книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

Подставив с“ (gt) в (2.20), получим

и dj (gt) имеют вид (2.18), (2.23) и (2.19), явно не зависящий от полиномов a t (s) и ß (s). Следовательно, согласно (2.17), (2.16) и (2.13), и векторы и_, /е_ и w не зависят от полиномов a i (s) и ß (s).

Пример. Пусть движение объекта описывается следую­ щей системой линейных дифференциальных уравнений:

х= х -\-Зу — и — фр

у= 2у — и — ф2,

где фі и ф2 — стационарные случайные процессы с нуле­ вым математическим ожиданием и матрицей спектральных плотностей

ким образом, чтобы при устойчивой замкнутой системе

Согласно (2.1), (2.6), (2.7) и (2.10),

60

Подставив в (2.18), (2.23) и (2.19) соответствующие вели­ чины, получим

/ Ы = ° (/, t = \ , 2 ),

и(s) совпадают со значениями передаточных функций

61

оптимального регулятора, полученных при решении приме­ ра, приведенного в работе [13].

Рассмотренный пример хорошо иллюстрирует инвари­ антность решения относительно постоянной матрицы — мно­ жителя справа к матрице Г, которая была доказана в § 3 гл. 1 .

Действительно, матрицу Г можно представить в виде

причем решение задачи не должно зависеть от х1 и т2 (эле­ ментов постоянной матрицы-множителя), что и видно из окончательных формул для wx (s) и w2 (s).

§ 2. С В Я З Ь З А Д А Ч И С И Н ТЕ З А О П ТИ М А Л Ь Н О Й

С И С ТЕМ Ы С ТА Б И Л И З А Ц И И С З А Д А Ч Е Й А Н А ­ Л И ТИ Ч Е С К О Г О К О Н С ТР У И Р О В А Н И Я Р Е Г У Л Я ­ ТО Р О В

В § 3 гл. 1 показано, что передаточные функции оптималь­ ной системы стабилизации не зависят от интенсивности воз­ мущений, действующих по различным координатам, если эти возмущения являются многомерными стационарными случайными процессами с постоянной спектральной плот­ ностью.

Этот результат можно было предугадать, руководству­ ясь следующими соображениями. В [18] показано, что вид оптимального регулятора инвариантен относительно на­ чальных условий. В [14] отмечается, что задача аналити­ ческого конструирования регуляторов может быть решена методами теории оптимальной фильтрации Винера — Кол­ могорова, если начальные условия заменить возмущениями типа 6 -функций. Таким образом, если объект, для которого синтезируется оптимальный регулятор, находится под воз­ действием «-мерного 6 -коррелированного процесса, то мож­ но было ожидать, что вид оптимального регулятора не будет зависеть от интенсивности каждой из компонент внешнего воздействия, что и было показано в § 3 гл. 1 .

Ниже будет показана более сильная связь этих задач, а именно, что решение задачи аналитического конструирова­ ния регуляторов совпадает с решением, приведенным в

62

§1 гл. 2 , когда объект находится под воздействием «-мер­

ного б-коррелированного стационарного случайнного про­ цесса.

Сформулируем в принятых выше обозначениях задачу об аналитическом конструировании регуляторов [18].

Пусть возмущенное движение объекта описывается систе­ мой дифференциальных уравнений

устойчивую систему и гарантирует существование миниму­ ма интеграла [18]

е = J ^ 2 ТіА- + с “ 2 + dt>

где все rk n с — положительные весовые константы.

В [18] показано, что уравнение регулятора в этом слу­

чае имеет вид

П

для того чтобы показать тождественность решения задачи аналитического конструирования регуляторов и задачи, сформулированной в § 1 гл. 2 при S,/ (ш) = const, достаточно показать, что уравнения регуляторов имеют одинаковую структуру, а характеристические определители замкнутых систем совпадают.

63

Вектор передаточных функций регулятора для объекта, возмущенное движение которого описывается системой дифреренциальных уравнений (2.1) (матрица Р имеет вид (2.26),

на полином g* (s), так как дробные части слагаемых в этой формуле равны по величине и противоположны по знаку

а порядок полинома g* (s), определяемого из разложения

64

Таким образом, для доказательства тождественности оп­ тимальных регуляторов осталось показать равенство ха­ рактеристических определителей замкнутых систем.

