книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью
.pdfТогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5s + 0,1 |
— 0,5s — 1,3 |
|||
/<оГ~’М = — У 2 |
0,5s -j- 2,9 |
|||||
|
|
0,5s + 1 ,7 |
||||
К0Г~'Р = - Ѵ 2 |
s2 |
+ 0,9s — 1,3 |
1,5s2 |
+ |
1,8s -h 6,9 |
|
— 0,7s + 2,9 |
0,5sa + |
3,6s — 7,7 |
||||
|
||||||
K 0T - lP + |
|
- 1 , 2 |
3,6 |
■ |
||
|
H = — V 2 |
— 10,8 |
||||
|
|
3,6 |
||||
и матрица W (1.126a) передаточных функций оптимального регулятора запишется в виде
‘0,5s + |
0,1 |
■— 0,5s— 1,3’—1 |
' - 1 , 2 |
3,6 ’ |
0,5s + |
1,7 |
0,5s -f- 2,9 |
. 3,6 |
— 1 0 , 8 |
Уравнения оптимального регулятора имеют вид
O.ÖUJL + 0, IWJL— 0,5н2 —•1,3и2 = — 1,2 (л: — 3у),
0 , 5 1,7и1 -j- 0,5и2 Ч- 2,9«з = 3,6 (х — Зі/).
Этот пример можно рассматривать как пример задачи стабилизации неустойчивого объекта (det Р имеет один нуль в правой полуплоскости) минимальными затратами «мощ ности управления», поскольку минимизируемый функцио нал в какой-то степени соответствует затрачиваемой на стабилизацию энергии.
III. Рассмотрим еще один пример, для решения котор придется воспользоваться общими формулами. Пусть дви жение объекта описывается системой дифференциальных уравнений
Х 1 + * 1 — Х 2 = « 1 + Фи
х2+ 5х2 — Зх3 = Ц[ — и2-}- ф2,
=2 их - f и%+ ф3,
где фх, ф2, ф3 — стационарные случайные процессы с нуле вым математическим ожиданием и постоянной матрицей спектральных плотностей 5ф.
Необходимо найти закон управления, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы и минимум функционала
е = <«!) + («al so
В обозначениях, принятых в § 3, имеем |
|
||||||||
|
' 5 + 1 |
— 1 |
0 ' |
|
|
|
'l |
0 ’ |
|
p = |
0 |
|
s 4 - 5 |
3 , M — 1 |
- 1 |
||||
|
4 |
|
0 |
s |
|
|
|
_ 2 |
1 _ |
Требование аналитичности в правой полуплоскости ма |
|||||||||
трицы Z вместе с |
обратной можно удовлетворить, положив |
||||||||
|
А = |
0 |
1 |
0 ’ |
В = |
0 |
0 ' |
|
|
|
1 |
0 |
OJ’ |
_ 0 |
o j’ |
||||
так как при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ S - И |
— 1 |
0 |
- |
1 |
|
0 |
||
|
|
О |
s 4 - 5 |
3 |
— 1 |
|
1 |
||
det Z = det |
|
4 |
0 |
|
s |
— 2 |
— 1 |
||
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
Соотношения (1.110) в этом случае (R = |
0, С = |
Е2) примут |
|||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Др (s) = |
det Р = s3 + |
6 s2 |
- f 5s — 12 = |
(s — 1 ) (s + |
3) (s + |
4), |
|||||
|
|
|
s2 -j- 6 s — 6 |
|
— s — 3 |
|
|||||
N = |
Ap (s)P -{M = |
s2 |
— 5s |
6 |
— s2 — 4s — 3 |
|
|||||
|
|
_2s2 |
8 s — 14 s2 + 6 s + 9 |
|
|||||||
|
Q = Л/Ѵ = |
's2 — 5s + 6 |
|
— s2 — 4s — 3" |
|
||||||
|
s2 -f- 6 s — 6 |
|
|
— s — 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
G . G = |
A P ( S ) A ; ( S ) £ 2 , |
|
|
|
|
|||||
= Q ; G,;GQ- ' = |
|
|
|
|
s — 3 |
— s2 + |
6 s |
6 |
|||
(9 -s*) s2 |
