книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью
.pdfфи
/ j ^ .Г. /ПAlА Р m l
г о *
М/ М Е Н К О
н.СУНЦЕВ
СИНТЕЗ
ОПТИМАЛЬНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
А К А Д Е М И Я Н А У К У К Р А И Н С К О Й С С Р
О Р Д ЕН А ТР У Д О В О ГО КР А С Н О ГО З Н А М ЕН И И Н С ТИ ТУ Т М А ТЕ М А ТИ К И
В.Б. ЛАРИН,
К.И. НАУМЕНКО,
В.Н. СУНЦЕВ
СИНТЕЗ
ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» |
КИЕВ— 1973 |
/ -
Излагаются результаты исследований по синтезу оптимальных линейных систем с обратной связью. Дается решение ряда задач оптимальной стабилизации, синтеза оптимальных следящих систем, линейных диф
ференциальных игр преследования — уклонения с квадратичным функ ционалом платежа. Метод решения является результатом распростра нения идей теории оптимальной фильтрации Винера — Колмогорова на системы с обратной связью, ио^в отличие от известных методов он не связан с-заменрп системы с обратной связью эквивалентной разомкну той системой^ что'позволяет использовать его при любом расположении нулей и полюсов передаточной функции (матрицы передаточных функ ций) заданной части синтезируемой системы.
_ Монография предназначена для научных сотрудников, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории управляемых систем.
р *п ч публичная
т
[\
Ответственный редактор академик
АН У С С Р 10. А. Митропольский
Рецензенты: доктор физико-математи ческих наук И. А. Луковский, канди дат технических наук Б. /О. Мандров-
ский-Соколов
Редакция физико-математической лите ратуры
0223-387
JIM 221l04J-78 6—74
Издательство «Наукова думка», 1973 г. с №3 ■
-г-
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая монография посвящена одному из разделов тео рии управляемых систем — синтезу оптимальных линей ных систем с обратной связью. В ней приведено решение ряда задач оптимальной стабилизации, синтеза оптималь ных следящих систем и линейных дифференциальных игр. Метод решения [15— 17] является результатом распростра нения идей теории оптимальной . фильтрации Винера — Колмогорова [10, 34] на системы с обратной связью.'
При синтезе линейных систем с обратной связью широ кую известность приобрели различные методы аналитиче ского конструирования оптимальных регуляторов по квад ратичным критериям качества. Суть этих методов заклю чается в том, что задача выбора оптимального регулятора решается как вариационная задача, и хотя эти методы тре буют привлечения довольно сложного математического ап парата, они позволяют получить уравнение оптимального регулятора (или его передаточную функцию) и указать прин ципиальные границы качества регулирования.
При стохастических внешних возмущениях задачи син теза оптимальных регуляторов в цепи обратной связи обыч но решаются спектральными методами [29, 22, 24, 30], основанными на замене системы с обратной связью экви валентной разомкнутой системой с последующим исполь зованием идей построения оптимального фильтра Винера — Колмогорова. Решение задачи при использовании этих ме тодов сводится к следующему: первоначально задаются или определяются из решения вариационной задачи харак теристики эквивалентной разомкнутой системы, а затем по известным соотношениям, связывающим динамические ха рактеристики эквивалентной разомкнутой системы с дина мическими характеристиками корректирующих контуров
з
(регуляторов в цепи обратной связи), определяются послед ние. Подобная последовательность синтеза является эффек тивной, если заданные элементы синтезируемой системы (объект) устойчивы. Случай неустойчивой заданной части в [29, 22, 24, 30] практически не рассматривался (авторы рекомендовали сначала стабилизировать неустойчивые эле менты дополнительными контурами обратной связи, а по том применять предлагаемый ими метод оптимизации).
Существенное развитие спектральные методы синтеза получили в работах ленинградских механиков. Так, в [7, 9, 25, 26] было дано решение многомерной задачи при произ вольном числе управляющих воздействий и произвольной структуре заданной части синтезируемой системы. Для устойчивой заданной части процедура синтеза в вычисли тельном аспекте, как и в [29, 22, 24, 30], сводилась к реше нию систем линейных алгебраических уравнений.
Если же передаточная функция объекта имела полюсы
(нули и |
полюсы) в правой полуплоскости, предлагалось |
в е о д и т ь |
систему изрпериыетрических ограничений, чтобы |
избежать компенсации «правых» (с положительной дейст вительной частью) нулей и полюсов объекта соответствую щими полюсами и нулями корректирующих контуров, т. е. задача синтеза сводилась к решению вариационной задачи с изспериметрическими ограничениями. Эти же идеи были распространены на дискретные системы [8].
Методы синтеза оптимальных линейных систем с обрат ной связью, изложенные в [7, 9, 25, 26], оказались весьма эффективными с практической точки зрения для устойчивых объектов, так как структура и параметры оптимального регулятора (корректирующих контуров) в конечном итоге определялись из решения систем линейных алгебраических уравнений. Для объектов, имеющих полюсы (нули и полюсы)
вправой полуплоскости, применение этих методов связано
сдовольно громоздкими вычислениями.
