книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

,і 4і — 42/ — 2lk.

Модуль векторного произведения двух векторов равен пло­ щади построенного иа них параллелограмма, поэтому

5 = \а X Ь\ = 1/142 + 422 + 2Р = 49.

Пример 3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 1; 1), В(2; 3; 4), С (4; 3; 2).

Р е ш е H и е. Находим векторы

АВ = (2 — 1) / + (3 — 1)7+ (4 — 1) k = Г+ 2[ + 3к, Ж = (4 — 1)7 + (3 - 1) Г+ (2 - 1) к = 3Т+ 27 + Ä,

Площадь треугольника АВС равна половине площади парал­

лелограмма, построенного на векторах AB и АС, поэтому нахо­ дим векторное произведение этих векторов

Положим, что вектор а умножается скалярно на векторное про­

изведение двух векторов b и с. Такое произведение называется скалярно­ векторным произведением и записыва­

Произведение ЬХс дает некоторый

вектор М, модуль которого равен площади параллелограмма PQRS, ко­ торый является основанием этого па­ раллелепипеда.

Следовательно,

а(Ь Х с) — аМ — | а 11М | cos а.

Множитель I а | cos а представляет собой высоту параллелепи­

педа, а |М | — площадь его основания, поэтому их произведение дает объем этого параллелепипеда, взятый со знаком плюс ил_и

минус в зависимости от того, как расположены векторы а, b и с, т. е.

Заметим, что скалярно-векторное произведение будет, очевид­

но, иметь знак плюс, если векторы a, b и с последовательно будут образовывать правую систему каких-либо косоугольных координат; а знак минус — при образовании ими левой системы.

При циклической перестановке множителей скалярно-вектор­ ное произведение не меняет ни знака, ни величины, т. е.

а (b X с) = с (а X Ь) = Ъ (с X а),

так как при такой перестановке векторов смысл ими образован­ ной системы (левая, правая) не нарушится и величина объема параллелепипеда остается неизменной.

Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если: а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю; б) два из перемножаемых векторов коллинеарны (параллельны); в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланар­ ны). Необходимым и достаточным условием компланарности

трех векторов будет а(ЬХс) = 0, так как при этом параллелепи­ пед и его объем превращаются в нуль.

Выражение скалярно-векторного произведения через коорди­ наты представится в следующем виде:

a(b X с) = (axi + a j + azk) [(b j + byj + bzk) X (c j+ c yj+ czk)] =

Пример 5. Вершины треугольной пирамиды находятся в точ­ ках Л(1; 1; 1), В (4; 2; 5), С(—2; 3; 7) и Ц(0; 3; 6). Найти высоту пирамиды, проведенную из вершины D на грань АВС.

где V — объем пирамиды и 5 — площадь грани АВС.

Известно, что объем треугольной пирамиды, ребра которой

совпадают с векторами AB, АС и AD, сходящимися в вершине А, составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Поэтому прежде всего находим векторы

ÄB = (4 - 1)7 +- (2 - 1)/ 4- (5 - 1) k = 3Г+ / + Ak,

ЛС = (— 2 — 1) 7 + (3 — 1) 7 + (7 — 1) £ = — З І+2/+6Ä ,

AD = (0 — 1) і + (3 — 1) / + (6 — 1) к = — і + 2/ + 5/г,

тогда модуль скалярно-векторного произведения \AB(ACxAD)\ определяет объем указанного выше параллелепипеда. Имеем

отсюда

I ЛЯ (ЛСХЛО) | = із.

Следовательно, объем пирамиды будет

Определим далее площадь грани АВС. Так как треугольник АВС построен на векторах

ЛВ = зТ + 7+4А , АС = — 3Ï + 2/ + 6Æ,

то предварительно найдем векторное произведение этих векторов

і / k

Л 5 Х Л С = 3 1 4 = — 2i — 3 0 /+ 96.

— 3 2 6

=(aybxcz — aybyc, — azb,cx -f azb ,c2) ï +

+{a2 bycz — a,bzcy — axbxcy + axbycx)/ +

+(ахЬгсх - ахЬхсг — aybycz -f ayb2cy) k =

+ \b2 (axcx + aycy + «A ) — cz (axbx + ayby + azb.)\k =

= [bx (ac) — cx (ab)]l+

Найти aX( bXc) .

P e ш e и и e. Предварительно найдем скалярные произведе­

146. Даны вершины треугольника А (1; —1; 2), 5(5; —6; 2) и С(1; 3; —1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

148.Даны три вектора:

а— і — / -f- 3ft, Ъ-= — 2/ + 2j + ft, с — 3/ — 2j ~f- 5ft

§ 19. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

П усть д ан а систем а п линейны х уравнений с п неизвестны ми X,, х2, . . ., хп] правы е части этих уравнений обозначим £/, уъ ... уп:

' йцХі + а12х2 + ... + аЛпх п = уъ

Матрица, образованная пз коэффициентов

АI ^21 ^22 *• *&2П I

\Ял1 • • * & пп/

всех уравнений системы, начиная со второго, можно исключить *і. Для этого ко второму уравнению прибавим почленно первое,

ннй с п неизвестными следующего вида:

Решение системы (7) не представляет трудностей, так. как из последнего уравнения системы непосредственно получаем х п, далее из предпоследнего путем подстановки находим х п~\. затем аналогично вычисляем хп_2, хп-з ,..- н, наконец, из первого уравнения системы получаем лд.

Изложенный метод решения линейных систем состоит из од­ нотипных операций, легко выполнимых на современных счетных машинах. Этот метод принадлежит Гауссу и часто называется алгоритмом Гаусса. Алгоритм Гаусса применим, когда все числа «и, а<1>, на которые приходится почленно делить

уравнения системы, отличны от нуля.

Заметим, что система (7) называется треугольной рекурентной системой. Матрица из коэффициентов этой системы

а11 Я13 :

0„м> „CD . ail!

«22 січг •

0 0 Язз ■ ■aSS

0 0 0 ..

будет треугольной матрицей.

Применим алгоритм Гаусса к решению тр$ех линейных урав­ нений с тремя неизвестными

и полученные результаты соответственно прибавить к уравнени­ ям (II) и (III), дополученные два новые уравнения уже не будут

«з= 1,4422 «1,442.

Вычисления проведены с одним лишним десятичным знаком сравнительно с коэффициентами данной системы. В окончатель­ ном результате этот последний десятичный знак округляем.

Все вычисления, связанные с переходом от данной системы к треугольной, обычно располагают в виде таблицы, которая мо­ жет иметь, например, следующий вид: