Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

W целесообразно воспользоваться формулой (5.23)

w =		[[Ко +	К + ) М - Щ } - ' [(Ко + К +)Р +						На].	(5.39)
Здесь аналитическая вместе с обратной в правой полу
плоскости функция Н определяется факторизацией
Я (S) Н і		- s ) =	■		[ГМ ( S)		М (	s) - f - cP ( s ) P (		- s)l,
			q ()q (	}						(5.40)
и для рассматриваемого примера Я							(s) Я	(— s) =	г -f- с (а2—
— s2),	т. е.
	Я	(s) = У с ф +		s),	b =	Y	а2 +	- f >	0 .	(5.41)
/Со (s)	и	/<+ (s)	определяются			разложением
							гМ (—s)		а (s) Я (s) .
/Со (s)	+	К-и (s) +	К - (s)	=	- p j ^	q ( — s ) H (—s)			а (s) Я (s) .
										(5.42)

Здесь /Со (s) — целая функция, функции К + (s) и /С_ (s) — аналитические в правой и левой полуплоскостях, соответ-

/со /со

ственно, причем интегралы j \|К + (s) \| 2 rfs и j		\|/<_ (s) \| 2 ds
— /оо	— /со
конечны.
Это является естественным	обобщением	разложения

дробно-рациональной функции на сумму полинома и пра вильных дробей, имеющих полюсы в правой и левой полу плоскостях S.

В отличие от операции разложения дробно-рациональ ной функции, которая может быть выполнена с помощью простых алгебраических действий, для вычисления компо нент разложения (5.42) необходимо использовать некото рые результаты теории интеграла Фурье.

Оригинал функции, стоящей в правой части (5.42), мо жет быть представлен в виде суммы двух функций времени, одна из которых равна нулю при t < 0 , вторая — при t > > 0, причем Фурье-преобразование первой компоненты равно Ко (s) + К + (s) = /С© (s), а второй — К—(s). Та ким образом, для вычисления /С® (s) необходимо найти ори

	гинал во временной области функции	гМ(— s)
	гинал во временной области функции	q(—s)H(—s)
		q(—s)H(—s)

— а (s) Я (s) , представить эту функцию в виде суммы двух

14а

функций, одна из которых равна нулю при I < 0			, вторая —
при t >• 0, и вычислить Фурье-преобразование			первой из
этих функций.
Подставим все необходимые величины в (5.42):
K B ( S ) + K - ( S )	d —{—s	— У ce~ax ф	s) (5.43)
	d —{—s	V с (b — s)

При определении величин /С® (s) и /<_ (s) необходимо от дельно рассмотреть два случая.

1. а < 0. Компоненты разложения (5.43) находятся без особого труда:

К@ (s) = — У~се~ах,

	1	-------------- + У с ф — а) е~ах .
	/(-(* ) = a -j- s	-------------- + У с ф — а) е~ах .
	/(-(* ) = a -j- s	ус (Ь— s)

2. а > 0. Представим К © (s) в виде суммы двух слагае мых

^© (s) —

(s) + ^ 2 © (s),

где Kj© (s) соответствует разложению первого слагаемого

в(5.43), а Кг© (s) — второго. Оригинал первого слагаемого

К (/) =	- L -	Г	—= — — ---------- ds =
1 W	2щ	J	У с (Ь — s)(a + s)

2 л /	т /7 J	(Ö — s) (a + s)
	—/<»

Этот интеграл вычисляется с помощью интегрирования по контуру, охватывающему левую полуплоскость, при усло вии t — г ;> 0. Значение интеграла на полуокружности, охватывающей левую полуплоскость, при t — т >- 0 равно нулю, следовательно, К і (t) равно сумме вычетов в полю сах подынтегральной функции, лежащих в левой полупло скости. Так как в левой полуплоскости находится един ственный полюс в точке s = —а, то

Кі (t) =	—7 =----------	при	t — т > 0 .
Значение /Сі■ (/)	Ѵс(а + Ь)	Н	вычисляется	аналогич
	при t — т <с О		вычисляется	аналогич
	при t — т <с О		^
но (контур интегрирования выбирается в правой				полупло

141

скости). Но для вычисления Ki® (s) значение K1 (t) при t — т < ; 0 не потребуется.