Внастоящей монографии излагается иной подход к ре шению задач синтеза, также основанный на использовании идей Винера — Колмогорова, но не связанный с заменой системы с обратной связью эквивалентной разомкнутой си стемой. Метод решения базируется на специальном выборе варьируемой функции (в многомерной задаче — матрицы варьируемых функций) в соответствующем уравнении Ви нера — Хопфа, таком, что из физической реализуемости этой функции (аналитичности варьируемой матрицы в пра
4
вой полуплоскости) следует устойчивость системы объект -J- + регулятор.
Монография состоит из пяти глав и приложения.
В первой главе излагаются основные идеи предлагаемо го метода синтеза и дается решение ряда задач оптимальной стабилизации, в том числе и многомерных (при произволь ном числе стационарных случайных внешних возмущений и произвольном числе управляющих воздействий), если коор динаты объекта измеряются точно. Метод синтеза является общим для объектов с произвольным расположением нулей и полюсов их передаточных функций (устойчивых, неустой чивых, минимально-фазовых, неминимально-фазовых объек тов). Здесь же указан класс внешних возмущений, относительно которых синтезированный регулятор сохраняет свой- . ство оптимальности.
Во второй главе показана тесная связь задачи оптималь ной стабилизации с задачей аналитического конструиро вания регуляторов. Исследована структура оптимального управления (управление по отклонению и управление по возмущению), указаны случаи, когда весьма эффективный алгоритм решения задачи аналитического конструирования регуляторов, основанный на сравнении двух различных форм записи характеристического уравнения замкнутой си стемы, оказывается не приемлемым.
Втретьей главе исследуется многомерная задача опти мальной стабилизации, когда координаты объекта измеряю тся не точно, а с аддитивными стационарными случайными помехами. Показано, что метод синтеза, изложенный в пер вой главе, оказывается эффективным и при решении этой задачи.
Вчетвертой главе рассматриваются задачи оптимальной стабилизации при многоканальном измерении координат объекта (так называемые задачи с избыточной информацией)
изадачи синтеза оптимальных следящих систем. Сохранив все основные идеи метода синтеза, изложенного в первой главе, и лишь незначительно модифицировав его, удается
получить решение этих двух задач как в одномерном, так
ив многомерном случае.
Впятой главе рассматривается один класс задач теории линейных дифференциальных игр, а именно игровые задачи о встрече движений (задача сближения — уклонения) при квадратичном функционале платежа. Показано, что эти задачи очень близки к задачам оптимальной стабилизации
5
и могут быть решены методом, незначительно отличаю щимся от метода синтеза, изложенного в первой и третьей главах. Здесь же приведено решение задач аналитическо го конструирования регуляторов и линейной дифференци альной игры с учетом запаздывания.
Эффективность предлагаемого метода синтеза линейных систем с обратной связью иллюстрируется решением разно образных примеров (стабилизация неустойчивых объектов минимальными энергетическими затратами, линейная диф ференциальная игра с запаздыванием и др.).
Сделаем несколько замечаний, относящихся ко всем рассмотренным в работе задачам.
1. В задачах со случайными возмущениями рассмат
риваются |
только установившиеся режимы. |
|
2. |
Устойчивость системы понимается в смысле устойчи |
|
вости |
по |
Ляпунову. Точнее, поскольку во всех задачах, |
за исключением § 3 гл. 5, рассматриваются только инва риантные во времени динамические системы с конечным числом степеней свободы, то устойчивой замкнутой системой объект + регулятор считается система, нули характеристи ческого определителя которой расположены в левой полу плоскости.
3. Физическая реализуемость весовой и передаточной функций понимается в смысле Винера, т. е. физически реа лизуемая весовая функция равна нулю при t < 0, и, соот ветственно, физически реализуемая передаточная функ ция — это функция, аналитическая в правой полуплоскости.
В заключение нам хотелось бы выразить благодарность за обсуждение основных результатов, вошедших в настоя щую работу, коллективу кафедры «Механика и процессы управления» Ленинградского ордена Ленина политехниче ского института им. М. И. Калинина.
Г Л А В А 1
§ 1.
СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ИДЕАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ КО ОРДИНАТ
О С О Б ЕН Н О С ТИ П Р И М Е Н Е Н И Я С П Е К ТР А Л Ь Н Ы Х М ЕТО Д О В К Р Е Ш Е Н И Ю З А Д А Ч С И Н ТЕ З А С И С ТЕМ С О Б Р А ТН О Й С В Я З ЬЮ
Задачи синтеза оптимальных систем стабилизации для объек тов, находящихся под воздействием стационарных случай ных внешних возмущений, могут быть решены методами, основанными на идеях теории оптимальной фильтрации Винера — Колмогорова [10, 34]. Однако при использова нии этих методов необходимо учитывать специфику рассмат риваемых задач, обусловленную наличием обратной связи и заключающуюся в необходимости обеспечения устойчи вости замкнутой системы объект + регулятор. Эта специ фика достаточно хорошо видна уже при решении простейшей задачи синтеза системы стабилизации.
