сь С2, С3 не произвольные постоянные, а некоторые функции от t, которые необходимо определить таким образом, чтобы система (39) была общим решением данной не однородной системы уравнений (38). Для этого из (39) найдем производные:

dx dt

dy ~dt

~dt

—Cj

=c l

dx1

dé

dyx dt

dz1

dé

c 2

dx2

Сз

dxg

dC j

dC2 ,

d C 3

dé

x*4é ' +

ХзЧ Г

C2 dy2

Сз

dy3

Уі dCt

d C 2

Уз dC3

(40)

~dt

dé

y*~dé

~dé’

dzn

dz3

dCj

d C 2

d C3

~dï "Г

Сз

dé

Za dé

23 ~dé

il подставим в систему (38). Первые три слагаемые в правых частях формул (40) имеют такой вид, как Сь С2, С3 постоянные, а так как х, у, г являются решениями однородной системы, то. подставив эти члены, получим нуль и для определения С|, С2. Сл будем иметь следующую систему уравнений:

	dCx		dC2	I	у	— у
*1 dt		+ xi Ж		+	Л;1 dt
	dCx		dC2
Уі	dt	4" У2 dt		+ УлЖ		^ Ѵ%’		(41)
2«	dCx	4-	dC2	I	z	—у
2«	dt	4-	Ж	~r z s JJ.		— к 3,
					dCy	U,l>2сіС	dCs	имеем
Решив эту систему относительно					- ц - , Ж		dt '	имеем
dCx			dC%			dC.
dt = ?i(0 .			dt

где фі(0 , фг(0 »фз(0 — известные функции от і. Далее, беря квадратуры, находим

Сх = J 'fi (t) d t ~г Dx, C2 = J f 2 (t) dt -J- D2, 63 = J f 2 (t) dt -f D-j,

где DI, D2, D3 — постоянные интегрирования.

Подставив найденные значения Си С2, С3 в систему уравне ний (39), имеем общий интеграл заданной неоднородной систе мы (38).

Пример 4, Решить систему

^ = оуі -г 4у2 -{- X'2,

(42)

% = 4уг + 5Уі + X.

Р е ш е н ы е. Характеристическое уравнение будет

5 - >. 4

4 5 —X = 0 ,

или X2—10X4-9 = 0, откуда

X1= 1, Х2 = 9.

Частные решения ищем в виде

Уі = Ж х> У2 = Ж * .

где Yi. Y2 определяются из системы

I (5 — >0 7і + 4тз = О, l4 ïi + (5 + >0 ъ = 0.

При Хі = 1 имеем 4уі + 4у2 = 0, т . е. уі = —У2 , следовательно, частные решения будут

і/с,1> = Сіех, У ^ = ~ С }ех\

аналогично, если Л,2 = 9, то —4 Y I + 4 Y 2 = 0, т . е. Y I = Y2 , поэтому

у™=С2е*х, і/Р = С2еПл‘.

Таким образом, имеем общий интеграл соответствующей од нородной системы

Уі — Схех -f С.,е!ІЛ',

b — c s + c s ’ .

(43)

Заметим, что однородная система, соответствующая заданной системе (42) будет

d-Ух

dx —5t/i -j- 4і/2.

Ж - 4ÿi + 5f/2'

Общий интеграл неоднородной системы (42) ищем в виде (43), полагая, что С| и Со являются некоторыми функциями от х, т. е. С) = С| (х), С9 = Сг(х), которые на основании системы уравне ний (41) определяем из следующей системы

			VdCx		л!)л*dCa
		6	dx	~Т С		dx =	X 2,
		— е	.. dCx	+	е[]х	dC2
		— е	Ж	+	е[]х	dx
отсюда			dx			dx
отсюда	dC,	1 ,			dC0
	dC,	1 ,			dC0		P - 9 . V
		2 — х) в~х			dx
					dx
Беря квадратуры, окончательно получим
Сх = у	J (х2 — х) е~х dx = — у				(х2 + х +		1) е~х + Dx,
С., = у	j* (х2 +	х) e~2'dx = — у			( 9“ л'г +		+ 729 j е~ал + А .
где	D2 — постоянные интегрирования.

Подставив найденные значения для Сь С2 в (43), имеем общий интеграл заданной неоднородной системы (42), который в окон чательном виде запишется так:

п , ,	п 0г	5 .	46	370	1
Уі - Die- +	D,e ■	g Je	8j *	729	1
У%= - A L«* + A e9 v + Y X2 +				X + Ц р

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