Применив Фурье-преобразование к функции

о	при	t <	О,
П ( 0 =	при	t >	О,
Л і ( 0	при	t >	О,
получим
Кіф (s) = j e~siK1 (t) dt =
	/ с	(а +	b) (а + s)

Поскольку второе слагаемое в (5.43) является дробно рациональной функцией, то

			' „ „ - о т	b +	5
	K2®(s) = — Ѵсе~™			а +	s ’
наконец, ■
(s) = а + s	—-Tj= -------------У~с (b -)- s)					-- —	ce~ax.
(s) = а + s	/ с	а + 6	г	к I	/
Таким образом, при любом а К® (s) выражается фор
мулой
	K@(s) = — V 7 e - a\
искомая функция W — формулой					—1
W =	еах	(Ь — а)	а +	s	—1	(а - Ь),
			а +	s
а связь между	управлением		и (t)	и координатой			объекта
X (t) для оптимального регулятора имеет вид
	X
еахи (t) -j- (b — A) j		e~a(Q~ x)u (t — Ѳ) cLQ=				(а — b) х (t).
	о

В синтезированной замкнутой системе объект + регу лятор изменение координат во времени происходит по за конам

X (/) = х 0 {е~аі [1 (/)—	1 (/ — т)] + е~ахе~ь		1 (/ — т)},	(5.44)
и (0 =	х0 (а — b) е~ахе~ы 1 (/),			(5.45)
где	[О	при і < 0 ,
	[О	при і < 0 ,
1	№ = (і	при t > 0 .

142

II. Рассмотрим задачу о сближении двух объектов, дви жение которых описывается следующими дифференциаль ными уравнениями:

(О

аху (t) =

тих (i),

xt (0 ) =

}

(5.46)

• ^ 2 (?) “Ь &х2 (t) =

и2 (і

т),

х2(0

) = х2й.

Здесь

хг

(/) — координата

первого

объекта,

х2

(і) —

второго, и-у (і) и «а (/) — управляющие воздействия,

а, т,

т — константы, причем а >

, т >

0 , х1 0

— х2 0 ф 0

, иг (t) —

= и2 (t)

при

t < ;

0 .

На

управляющие воздействия

накладываются

следую

щие ограничения:

о о

J и\ (i) dt = к®,

«2 (/) Л

к®.

(5.47)

Требуется найти закон управления

\Uy(t),

И2 (0 ]' =

№ [Хх (0 ,

* 2

(0 ]'.

соответствующий

стационарной

точке

функционала

0 0

/ 0 =

j [*1 (0 — -«2 (0J2 d i.

(5.48)

Как и ранее, эта задача сводится к исследованию ста

ционарных точек следующего функционала:

со

/ =

{ [ * 1

(0 — * 2 (0]а +

К и\(0 +

(0} dt.

(5.49)

Возможны четыре варианта:

1) Ку > 0 ,

К2 >

т. е. оба

управления минимизируют

функционал

/ 0;

0 — Uy (t) минимизирует функционал / 0,

2 ) Ку >• ОД 2 <

а и2 ( 0

— максимизирует /„, т. е. убегающий объект управ

ляется

запаздыванием,

догоняющий — без

запазды

вания;

3) Ку < ; О, К2 >

0 — ситуация,

противоположная вто

рому варианту, а именно, догоняющий объект управляется с запаздыванием, а преследуемый — без запаздывания;

4) К у ■ < О, /Ѵ„ с 0 — оба управления максимизируют функционал /„.

Ниже будет получено общее решение этой задачи (при произвольных Ку и К2), из которого приведенные выше ва рианты будут следовать как частные случаи.

Пусть X (t) = xt (t) — хг (t), и (t) = [ut (t), иг (t)]'. Тогда преобразование Лапласа системы (5.46) и функционал (5.49) примут вид

Р (s) x(s) — М (s) и (s) + х0,

		joo
I =	- ~ г -	j	[x' (— s) X(s) +	и! (— s) Au (s)] ds,	(5.50)
где P (s) =	s +	a,	M — [m, e—^],	x0 = x1 0 — x2 0 ф О,	Л =
= diag ( V	Я2}.
Для нахождения матрицы				воспользуемся формулой

(5.23). Входящие в это выражение матрицы А и В выбираем

в виде А — [0, 0]', В =		Д2, т. е. матрица Z запишется так:
\	s +	а	- т		g-ST-

			1		0
			0		1
а N = Ap (s) Р-'М = М,			Q =	Ap (s)B + A N = (s + а) Е 2.

