книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие
.pdf75. а |
b |
c d |
— а |
b |
c d |
— а — b |
c d = 8abed. |
|
—а - b — cd
76. Не разиертывая, показать, что определитель a-J- сb+ d ß + c b-f-d b+ da + c b 4-d a + c
Q -f- b b—)—c c -j-d a -j- d
c + da -f d a-\- b b c
равен нулю.
§10. Правило Крамера
1.Прежде всего докажем теорему, которой далее восполь
емся.
Те о р е м а . Сумма произведений элементов какой-либо го ризонтали (вертикали) на алгебраические дополнения соответ ствующих элементов другой горизонтали (вертикали) определи теля п-го порядка равна нулю.
Для доказательства, кроме данного определителя Сц û12. ,a ln
a21 &22 * ■0-2n
ail ^І2**■ain
aji aj2 • ■ajn
an2 • ■&lin
рассмотрим еще вспомогательный определитель
a n |
Û-12 . |
• |
a ln |
a 21 |
(X44 . |
■ a 2n |
|
a n |
& t2 . |
• ^in |
|
a n |
a i 2 . . |
■ |
СІЩ |
a ni |
a „2 • • |
|
• a nil |
у которого г-я и /-я горизонтали одинаковы. |
II |
Такой определитель на основании следствия из свойства |
|
(§ 7) равен нулю. Разлагая определитель А по элементам |
у-й |
горизонтали по формуле (11) предыдущего параграфа получим
- г |
a i A ß + |
• • ■ + |
a i,A jn = |
А = |
0 . |
Таким образом, данная теорема доказана, т. е. |
|||||
al\Aj\ |
! |
\ • • |
• “Г ß-ln^-jn |
0* |
(12) |
если і Ф /.
2.Теперь можем перейти непосредственно к решению системы
плинейных уравнений с п неизвестными:
^'11^1 ~î~ ^12*2 |
■*• + ay xj 4- ■• ■4- ^IпХп bl. |
|
|
û2l-^l 4" ^22*2 4“ • • 4~ a2jxj 4~ • •. А- С1г,іх п — b2. |
(13) |
||
«„А 4- |
4- ■• • 4- anjxj 4- •**Н- ß'nn^n “=bn. |
|
|
Составим из коэффициентов при неизвестных определитель |
|||
системы |
«u Cl] 2• |
• a y . • a ln |
|
|
|
||
D = |
Ö21 &22 • |
■ a 2j ■ ■a ïn |
(14) |
«ni a n2 • * • ^ nj • • ■&nn
и положим, что Иф 0.
Для решения заданной системы умножим обе части первого уравнения системы на Atj, т. е. на алгебраическое дополнение элемента о1уопределителя системы D, где индекс j предполагаем равным одному из чисел 1, 2, . . ., п. Обе части второго уравне ния системы (13) умножим на A2j и т. д., наконец, обе части последнего уравнения — на Anj-. Складывая затем отдельно ле вые и отдельно правые части всех уравнений системы (13), по лучим окончательно следующее уравнение:
(аиАу -г сі21Ау + |
... + аniА п)) хі + |
|
+ |
(^і2Ay + |
ct22A2J + .. • + an2A„ß х2 + |
'+ |
.................................................. + |
|
+ |
(aijAy + |
a2jAy + • • • 4~ anjAnj) xj + |
+.................................................. +
+{chnAij + ch,Ay 4- ■■■4- an,Anj) Л'л=М і/ + boAy 4- ■• ■A-b„nAnJ.
Вэтом уравнении на основании формулы (11) коэффициент при Xj будет равен определителю системы D, а коэффициенты
при всех остальных неизвестных на основании формулы (12) бу дут равны нулю. Таким образом, имеем
Dxj = ЬхА у -f Ь2Ау Ат... 4~ bnAnj.