Пусть возмущенное движение объекта описывается ли нейным дифференциальным уравнением с постоянными ко эффициентами
|
Р (р) X = М (р) и + ф, |
(1 .1) |
|
где X — координата объекта, |
и — координата |
регулятора |
|
(управляющее |
воздействие), |
Р (р) и М (р) — операторные |
|
полиномы от р |
= d/dt, ф — стационарный случайный про |
||
цесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью
( 1.2)
Необходимо выбрать закон управления (найти зависи мость и от фазовых координат объекта) так, чтобы замкну тая система объект -f- регулятор была устойчива и опти мальна в некотором смысле.
Критерий оптимальности должен, по-видимому, учиты вать как величины, характеризующие отклонение стабили зируемой координаты объекта от положения равновесия, так и «энергетические затраты» регулятора, связанные с
7
достижением определенного качества стабилизации. По этому, как отмечено в [19], в критерий качества кроме коор динат стабилизируемого объекта должны входить коорди ната регулятора и ее производная по времени.
Простейшим критерием качества, который удовлетворя ет этим требованиям и позволяет получить решение задачи в замкнутой форме, является квадратичный критерий. При менительно к рассматриваемой задаче это может быть
в = |
г <х2> + с (и2) + |
(и2), |
(1.3) |
где г и с — весовые константы,1 (х2), |
(и2) и |
(и2) — дис |
|
персии величин X, |
и и du/dt. |
|
|
Решение задачи при более сложном квадратичном крите рии аналогично следующему. Если ограничиться классом линейных регуляторов, то поставленную задачу синтеза
можно формулировать |
так: |
|
|
необходимо найти |
уравнение |
регулятора |
|
^0 (Р) и = ^ |
(р) X |
(1.4) |
|
так, чтобы функционал (1.3) достигал минимума на классе устойчивых замкнутых систем объект + регулятор.
Используя преобразование Лапласа к уравнениям (1.1), (1.4), найдем передаточные функции между координатами системы и внешними возмущениями:
.г (s) = |
Fx (S) Ф (s) = |
-PW 1A \{s)W(s)- ф (S), |
|
и (s) = |
Fu (s) ф (s) = |
p- . J ^ {s)W{s- ф (s), |
(1.5) |
u(s) = |
W (s) X (s) = |
Fu (s) Fx 1(s) X (s), |
|
где W (s) = w r l (s) W (s), |
s = а + /<о. |
|
|
Поскольку замкнутая система должна быть устойчивой и, следовательно, функции Fx (s) и Fu (s) должны быть физически реализуемыми (не должны иметь полюсов в пра вой полуплоскости), то, воспользовавшись преобразовани-
1 Соответствующим выбором весовых констант можно достичь желаемого соотношения между качеством стабилизации и «мощностью» регулятора.
8
ем Фурье (положив s = /со), функционал (1.3) можно запи
сать |
в виде |
|
|
, 0 3 |
|
е = |
- г J lrFx(s)F x(^ s) + ( c ^ s 2)F u(s)Fu( - s )]S t (s)ds, |
|
|
—/°° |
( 1.6) |
или |
|
|
,со |
|
|
|
|
|
|
[г 4- (с —а?) W (а) W (—а)] S^, (s) |
■ ds. |
|
- м—,со [Р (s) —М(s) W' (s)] [Р ( - s) —М( - s) W' (— s)] |
|
Выше отмечалось, что минимум функционала (1.6) не |
||
обходимо разыскивать на множестве таких функций |
W (s), |
|
которые обеспечивают устойчивость замкнутой системы объект + регулятор. Одним из возможных методов учета"' требования устойчивости замкнутой системы при миними зации функционала является введение варьируемых функ ций в том или ином виде в зависимости от динамических
свойств объекта [12]. |
|
J |
Так, пусть варьируемая функция Ф , (s) определяется |
||
соотношением |
|
|
Фі ® = |
Р (s) — М(s) \Ѵ(s) ' |
^ |
В этом случае передаточные функции Fx (s) |
и Fu (s) |
|
примут вид: |
|
|
Fx(s) = |
$>l(s). |
|
а функционал е будет квадратичным относительно Ф , (s): ,со
e = j J {[гМ (s) М (— s) + |
(с — s2) Р (s) Р (— s)] X |
— /оо |
|
X Ф, (S) ф , ( - S) - (С- |
S2) [Р (S) ф , (S) + |
Запишем выражение для первой вариации этого функцио нала
/оо
' бе==Т І { W s ) / W ( - s ) + ( c - s 2) P ( s ) P ( - s ) ] X
. —/00
а