Аналитическую вместе с обратной в правой полуплоскости матрицу Н определим из разложения

H J H :	Q7 [ Л ^ +	М *0 AAp (s)]Q1— 1
і Гm2 +	Xj (а2 — s2)	me-5’
~ а3 — s3	mesx	1 + ^2 (а2 — s3)

где T — симметрическая постоянная матрица. Запишем матрицу V в следующем виде:

„	ГМ 9* — ^
~	ягеэт	1	+ ?і2 (а2 — s2) ’
det V = ЛД, (а2		-	s2) (ц2 — s2),
Г * * - У	О -

Отметим, что факторизация возможна, если

т2

Яі + 4 - + а2 > 0 .

•S3

°-

(5.51)

Хотя подлежащая факторизации матрица не является дробно-рациональной, для определения матриц Д и Г можно использовать идеи алгоритма Дэвиса. Применение алгорит ма Дэвиса оказывается возможным благодаря тому, что

.144

определитель матрицы V является полиномом конечной степени. Напомним, что факторизация полиномиальной матрицы сводится к последовательному исключению нулей определителя исходной матрицы путем домножения справа на аналитические в правой полуплоскости матрицы Тс, а слева — на 7 > (см. (1.120), (1.121)). Факторизацию матри цы V можно осуществить аналогичным способом. Однако, в отличие от факторизации полиномиальных матриц, фак торизация этой матрицы состоит из двух этапов. На первом этапе в исходной матрице исключаются члены, содержащие

множители e5Z и e~ST, а второй этап соответствует обычной процедуре факторизации полиномиальной матрицы.

Остановимся более подробно на процедуре исключе

ния членов, содержащих множители еэт и é~sz. Аналитщ ческую в правой полуплоскости вместе с обратной матрицу

выбираем в виде

					m	b — cs — e sx		. '
		Тг =				1		~	,
						1		0	J
,	eqx +	e qx				eqx — e~~qx	,	T. e.	выбраны так,
	7	;-------.			c		,	T. e.	выбраны так,
где b = -------		;-------.		’	c	2q
	2			’		2q
что	b — cs — e~ ”		— целая функция.
что	Л2 -- ‘		— целая функция.
Таким образом, после выполнения первого этапа полу-
•чим полиномиальную матрицу
Уг =		1				+			m ф + cs)
Уг =	ТыѴ Т ,=				— m(b — cs)				(q2— s2) .
					— m(b — cs)				(q2— s2) .

факторизацию которойг выполним обычным способом. Окончательно получим

Кka

Т =

		1	(xftp (s - f Q) — (ka —
H =		1
H =	М «+в)\|		tn
		1	—kp(s + a) — \ka — "
где	ka	1 ± 1
		m

■ b — cs — e q2 —s3

b — cs —- é ~ sx\

— s3 /

145

Для нахождения матрицы W осталось определить /<® =

Ко +

К +. Согласно (5.24), имеем

/С© + К - =

, - і

(aa _

—s) я

s2)

■ m \k» ( a ~ s )

(Ä,

£ -

и-г м — Pst

•b^

)} + gST

!><

- m

jp ^ (ö — s) - f (£a — - j- ■

sesx

Применяя изложенный в предыдущем примере метод

определения /Сф,

получаем

mk^ +

c '

’ a

К е

= - Т

~ 1 (a +

p) {a +

mp&n — etc

mk^ (a + s)

L-iJ

Теперь, согласно

(5.23),

W =

(Ke M - H ) - l Ke P-

-1

a + s; — e - sx — p ^ (s + a) +

I ,

b — cs — e ST\

\ka

- - ^

----- 3

—

_i_

а +

tf2----

—

— e

sx +

&n (s +

a) +

- 1

m b — cs—s_sx\

\K — ~y

q- - ^

-1

mvJ* +

- s +

+ !ß _

- 1

0; m ^ + i b i W | ! z ^ L + i z i e- ,

q2 — sa

<72 —sa

Таким образом, в изображениях Лапласа уравнения

регулятора имеют вид

mul (s) + [e-sx — tnk\i (s +

И-)] uz (s) =

(a + s) x (s),

i mk^ -f

b(a — s) + c (q" — as)

s — a

«a (s) = — x (s).