Видим что правая часть последнего уравнения представляет собой определитель системы (14), где j-я вертикаль заменена соответствующими свободными членами, т. е.
|
|
Дц д12. • А - |
• aln |
ЬіАу -р Ь.,Ау -р . |
• и bnA,ij |
#21 #22 • |
• a2,i |
|
|
||
|
|
аіЛ ап2 ■ A - |
•Я,ш |
Следовательно,
Dxj — Dp
отсюда, полагая последовательно 7= 1, 2, . . ., п, получим новую систему уравнений:
DxL= Db DX2= D2, . . . , Dxn = Ц„
из которой находим
х„ |
Оя |
А, |
(15) |
|
D |
||||
|
D |
|
Можно показать, что последняя система и заданная система (13) равносильны. Поэтому сшлственное решение последней системы является также и решением системы (13).
Решение системы п линейных уравнений с п неизвестными по формулам (15) известно под названием правила Крамера. *
Формулы (15) пригодны лишь в случае D ф 0, когда .0 = 0, то система (13) либо противоречива, либо допускает бесчисленное множество решений. ь-
Очевидно, что полученные выше (§ 5, 6) формулы для реше ния системы двух и трех линейных уравнений с двумя я тремя неизвестными есть частный случай формул (15). ,
Пример 1. Решить систему уравнений:
Х1~Г |
Хі “Р Х3 + |
х 4 = |
10, |
— |
ЛГ2 4 - X S — |
|
— 2, |
2хх ~—Зх2“P 4\Xg P- |
х4= 12, |
||
Зхх -р 4 х 2 — Зх3+ |
9 х 4 = |
38. |
|
Р е ш е н и е . Пользуясь правилом |
Крамера прежде всего |
||
*) Г. Крамер (1704—1752) женевский математик. Изложенный здесь метод нм был опубликован в 1750 году в работе, посвященной теории алгебраичес ких кривых. ^
вычисляем определитель системы: |
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 — 1 |
|
1 — 1 |
1 - 2 |
|
0 - 2 |
||||
D — |
- 3 |
|
4 |
1 |
2 . - 5 |
2 |
- 1 |
||
2 |
|
||||||||
3 |
4 — 3 |
9 |
3 |
|
1 - 6 |
6 |
|||
— 2 |
0 |
— 2 |
- 2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
- 5 |
2 |
— 1 = - 5 |
|
2 |
4 |
= — 2(10 +24) = - 68 + 0. |
|||
|
1 -- 6 |
6 |
|
1 — 6 |
5 |
|
|
||
Следовательно, правило Крамера применимо. Аналогично вычисляем определители D\, D2, D3 и D4. Имеем
|
10 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
’ 10 |
1 |
1 |
|
— 2 |
|
1 |
1 |
1 |
- 68, |
1 _9 |
1 - 1 |
|
|||
Di = |
12 |
|
3 |
4 |
= |
D 2= |
12 |
4 |
= -136, |
||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|||||
|
38 |
|
4 - |
3 |
9 |
|
3 |
38 |
- 3 |
9 |
|
1 |
|
1 |
IQ |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
10 |
|
1 — 1 — 2 |
_ 1 |
= - |
204, |
1 - 1 |
1 - 2 |
|
|||||
D3= |
- |
3 |
12 |
1 |
D4= 2 |
- 3 |
4 |
= -272, |
|||
2 |
|
|
12 |
|
|||||||
> 3 |
|
4 |
38 |
9 |
|
|
3 |
4 |
- 3 |
38 |
|
откуда по формулам (15) находим |
|
|
|
|
|||||||
+L— |
р, |
— К |
х і |
рі |
2, |
х$ |
3, |
Xq |
D* |
= 4. |
|
|
D |
~ |
1’ |
л 2 |
D |
|
|
|
|
D |
|
Заметим, |
что рассмотренная |
система |
линейных |
уравнений |
|||||||
(13)называется неоднородной. г
3.Система п линейных уравнений с п неизвестными называ ется однородной, если все свободные члены bj(j= 1, 2, . . ., п)
равны нулю, т. е.