Квадрат модуля характеристического определителя замкнутой системы объект + регулятор, возмущенное дви­ жение которой описывается системой уравнений (2.24) и (2.27), согласно (1.105) и (2.10), можно записать так:

В задаче аналитического конструирования регуляторов характеристический определитель A (s) замкнутой системы

где 0 — нулевая матрица размера п X п, о — нулевой вектор-столбец, R = diag [гг, г2, ..., гп}. Воспользовав­ шись формулами вычисления определителя блочной матри­ цы (1.75), получим

= Ар (s) det

- 2 R P - ]m 2 (с — s2)

или

A* (s) A (s) = (— l)n Ap (s) Ap (s) [/п 'Я ^ Я Я -1/« + 2 (c — s2)].

Согласно (2.10), это произведение можно записать в виде

Л* (s) A (s) = 2 (— 1)п [n^Rti + (с —s2) A* (s) Ар (s)],

1 Определитель этой матрицы с точностью до постоянного множи­ теля совпадает с определителем вспомогательной блочной матрицы, ис­ пользованной в § 3 гл. 1 (см., например, (1.102)).

что совпадает с (2.28) с точностью до отличного от нуля постоянного множителя. Таким образом, доказана тождест­ венность оптимальных регуляторов двух рассмотренных задач при S {/ (со) = const.

Тесная связь между задачей аналитического конструи­ рования регуляторов и задачами стабилизации объектов при случайных возмущениях существует и в том случае,

точные функции оптимальной системы стабилизации не изменятся, если формирующую возмущения матрицу Г умно­ жить справа на постоянную невырожденную матрицу. Повидимому, этот факт связан с тем, что задачу синтеза опти­ мальной системы стабилизации при Sq (со) Ф const можно свести к задаче синтеза большей размерности, если возму­ щающие воздействия рассматривать как решения дополни­ тельной группы дифференциальных уравнений, в правых частях которых стоят возмущения типа «белого шума»,

Докажем это, т. е. покажем, что решение задачи § 1 гл. 2 (2.13) совпадает с решением следующей 2/і-мерной задачи. Пусть возмущенное движение объекта описывается

66

g* (5)

T. e. представить управление и в виде суммы «управлений по отклонению» (wxx) и «управлений по возмущению» (wyy).

Положив в первых п уравнениях системы (2.29) = = |2 = ••■ = = 0, можно из этих уравнений выразить у через X и и и, таким образом, исключить из закона управле­ ния (2.30) «управления по возмущению»:

у = W ('Рх ~ ти^ и = [у ® + Wy1n]~ '[у ® w* + WyP]'

Подставив значения wx и wy из (2.31) в последнее урав­ нение, получим

т. е. передаточная функция w совпадает с передаточной функ­ цией оптимального регулятора при решении «-мерной зада­ чи (2.13).

Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть воз­ мущенное движение объекта описывается системой линей­

где §lf |2, £3 и |4 — некоррелированные стационарные слу­ чайные процессы типа «белый шум» с единичной спектраль­

= w2j {p)/w0 (p) таким образом, чтобы при устойчивой замкнутой системе объект -f- регулятор минимизировалась

63

а характеристический определитель замкнутой системы оп­ ределится, согласно (2.28), формулой

А (s) * 8 (®) =

= ( / Ь + s) (1 + S) (2 + S) (1 + 7V0 (1 + T2s). (2.34)

Если исходную систему переписать в виде

т. е. с точностью до обозначений совпадает с системой, опи­ сывающей возмущеннее движение объекта в примере, рас­ смотренном в § 1 гл. 2.

и подставив в него значение вектора z из первого уравнения (2.35), получим и = wx0, где

Нетрудно убедиться, что передаточные функции регу­ лятора, определяемые формулами (2.37) и (2.33), совпадают с передаточными функциями регулятора, полученными при решении примера § 1 гл. 2.

Соотношение (2.36) вскрывает структуру оптимального регулятора: при S,-; (со) =£ const управляющее воздействие является суммой «управлений по отклонению» (wXtx0) и «управлений по возмущению» (wzz), и поэтому для данного класса задач только частично применим весьма эффективный метод определения параметров оптимального регулятора,

69