ф — sa

ф — s9-

(5.52)

140

Изменение во времени координат замкнутой системы, движение которой описывается уравнениями (5.46) и (5.52). имеет вид

л'і (0

■*10

Х2<

p—a(t—т)

nfikn

-M(i—X)]l(^-T) +

mk„

—

[l—q

дѴ—х)

4_Г~Д еЧ(і—х)

[ 1 ( 0 -

! ( * - * ) ]

Р + ?

%К)е~ а11 (0>

*2 (0

•V1°_X2°

[е-Ж'-ю — e-u«-t)]

1 (f _

x) - f x20e~atl (/),

(p, — a)

. e4V—x)__

H+ <7

e—q{i—X) [1 (0 — l (t — T)]-

X2e ~

^ 1 (/- T) ,

\L— q

Щ(0 =

yl0--A'M „—ut

mkß

T. e. JC(0

Xj (/) — x2 (/) =

^10^

20- |A2 (a +

p) e~ ^ -x )

Kl(i-T) + i

~ a g?(/-T) I.

? +

f l . g - g ( / - T )

(.1+9 e

n—q

■X [1 (0 — 1 (^ — T)l|-

Нетрудно убедиться,

что при т- >-0, й-э-0,

т =

— 1,

Ях >

А2 <

0 полученное решение совпадает с

решением

примера

предыдущего параграфа.

При т ->- 0, А2 >

0 полученное решение совпадает с ре

шением предыдущего примера.

Наличие запаздывания в управлении

приводит к тому,

что кривая

kfx (т,

Aj, Я2) =

разделяет

область

парамет

ров Ах, А2 на две

области,

одной

из

которых

рассмат

риваемая

изопериметрическая

игровая

задача

совпадает

с минимаксной задачей

открытой

области, т. е. задачей

нахождения min max J [х2(t) +

A1u? (t) +

Я2«1 (£)] dt, а вдру

гъ

и,

причем решение второй

гой — эти задачи

не

совпадают,

из них не

имеет

игрового

смысла.

ЛИТЕРАТУРА

1.	А б г а р я н	К.	А. ,	Р а п о п о р т		И . М .	Динамика ракет. «Ма
	шиностроение»,		М .,	1969.
2.	Б е л л м а н	Р. , Д р е й ф у с			С.	Прикладные задачи динамиче
	ского программирования. «Наука», М ., 1965.
3.	Б е р щ а н с к и й			Я- М. , Я н у ш е в с к и й Р. Т.				О решении
	векторного уравнения Винера — Хопфа ва Ц В М .— В							кн: Управле
	ние. Доклады	II	Всесоюзного совещания по				статистическим мето
	дам теории управления. Ташкент,				1970.

4.Б р о к с м е й е р Ч . Ф. Системы инерциальной навигации. «Су достроение», М ., 1967.

5.Г а н т м а х е р Ф. Р . Теория матриц. «Наука», М ., 1967.

6.В о л г и н Л . Н . Элементы теории цифровых управляющих ма шин. «Советское радио», М ., 1962.

7.	К а т к о в н и к	В . Я -,	П о л у э к т о в	Р. А . О	задаче синтеза
	оптимальных многомерных систем автоматического				управления.—
	Автоматика и телемеханика, 1965, 1.
8.	К а т к о в н и к	В. Я .,	П о л у э к т о в	Р. А .	Многомерные

дискретные системы управления. «Мир», М ., 1966.

9.К а т к о в н и к В. Я- Оптимизация многомерной замкнутой си стемы в случае объекта с прямоугольной передаточной матрицей.— Автоматика и телемеханика, 1968, 4.

10.К о л м о г о р о в А . Н . Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей.— Изв. А Н СССР. Сер. матем.,1941, 5, 1.

11.К р а с о в с к и й Н . Н . Проблема стабилизации управляемых движений. — В кн.: М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движе ния. «Наука», М ., 1966.

12.Л а р и н В . Б . Об одной задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов.— Автоматика и телемеханика, 1966, 7.

13.Л а р и н В. Б ., С у н ц е в В . Н . Об оптимальной стабилизации нескольких координат объекта при случайных возмущениях. — Ав томатика и телемеханика, 1968, 2.

14.Л а р и н В . Б ., С у н ц е в В . Н . О задаче аналитического кон

	струирования регуляторов. —Автоматика и телемеханика, 1968, 12.
15.	Л а р и н	В. Б. ,	Н а у м е н к о	К- И. ,	С у п ц е в	В. Н . Оп
	тимальная стабилизация нескольких координат объекта одним
	управляющим воздействием. —Д А Н СССР , 1971, 198, 2.
16.	Л а р и н	В . Б .,	Н а у м е н к о	К- И. ,	С у п ц е в	В. Н . Спект
	ральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. «Науко-
	ва думка»,	К-, 1971.