— 4s 4- 3 s2 |
|
5s 4- 6 |
■X |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
— s — 3 |
|
s2 4 - 4 s - j- 3 ' |
|
|
|
|||||
|
È< _— s2 — 6 s -j- 6 |
|
s2 — 5s 4~ 6 . |
|
|
|
|||||
Выполнив факторизацию матрицы Q7IG*GQ_ I, получим |
|||||||||||
|
[17s2 4 - 134s-f |
114 |
— 17s2+ |
6 ls 4 - 6 6 |
|
||||||
H = 17(S 4-3) [ |
— 9s 4 |
- 3 |
|
|
|
17s2 + |
6 2 s -f 93 |
|
|||
4* |
51 |
|
Поскольку элементы матрицы |
константы, то полагая |
||||||
Г |
= Е з, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ К - = ~ Ң А р |
= |
І7 ( s — 1) (s + 3) * |
||||
|
|
ri7s2 — 95s — 114 |
— J7sa — 15s |
5ls + 45 |
|
|||
|
* |
i7S2_28s — 3 |
|
— 8 |
s |
24 |
’ |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 + |
1 |
|
17s — 30 |
— 17s — 24 |
27' |
||
|
/(+ = 17 ( s + 3) |
— 17s — 33 |
— 6 |
− 6 |
||||
И, |
окончательно, согласно |
(1.109), |
|
|
|
|||
|
№ |
= [(K0+ K+)МГ'[(Ko+ |
K+)P + HA] |
|
||||
|
|
1 |
−1 2 — |
2 |
6' |
|
|
|
|
|
17 |
48 |
|
8 |
— 24 |
' |
|
Г Л А В А 2 ЗАДАЧА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ОД НОМ УПРАВЛЕНИИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ЗАДАЧЕЙ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОН СТРУИРОВАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ
В настоящей главе будет рассмотрен еще один частный случай полученного в § 3 гл. 2 решения задачи стаби лизации при идеальном измерении координат объекта, а именно будет рассмотрена задача стабилизации нескольких координат одним управляющим воздействием. Целесооб разность подробного исследования этого частного случая связана с тем, что довольно часто возникает необходимость управления сложным объектом одним управляющим орга ном х.
При решении этой задачи существенно упрощается про цедура факторизации матриц, входящих в общее решение (1.80). Так, матрица Н^Н (1.78) оказывается дробно-рацио нальной функцией, факторизация которой не требует кон кретного выбора матриц А и В, т. е. необходимо факторизо вать лишь матрицу 5,),. Благодаря этому удается получить удобное для дальнейших аналитических исследований вы ражение передаточных функций оптимального регулятора, что даст возможность проследить связь этой задачи с хоро шо изученной к настоящему времени задачей об аналити ческом конструировании регуляторов.
§ 1. |
С И Н ТЕ З С И С ТЕМ С ТА Б И Л И З А Ц И И П Р И О Д |
|
НО М У П Р А В Л Я Ю Щ Е М В О З Д Е Й С ТВ И И |
Сформулируем еще раз задачу, рассмотренную в § 3 гл. 1, для случая т — 1. Пусть движение объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с
1 Например, задача стабилизации ракеты (стабилизация несколь" ких координат — колебания жидкости в топливных баках, упругие колебания корпуса и пр.— одним управляющим воздействием [ 1J), задача стабилизации полета самолета на заданной высоте [19] и др.