а 11Х1 + |
ttl2x 2 + |
• ■• + |
а 1пх п = |
0, |
|
0-21Х1 + + 2'С + |
■• • + |
а2пХП= 6> |
^ 0^ |
||
а піх і + |
а„гх г + |
. ■. + |
а ппх п = |
0. |
|
Если определитель системы D ф 0. то правило Крамера при менимо. Но все определители Dy = 0 (/—1, 2, . . ., /г), так как в
каждом из них имеется вертикаль, состоящая ив .нулей, поэтому по формулам (15) получим
Л'і — Хп
• “ Х'1~ D
Таким образом, в случае D Ф 0 однородная система (16) до пускает только нулевое или тривиальное решение.
Рассмотрим далее, в каких случаях однородная система (16), помимо нулевого решения, может иметь еще и ненулевые реше ния. Пусть по крайней мере одно из 'неизвестных, например, xk отличное от нуля. Для этого неизвестного можно написать урав нение
|
Dxk = £>*, |
или |
Dxk = О, |
так как Dk = 0. Но один из сомножителей хк ф 0, тогда должен быть равен нулю другой сомножитель
|
ß n |
& 1 2 * |
■ a h i |
£> = |
Û 2 1 |
ö 23 . |
■ a 2n |
|
|
|
|
|
a n l |
a n1 • |
• Яп п |
Таким образом, приходим к следующему выводу: однородная система линейных уравнений (16), помимо нулевого решения, имеет еще и ненулевое решение только в том случае, если опре делитель системы равен нулю. Имеет место и обратное утверж дение: если система п линейных однородных уравнений с п не известными, кроме нулевого решения, обладает еще решениями, отличными от нулевого ,то определитель этой системы будет ра вен нулю.
Пример 2. Решить систему уравнений
2*3 -р 3*2-)- 4а"з — 0,
*1 |
2 А'2 -f- 5*3 = 0 , |
3*і + *а — 2*з = 0.
Р е ш е и и е. Данная система является однородной. Опреде литель системы
2 |
3 |
4 |
|
- 7 |
0 |
10 |
|
|
D = 1 - 2 |
5 |
= |
7 |
0 |
1 |
|
|
|
3 |
1 — 2 |
|
3 |
1 - 2 |
|
|
||
|
|
|
= — |
7 |
= — ( - |
7 - 70) = |
77 ¥=0. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
поэтому система |
имеет |
единственное решение |
*і = л:2 |
*з== 0. |
||||
І'Х 1 4“ |
х 2 + -Ѵ'з = |
О, |
Хі + |
Іх2 — х3 = О, |
|
2хі |
х2 + х3= О. |
|
имеет ненулевые решения? |
|
|
Р е ш е н и е . Известно, что система |
линейных однородных |
|
уравнений имеет ненулевые решения, когда определитель сис темы
X |
1 |
1 |
1 |
X - 1 |
= 0. |
2 - |
1 |
1 |
Раскрывая этот определитель, получим
|
Х + 1 Х + 1 |
о |
|
|
|
D |
1 |
-X - |
х + 1 х + 1 |
||
1 |
X- |
1 |
|||
|
3 |
X— 1 |
3 |
||
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
= (Ь + 1) |
3 X - = (X+ 1) (X— 4) — О, |
|
отсюда Кі — —1 и Х2= 4.
При Хі = —1 заданная система будет
--+ -Х2+ -'”3= О,
Х-^ х 2 х3— О,
2хг — х 2+ х3= 0.