148

17. Л а р и н	В. Б ., Н а у м е	и к о	К . И ., С у н ц е в В . Н .	Син
тез оптимальных линейных		систем	стабилизации. — Д А Н	СССР,
1972,204,	2.

18.Л е т о в А. М . Аналитическое конструирование регуляторов, L — Автоматика и телемеханика, 1960, 4.

19.Л е т о в А . М. Динамика полета и управление. «Наука», М .,

1969.

20. Л и т о в ч е н к о И . А . К изопериметрической задаче аналити ческого конструирования оптимального регулятора.— Автоматика

и телемеханика, 1961, 22.

21.Л у р ь е А . И. Минимальный квадратичный критерий качества регулируемой системы.— Изв. А Н СССР. Сер. технической кибер нетики, 1963, 4.

22.	Л э н и н г	Д ж .	X .,	Б э т т и н Р. Г.	Случайные	процессы в
	задачах автоматического управления. И Л , М ., 1958.
23.	М а к - К л у р К. Л .			Теория инерциальной навигации.			«Наука»,
	М ., 1964.
24.	Н ь ю т о н	Дж.	К. ,	Г у л д Л. А. , К а й з е р Дж .		Ф.	Теория
	линейных следящих систем. Физматгиз, М .,				1961.

25.П о л у э к т о в Р. А . Ограничения, вызванные объектом в зада чах синтеза многомерных замкнутых систем.— Автоматика и теле механика, 1966, 3.

26.П о л у э к т о в Р. А . Задача синтеза многомерных замкнутых си стем при случайных входных сигналах.— Автоматика и телемеха ника, 1966, 4.

27.П р я х и н Н . С. К вопросу об аналитическом конструировании

	регуляторов.— Автоматика и телемеханика, 1963, 9.
28.	Ф а д е е в Д . К .,	Ф а д е е в а	В. Н . Вычислительные методы
	линейной алгебры.	Физматгиз,	М .,	1960.
29.	Ц я н ь С ю э - С э н ь . Техническая			кибернетика. И Л , М ., 1956.

30.Ч а и г Щ. Л . С . Синтез оптимальных систем автоматического управления. «Машиностроение», М ., 1964.

31.	Я к у б о в и ч		В. А.	О синтезе оптимальных управлений в ли
	нейной дифференциальной игре с квадратичным функционалом
	платежа.— Д А Н		СССР , 1970, 195, 2.
32.	D а V і s	М. С.	Factoring the Spectral		Matrix.— IE E E Trans, 1963,
	AC-8, 4.
33.	H o Y . C.	B r y s o n		A. E. , B a r o n	S .—	Differential Games and
	Optimal Pursuit— Evasion Strategies.— IE E E					Trans, 1965, AC-10, 4.

34.W i e n e г N . Estrapolation, Interpolation and Smoothing of Sta tionary Time Series. Technology Press, Cambridge, 1949.

35. Y о u 1 a D. S. On the Facterisation of Rational Matrices.— IR E Trans, 1961, IT —7, 3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20236.2 Mб12Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие].pdf
#
24.10.202310.75 Mб9Лапицкий Е.Г. Расчет диапазонных радиопередатчиков.pdf
#
25.10.202313.14 Mб28Лапшин В.В. Основы переработки термопластов литьем под давлением.pdf
#
27.10.202332.52 Mб2Лапшин П.С. Испытание пластов в процессе бурения.pdf
#
25.10.202312.74 Mб18Лариков Е.А. Узлы и детали механизмов приборов. Основы теории и расчета.pdf
#
23.10.20236.26 Mб4Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
#
29.10.20231.12 Mб4Ларин Ю.В. Автоматизация технологических комплексов поверхности шахт.pdf
#
23.10.20236.96 Mб5Ларионов К.А. Два мира - две валютные системы.pdf
#
22.10.202315.12 Mб6Ларионова, З. М. Петрография цементов и бетонов.pdf
#
19.10.20236.77 Mб13Лачинов, Н. В. Клепка и чеканка стальных конструкций учеб. пособие.pdf
#
21.10.20239.79 Mб19Лашко, Н. Ф. Вопросы теории и технологии пайки.pdf