книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие
.pdfВ этой таблице в колонках Х \ , х 2 , х 3 записаны коэффициенты при неизвестных, а в колонке сп — свободные члены. Колонка Е,„ где записывается алгебраическая сумма всех коэффициентов и свободного члена соответствующей строки, имеет контрольный характер. Например, 24 = 8,3780+10,7470—11,8180 = 7,3040 долж на быть равна
£2 + £3 = 25,8940 — 18,5900 = 7,3040.
Такой контроль необходим, если число неизвестных больше трех.
§20. Простейшие матричные уравнения
1.Если дано матричное уравнение вида
А+ Х = В,
где А и В произвольные прямоугольные матрицы одинаковых размеров, то на основании определения алгебраической суммы двух прямоугольных матриц (§ 14) имеем
т. е. |
|
|
X — В — А, |
|
|
|
|
||
''Ьп |
ь1 2 ... Ь1п |
/а,ц |
^12 |
• . •«1л \ |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
Х=* |
Ь21 |
^22 • • ■Ь.2л I - |
«21 |
«22 |
.. • «2л |
|
|
|
|
|
^ m l |
Ь т ч ■• • Ь п |
у«шІ |
«m2 • • •«/лл I |
|
|
|
||
|
|
|
( b n |
«11 |
ЬХ2 |
«12 |
■bln — а1п |
||
|
|
|
Ь21 |
«21 |
Ьгі |
«22 |
Ьгп |
«2я |
|
|
|
|
Ч^ЯІІ — «Ml |
^т2 |
«Лі2 |
Ьпт |
ß'nin ■ |
||
2. |
Положим, что задана произвольная |
квадратная |
матрица |
||||||
|
|
|
«11 |
«12 |
• • |
|
|
|
|
|
|
А = |
«21 |
«22 • • • «2л |
|
|
|
||
|
|
|
«л1 «Л2 ■• • «Л„. |
|
|
|
|||
если эта матрица неособенная, то как известно |
(§ 16), всегда |
||||||||
можно построить обратную ей матрицу Л-1, причем |
|
||||||||
|
|
А А - 1 = А ~1А = Е, |
|
|
(8) |
хотя для произведения двух матриц коммутативный закон вооб ще не имеет места (§ 15).
Исходя из этого, для того, чтобы определить йеизвестную матрицу X из уравнения
АХ = В,
где А — неособеннаяквадратная матрица, а В и X произволь ные прямоугольные матрицы, достаточно обе части уравнения умножить «слева» на Л-1. Таким образом, принимая во внима ние (8). получим
Х = А -'В .
Заметим, для того, чтобы умножение матриц А~ 1 и В было выполнимо, необходимо, чтобы число вертикалей в первом со множителе было равно числу горизонталей во втором (§ 15).
Для того, чтобы решить матричное уравнение УЛ = В,
достаточно обе части уравнения умножить «справа» на матрицу Л ^1, имеем
Y — ВА~К
Следовательно, матричные уравнения
АХ = В, YА =-- В
имеют различные решения, так как, вообще говоря. А~'Вф ВА~х.
Вчастном случае матричные уравнения вида
АХ » Е, ХА « Е,
где А — неособенная матрица и Е — единичная матрица, прини мая во внимание (8), будут иметь одно решение
X = А - 1.
Рассмотрим, наконец, уравнение вида
АХВ = С,
где А, В, С — данные квадратные матрицы я-го порядка, причем А и В — неособенные матрицы, С — произвольная матрица и X— неизвестная матрица. Умножив обе части этого уравнения слева
на матрицу Л - ' и справа |
на матрицу 5 “ 1, получим |
||
X = А~'СВ~Х. |
|
||
Пример. Решить уравнения |
|
|
|
АХ = В, |
Y А = В, |
||
где |
|
|
1 7 |
Л = 3 |
2 |
В = |
|
4 |
3 |
|
3 5 |
Р е ш е н и е . Матрица А неособенная, так как беіЛ = 1 и об ратная матрица будет
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = А -'В = |
3 |
— 2 \ |
/ - |
1 7\ |
/ - |
9 |
11\ . |
||||
- 4 |
|
з Д |
|
3 5/ |
I |
1 |
3 — 13Г |
||||
|
|
|
|||||||||
Y = B A -* = ( - ' 7\ ( |
|
3 - 2 |
3 |
- 3 1 |
|
23\ |
|||||
|
3 |
5 |
|
V— 4. |
|
- 1 1 |
|
9J ' |
Покажем на конкретном примере решение матричного урав нения АХ = В, в том случае, если del/1= 0.