Видим, что первое уравнение является следствием второго, так как отличается только знаками. Поэтому имеем не три урав нения, а только два уравнения с тремя неизвестными, т. е. не определенную систему. Для ее решения из первого и третьего уравнения имеем
Г X} + х2— х3,
1 2х1 х 2 = х3,
откуда находим, что х {= —2х3, х2— —За'3. Если положить, на пример, х3= 1, то и получим ненулевое решение: х { = —2, х2= —3,
х3 —1,
4 * і + |
* а + х 3 = |
О, |
*і + |
4*в — -*з = |
О, |
2*і — |
*з + *« = 0 , |
|
отсюда, складывая второе уравнение с первым, а затем второе с последним, получим соответственно 5*і + 5*2= 0 и 3*і+ 3*2= 0, или *і+ *2= 0, т. е. одно уравнение с двумя неизвестными. По ложив в этом уравнении, например, *2= —1, получим *і = 1, а ■затем подстановкой в любое из уравнений рассматриваемой сис темы найдем *з= —3.
Следовательно, в этом случае ненулевые решения будут:
*1=1, *2= — 1, *з= — 3.
4. Рассмотрим, наконец, систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными
I «ц*1+ «івХа + Яіз*3= 0,
I a 3l * l + « аа* а + 0 2 3 * 3 “ 0 .
Будем искать отношения неизвестных, для этого данную сис тему перепишем так:
X X
«11~ + «1зДГ = “ ам>
* 3 |
Л 3 |
«зіДГ + «га- 1 = — «аз-
Л3 |
* 8 |
Отсюда по правилу Крамера получим
|
|
— « гз |
&12 |
|
|
«11 — |
«13 |
|
||
|
*1 _ |
«23 |
«22 |
*2 |
|
«21 |
|
«23 |
|
|
|
*3 |
«11 |
«12 |
*3 |
|
а 11 |
Д12 |
|
||
|
|
«21 |
«22 |
|
|
#21 |
#22 |
|
||
Применяя свойство пропорции, имеем |
|
|
|
|
||||||
* 1 |
_____ *3_____ |
_____ *2_____ |
__ |
* 3 |
||||||
«12 |
«13 |
«11 |
«12 |
t |
«13 |
«11 |
|
« ц |
«i2 |
|
|
|
|||||||||
#о2 |
#og |
#21 |
#22 |
|
«23 |
«21 |
|
«21 |
«22 |
|
■и окончательно |
*1 |
|
_ |
*2 |
_ |
*3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
« 1 2 « 1 3 |
|
|
« 1 3 « 1 1 |
|
« 1 1 « 1 2 |
|
||
|
|
# 2 2 ^ 23 |
|
|
« 2 3 « 3 1 |
|
« 2 1 « г г |
|
||
(
Полученный результат можно написать непосредственно при помощи так называемой круговой подстановки букв, воспользо вавшись прямоугольной матрицей
( ахі аі2 яіз\
\ Я 21 а 22 Я 23/
которая составлена из коэффициентов при неизвестных. Подобную систему часто приходится решать в различных при
ложениях, например в аналитической геометрии.
Задачи
В задачах № 77—84 решить системы линейных уравнений по правилу Кра мера.
77. |
а, + 2 |
х3 |
-{- Зл'з -7- 4х, — 5, |
|||
|
2 х , -|- |
Xо —(—2х3 + 3*, = |
1 , |
|||
|
3 *, -- 2 * 2 |
- f х3 + 2 а , = 1 , |
||||
|
4-л’ 7 - ■ За2 |
+ 2х3 “P |
х, = |
— 5. |
||
Отв. |
х , = — 2, |
х2= 2 , а3= |
— 3, |
* ,= 3 . |
||
79. |
З а , ■}- |
4 а2-f- х 3+ |
2л'.{ -г 3 — О, |
|||
|
З а, -J1- |
5а2+ За3 -; |
5A., -f- 6 |
— О, |
||
|
6 х , -|- |
8а 2-f- а3 -ф- 5а., + 8 |
= 0, |
|||
|
За, + |
5 а2+ За 3 + 7а, + 8 |
= 0. |
|||
Отв. |
а , = 2, |
х 2= — 2, * 3= 1 , а4= |
— 1. |
|||
78.2.x, + 2,Ѵп — *3 ■ х, — 4,
|
4-V, + |
З*3 — |
х 3 - |
2х, = |
6, |
|
|
8 а-! + |
5а2 — |
Зх3 -f- 4 х , = |
12, |
||
|
Зх, + |
За2 — 2 х 3 + |
2а., = |
6. |
||
Ore. |
л, = |
а2 = 4 , |
х3 = |
х, = |
|
— I. |
80. |
2 а , + |
х 2+ |
За 3 + |
2 а, |
= |
4, |
|
За , + |
За2+ За3 + 2 а, = 6, |
||||
|
За, — |
а, — а3 + 2а , = 6, |
||||
|
За, — |
а2+ За3 — а, = 6. |
||||
Отв. |
Ху= |
2, А, = |
А3 = |
А, = |
0. |
|
81. |
2а, + |
|
Х2 + |
А3 + |
А,[ + |
*5 — 2, |
82. |
2 а, + |
|
5*3 + |
4*3 + |
|
а, — 20, |
||||||
|
А, + |
|
2а 2 + |
А3 + |
А , |
+ |
Ад = |
0, |
|
а, + |
|
З*3 + |
2*3 + |
|
а, = |
11, |
|||
|
А, + |
|
* з + |
Зл'з + А , |
+ |
Ад = |
3, |
|
2 а , + |
|
10*з + |
9х3 + |
7 х , = |
40, |
|||||
|
А, "Г |
*2 + |
А3 + |
4а , |
+ |
Ад== — 2 ’ |
|
За, + |
|
8а2 + |
9*3 + |
|
2*4 = |
37. |
|||||
|
А, + |
|
Ао + |
А3 + |
А ,+ |
5*д = |
5. |
Отв. |
а, = |
1, *2 = |
А3 = |
2, а4 = |
0. |
||||||
Отв. |
А, = |
|
А3 = |
Ад = 1, |
Аз = |
*4 = — |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
83. |
А, + |
|
*2 + |
|
*3 + |
А, = |
0, |
|
А1+ |
4*2 + 6*3 + 4*, + |
* 5 = 0 , |
||||||||
|
а, + |
2 а2 + |
Зх3 + |
4а, -- 0, |
|
*0 |
+ |
*2 + 4*3 + 6*4 + 4*5 = 0, |
|||||||||||
|
А, + |
3*2 + |
6*3 + |
10а , — 0, |
|
4*1 |
+ |
*3 |
+ А3 + |
4*4 + 6*5 = 0, |
|||||||||
|
а , + |
4 а3 + |
10*3 + |
20 а, |
= |
0. |
|
6*1 |
+ |
4*2 |
+ А3 + |
А, + 4*5 = 0’ |
|||||||
Отв. |
А, - |
|
*2 = |
* 3 |
= * 4 = 0 . |
|
|
|
■'4*1 + |
6*2 |
+ 4*3+ |
*4 + |
Ад = 0. |
||||||
|
|
|
Отв. Ху= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 2 = |
|
*3 = |
А, = * |
5 |
= 0. |
|
||||
В задачах № 85—86 определить при каких значениях X система линейных однородных уравнении имеет ненулевые решения.
85. |
X*, + |
x 2 + |
x8 — О, |
86. 2.1', |
3.\*2-p -V,, -p 2.V.; — 0, |
|
X, -f Хх2 + |
x3 = 0, |
3A-, - |
6.\*2-)- 3x8 -f- 4д-.| = 0, |
|
|
х, “г |
x2+ XA'J = 0. |
6.V1 + |
9*2+ 5*3 H- 6x, = 0, |
|
Отв. |
X ,= |
1, X2 = |
— 2. |
8*x 4“ |
12x2-p 7.V3-Ф- Xx, = 0. |
Отв. X= 8.