Пусть требуется найти матрицу X второго порядка, удовлет воряющую уравнению
|
|
|
|
2 |
3 |
X = |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
10 4 |
|
|
|
|
Б данном случае имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
= |
2 |
3 |
В = |
5 2 |
|
det А |
2 |
3 |
0. |
|
4 |
6 |
10 4 |
|
4 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
Запишем искомую матрицу так |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
УА |
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
х г |
У 2.) |
|
|
|
|
|
|
|
2 3\ !хг уЛ = ( |
5 2\ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 б Дд с , ÿ j |
V10 4/ |
|
|
|
|||
отсюда, выполнив умножение, получим |
|
|
|
||||||||
|
|
/*2х^ -j- 3^2 |
|
2t/i + Зу2\ |
_/ 5 |
2\ |
|
|
|||
! |
|
\4*і + 6х2 |
|
4-уі -f- буо] |
\10 |
4/ |
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(1) Р ^1 |
Зх”2 = |
Ю; |
(II) Р ^1 |
|
= |
|
||||
|
|
І4хі + |
6*2 = |
|
[4уг + |
6у%= 4. |
|
Системы линейных уравнений (I) и (II) совместны, в каждой из этих систем второе уравнение можно отбросить и второе неизвестное *2- Уі считать свободным. Таким образом, имеем
5 |
3 |
3 |
* і = у - у * а > |
у й - |
Положив, например, что *2= 2а, (/2 = 2ß, находим матрицу X, удовлетворяющую заданному уравнению в следующем общем
виде
|
|
|
|
1-зр |
|
|
|
|
|
2S . |
|
где а, ß — произвольные числа. |
|
|
|||
3. |
На одном частном случае рассмотрим, как решение систем |
||||
линейных |
уравнений |
можно привести к решению матричного |
|||
уравнения. |
|
|
|
||
Выше |
(2, §16) видели, что всякую систему п линейных урав |
||||
нений с п неизвестными |
|
|
|||
|
|
аПХ 1 4" Й12*2 4" • |
• 4- cilnxn = |
b |
|
|
|
азіхі 4" Япхі 4" • |
■4- äinxn — b |
||
|
|
ап1Х 1 4- апіХ 2 4" • |
■4- tt„nxn = |
b |
|
можно записать в виде матричного уравнения |
|
||||
|
|
|
АХ = В, |
|
|
где |
А — квадратная |
неособенная |
матрица |
из коэффициентов |
|
при неизвестных, а X и В будут |
столбцовые |
матрицы, состав |
ленные соответственно из неизвестных и свободных членов, т. е.
|
|
|
|
V |
|
0-12 ■■ |
|
|
x2 |
|
|
■• a in |
|
|
Ьг |
||
&2Ч ■ ■■a 2n |
|
|
|||
|
|
|
II |
||
■a nl a n2 • ■ • ®nn. |
|
|
Xn |
K |
|
|
|
|
|
||
Действительно, непосредственным умножением |
|||||
|
an . |
■Яі»\ |
x i |
] |
V |
a n |
X 2 |
|
2 |
||
a 2 l & 22 ■ •a 2n I |
= |
b |
|||
|
|
||||
a„i |
anZ ■ |
■annJ |
Xn. |
|
|
|
|
|
P n |
можно убедиться, что А Х —В, отсюда X = д - ’в.
Главная трудность в отыскании неизвестной матрицы X со стоит в построении обратной матрицы Л-1. Построение обратной матрицы может быть очень упрощено, если данная неособен-
ная матрица А будет симметрической, т .е. не меняется от замены строк столбцами. Это свойство можно отметить в виде равенства
a ij ~ a j l
для всех ее элементов.
Таким образом, в симметрической матрице элементы, распо ложенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Доказывается, что если А является симметричес кой матрицей,то она может быть представлена в виде произведе ния двух треугольных матриц, т. е.