В задачах № 87—88 решить по правилу Крамера системы линейных урав нений, где a. b, с все различны.
S7. |
а, -|- ßx2 -р а?хз |
cßy |
SS. |
A", + |
X2 |
Л'з — 1. |
|
|
А, -р Ъх2 + Ь-х, = |
Ь3, |
|
axL-f- |
bxa-#■ |
сл'з = |
rf, |
|
X, -f- СХ3 -{- e3Xg = |
c3. |
|
a-’A'i + |
b\x.. + |
Л і'з = |
d'K |
Отв. |
Xi = ябс, |
|
|
|
|
{b — ri) (c — d) |
|
|
|
|
|
|
Отв. A-, = |
_ fl) (c _ a) - |
|
x 2 = — {ab -f- ac -j- bc)
Xg — a -p b 4- c.
89. Решить систему уравнений
Xx, -ф* а2 -р А'з = 1,
|
А',-;- Хх2 -ф- A3 —X, |
||
где X 1 и XФ — 2. |
А, + Aj -f- Хх8 = |
ХЭ. |
|
* + 1 |
|
||
Отв. |
х - ~ |
||
1 ------X+ 2 ’ |
|||
|
|||
§ 11. Ранг матрицы
Пусть задана некоторая матрица Яц Й12.. . сі1п
Ö21 ^22 • • • &2п
|
(a — rf) (c — d) |
|
|
'v"2 ~~ {a — b)(c — b) |
’ |
||
A3 |
(а — d)(b — ri) |
|
|
(а — с) (b — с) |
’ |
||
|
|||
1 |
(Х+ 1)- |
Х+ 2 |
А'з- х + 2 • |
a m1 а «і2- • ■a mn
Выделим в этой матрице произвольно k горизонталей и k вер тикалей. Определитель /г-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении выделенных горизонталей и верти калей, называется определителем или минором k-го порядка матрицы. М. При этом как горизонтали, так и вертикали этого определителя должны быть относительно друг друга расположе ны в том же порядке, что и в матрице.
Назовем рангом матрицы М наивысший порядок ее определи телей, отличных от нуля. Следовательно, целое число л>0 назы-
кается рангом матрицы /V/, если среди определителей т-го поряд ка, порождаемых матрицей, есть хотя бы один, отличный от нуля, а все определители более высокого порядка равны нулю.
Например, для того ,чтобы определить ранг матрицы
1 2 3 4
1 — 2 4 5
1 6 2 3
необходимо рассмотреть прежде всего все определители третье го порядка, порожденные заданной матрицей. Для получения определителя третьего порядка надо выделить все три горизон тали матрицы и какие-нибудь три ее вертикали. Должно полу читься всего четыре определителя третьего порядка, так как чис ло сочетаний из четырех вертикалей по три равно четырем. Име ем:
|
1 |
2 3 |
1 |
0 |
0 |
|
D1 = |
1 - 2 |
4 |
1 |
- 4 |
1 |
|
|
1 |
|
6 2 |
1 |
4 — 1 |
|
|
1 |
2 4 |
1 |
0 |
0 |
|
D2 — 1 — 2 5 = 1 — 4 1 |
||||||
|
1 |
|
6 3 |
1 |
4 - 1 |
|
|
1 |
3 4 |
1 |
0 |
0 |
|
D3= |
1 |
4 5 = |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
2 3 |
1 - |
1 - |
1 |
|
|
|
2 |
3 4 |
2 |
3 4 |
|
D 4= - 2 4 5 = 4 6 8 = |
||||||
|
|
6 2 3 |
6 2 3 |
|
||
поэтому ранг заданной матрицы не будет равен трем.
Будем далее рассматривать определители второго порядка. Выделим, например, первую и третью горизонталь, и вторую и третью вертикаль, тогда получим следующий определитель вто рого порядка
который отличен от нуля. Данная матрица определителей выше третьего порядка не имеет, следовательно, ее ранг равен двум.