I 'll |
0 |
0 . |
. |
0 |
> и |
Г 12 |
Г13 • |
■Гіп |
|
Г21 |
Г22 |
0 . |
. |
0 |
0 |
Г22 |
Г23 * |
■Г2п |
|
Г31 |
Г32 |
Г38 |
• |
. |
0 |
0 |
0 |
Г33 • |
■Г*п |
I’m |
Г ПІ |
ГпЗ |
■ |
• |
г а п . |
. 0 |
0 |
0 . |
• l'un ' |
причем обратные матрицы R i_1, R j l будут также треугольными матрицами такого же вида, кап и матрицы Ri и R2 . Этим вос пользуемся для решения таких систем п линейных уравнений с п неизвестными, у которых квадратная матрица А, составлен ная из коэффициентов, является неособенной симметрической. Алгоритм вычисления проведем на численном примере.
Пусть необходимо решить систему линейных уравнений
|
х х — |
х 2 + |
2х3 = |
ОС, |
|
— |
Xi -f Ъх2 + |
4л:3 = |
ß, |
||
|
2 х^ |
4х2 -f-14х3 = Y. |
|||
Для решения этой |
системы |
рассмотрим соответствующее |
|||
I матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
х і |
|
|
|
|
|
•%2 |
|
р |
|
|
\ |
X , |
|
|
Так как матрица, составленная из коэффициентов, симметри ческая, то представим ее в виде треугольных матриц
т. е. |
|
|
А = RI R2, |
|
|
|
|
||
1 2\ |
|
|
° |
|
(\i ' l l |
|
|
||
— |
' і ' і і |
0 |
|
I'll |
П з |
||||
— 1 |
5 |
4Г |
Г21 |
Г22 |
° |
J |
0 |
f 22 |
Г23 |
2 |
4 |
и ) |
У » |
Г32 |
Г33 |
ѵ° |
0 |
^’ 3 3 |
Выполняя умножение |
в правой части, получаем равенства, |
|||||
из которых определяем |
все элементы |
треугольных матриц R\ |
||||
и R2, имеем |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
>■?». |
Гц — 1) |
|||
1 |
= |
тп гп , |
Гоі — |
1> |
||
2 *= Гц г31, |
' 31 |
= |
2 ; |
|||
5 — г; j -f- гг,,, |
Г2 2 |
— 2 j |
||||
4 = |
'21 '31 Т ' 22 ' 321 |
Г32 = |
3; |
|||
Гоі Гаі -4* Го |
|
|
|
14 = Си + Г30 + Г3а. Г33 — 1•
При извлечении корней квадратных берем лишь одно арифметическое значение корня, так как в данном случае не стремимся найти все возможные разложения матрицы А. Для ре шения поставленной задачи достаточно одного какого-нибудь разложения.
Следовательно,
1 |
0 |
0\ |
|
/ і — 1 2N |
|
Я і - І - 1 2 |
0 |
Д2= |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
Заметим, что матрицы |
R { и R2 |
оказались |
неособенными, |
||
поэтому и матрица А также будет неособенная. |
Следовательно, |
врассматриваемом способе решения системы линейных уравне ний нет надобности устанавливать, что матрица А является неособенной, так как этот вопрос будет непосредственно решен при разложении матрицы А на произведение двух треугольных матриц. Треугольная матрица будет, очевидно, особенной лишь
втом случае, когда один какой-нибудь элемент ее главной диаго
нали будет равен нулю. |
|
матрицы |
Д , 1 и R T '- Для это го |
|||
Далее находим обратные |
||||||
воспользуемся тем, что |
ДіЯ г1= Е. |
|
|
|||
Положим, что |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 \ |
f t n 0 о ' \ , |
/ 1 0 |
0 |
|||
1 2 |
0 |
^21 |
^22 |
0 = |
0 1 |
0 |
2 3 |
1 ) |
\^31 |
^32 |
^33у |
V 0 0 1 |
|
отсюда |
|
|
|
1 |
||
|
іц — 1. |
* 1 » |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
1 . |
|
— 4 і + 2fa = 0, |
|
|
|
= |
1, |
tаз —-pp ; |
|
||
2^11 + 3/21 + |
t;j] — 0, |
|
|
7_. |
||
|
— |
2 ’ |
||||
|
|
|
|
|
||
3^22 + |
^*2 * |
0, |
t |
___ ± . |
. |
|
h * - |
2 |
|||||
Следовательно, |
^33 = |
b |
^33 = |
1- |
|
|
|
1 |
0 |
0] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
R ? = |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
7_
9 4 '
Матрица R2 получается из R t путем замены строк столбцами, очевидно это будет иметь место и для обратных матриц, поэтому
2 2
R:-1 - оі-і
2 2
О О 1
Из A = R IR 2 следует, что |
|
|
|
>1 |
7J |
О |
01 |
2 |
|
|
|
4 |
3_ |
т |
0 |
2 |
|
|
|
о о |
|
|
|
4 L |
_П_ |
7_ |
|
2 |
2 |
2 |
|
_п_ |
_5_ |
3_ |
|
2 |
2 |
2 |
|
_7_
2 2
Отсюда искомая одностолбцовая матрица X будет 27 11 7
2 2
y(27a + l l ß - 7 7)
у (11а + 5 ( 3 - 3 Т)
^ ( - 7 a - 3 ß + T)
Таким образом, имеем решения заданной линейной системы
* = |
у (2 7 « + 1 1 Р - 7 Т), |
** = у(11« + 5 ? -З т ), |
|
х3 = |
Y ( - 7а — 3(3 -|- ■(). |
Следует заметить, что при решении данной системы изложен ный способ может показаться более длинным, чем другие спо собы решения систем, например, по правилу Камера (§10). Однако при решении систем с большим числом неизвестных и менее удобными коэффициентами указанный способ имеет ряд
преимуществ, таи как подобно алгоритму Гаусса |
(§19) состоит |
из ряда однотипных операций, которые легко |
выполняются |
на современных счетных машинах. |
|
Задачи |
|
В задачах № 154—161 решить матричные уравнения. |
|
155.
1 5 6 .
157.
158.
159.
160.
161.
§21. Рациональные функции от матрицы
1.Значением многочлена
f (х) = |
с0х" + СіХ" - 1+ |
. .. -f Сп-\ Х |
+ с„ |
||||
от матрицы А или значением |
многочлена (целой рациональной |
||||||
функции) f{x) |
при х = А называется матрица. |
|
|||||
f (Л) = |
с0Ап + сгЛл-1 + |
• ■. + |
Сп-іА -f спЕ, |
||||
где А — заданная |
квадратная |
матрица, |
Е — единичная матри |
||||
ца и коэффициенты многочлена с0, сь ..., сп-ь |
сп в рассматри |
||||||
ваемом случае являются числами действительными. |
|||||||
Например, |
найти значение |
многочлена f ( x ) = 2х2 + Зх + 5 от |
|||||
матрицы |
|
|
1 1 2\ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
А = |
1 3 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
4 1 1 / |
|
|
||
Производя указанные действия, получим |
|
||||||
f(A ) = 2Л* + |
ЗЛ 4- 5£ = |
|
|
|
|
|
|
/1 |
1 2 |
|
( \ |
1 2\ |
/1 |
||
= 2 1 3 1 |
1 3 1 1+ 3 |
1 3 1 + 5 0 |
|||||
\4 |
1 1 |
V41 V |
|
\ |
1 1/ |
\° |
13-7
20 12 10
16 22 12
18 16 20
2. Частное матриц А и В, где матрицы — квадратные, име смысл только для невырожденного делителя В, причем это ча стное имеет два значения: левое частное В~1А и правое частное АВ~'. Оба эти частные совпадают тогда н только тогда, когда
матрицы А и В перестановочны, т. е. АВ = ВА. Только в этом
д
случае применяются обозначения частного А : В или -д- .
3. Рациональной функцией
F(x) = /(* )
? (JC) ’
где f(x ) и ю(.ѵ) многочлены с действительными коэффициентами, от квадратной матрицы А называется матрица
F(A)=*
/ІА) ? ІА) ‘
Функция F(x) определена на спектре матрицы А (§17) в том
итолько в том случае, если характеристические числа матрицы
Ане являются корнями многочлена гл(х), т. е. если det'f(,4)==0, причем многочлены f(x) и ср(х) —взаимно простые. В этом слѵчае
из тождества
/ч*) 9 (*)= ./(*)
получим
F (A )4 {A )= f{A ),
отсюда
F ІА) =/(Л )[ср(Л)]-‘ = [*(Л )]-‘/И )* .
* Подробнее см. Ф. Р, Гантмахер, Террия матриц. Гостехиздат, 1953, гл. V, § 4.