5;
постоянными |
коэффициентами |
|
|
|
Рх = |
ти (t) + ф, |
(2 .1 ) |
где X — [л'х (0 |
, .... хп (0 1 |
' — /г-мерный вектор |
координат |
объекта, и (і) — координата регулятора (управляющее воз действие), ф = [ф1 (/), ..., фп (/) ]' — /г-мерный вектор внеш них возмущений, компоненты которого ф£ (/) — стационар ные случайные процессы с нулевым математическим ожи
данием и дробно-рациональной |
матрицей спектральных |
|||||||||
плотностей |
(ш), Р и т — матрица |
п X |
п и вектор-стол |
|||||||
бец (матрица п X |
1), |
соответственно, |
элементы которых |
|||||||
Ріі (р) и іщі (р) — операторные |
полиномы |
от рі^р |
= ~ j, |
|||||||
Требуется |
найти |
уравнение регулятора |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
w0 (р) и (t) = WX |
|
|
|
(2.2) |
||
так, чтобы |
замкнутая |
система |
объект + |
регулятор |
была |
|||||
устойчива и функционал |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
П |
|
|
|
<МгУ |
|
||
|
|
е = |
2 |
гі |
+ с |
+ |
(2.3) |
|||
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
|
достигал |
минимума. |
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь скаляр ш0 |
(р) и элементы вектора-строки ш — опе |
|||||||||
раторные полиномы от р, (*?>, |
(гг2) |
и |
(гг2) — дисперсии |
|||||||
величии |
Хі |
(t), u(t) |
и du (J)/dt, |
rt и с — неотрицательные |
||||||
весовые |
константы. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя преобразование Лапласа к уравнениям (2.1), |
||||||||||
(2 .2 ), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р (s) X(s) = пг (s) и (s) - f |
ф (s), |
|
||||||
|
|
|
|
u(s) — w (s) X(s), |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
<2 -4) |
Таким образом, задача сводится к определению вектора w такого, чтобы замкнутая система объект + регулятор была устойчива (все нули характеристического определителя, соответствующего системе уравнений (2 .1 ), (2 .2 ), должны иметь отрицательные действительные части) и функцио нал (2.3) достигал минимума.
54
Согласно (1.85), решение задачи определяется формулой
w = |
An (s) (с — s2) |
+ /е_Г |
'т |
|
|
|
Л* (s) q* (s) |
|
|
|
|
& |
k S ~ lP — __________ / 1 /? |
(2.5) |
|||
где |
|
/і* (s) (j* (s) |
|
|
|
Ap (s) = |
det P, |
|
(2.6) |
||
|
|
||||
|
n = |
Ap (s) P ~ lm, |
|
(2.7) |
|
|
q (s) = |
Ap (s) ß (s) + an, |
(2.8) |
||
|
ft* (s) h (s) = |
g* (s) g (s) |
’ |
(2.9) |
|
|
|
|
q*{s)q{s) |
|
|
g* (s) g (s) = n*Pn + |
(C — s2) Ap (s) Ap (s), |
(2. 10) |
|||
k - = |
1 |
ГГ, = |
Stj,,■ h (s)a \ p -'r |
((2..12)) |
|
|
|
|
|
|
2 11 |
|
Л* (s) |
(s) ■ fi*R |
|
|
|
Здесь элементы вектора-строки а и скаляр ß (s) — поли номы от s, на выбор которых накладывается единственное
ГР — т
[a ß(s)
на быть аналитической в правой полуплоскости, т. е. по лином det Z = Ар (s) ß (s) + ап не должен иметь нулей в правой полуплоскости и, следовательно, q (s) — гурвицев полином.
Поскольку полином g (s) имеет нули только в левой полу плоскости, то дробно-рациональная функция h (s), имеющая все нули и полюсы в левой полуплоскости, определится, согласно (2.9), соотношением
ft (s) == - Ä
w<7(s)
иформулы (2.5), (2.12) можно записать так:
w = |
Ар (s) (с — s2) |
isi |
|
|
g* (s) |
X |
/г1_Г~'Р - |
g * (S) |
* |
(2.13) |
|
|
|
|
|
ft_ = |
■ |
Ä |
a l P _1r |
(2.14) |
|
g*(s) |
|
|
|
65
В§ 3 гл. 1 было доказано, что решение'задачи (матри ца W передаточных функций регулятора и минимальное значение функционала ет |П) не зависит от произвола в вы боре матриц А к В. Однако в общем случае не получены формулы для W и етіп, явно не зависящие от А и В.
Взадаче стабилизации объекта одним управляющим воз действием удается выразить решение только через исход ные данные, т. е. получить формулу для W, явно не содер жащую полиномы а с (s) и ß (s). Покажем это.
Если ввести обозначение
I |
n»R- |
a\P~ |
(2.15) |
|
g* (S) |
||||
* |
q (s) |
|
||
т о |
|
|
|
|
k_ |
= [Ц_Г]_. |
(2.16) |
||
Для того чтобы исследовать выражение, стоящее в квадрат
ных скобках формулы (2.15), проделаем сначала |
некоторые |
|||||
вспомогательные |
выкладки. |
|
|
|
||
Пользуясь формулой обращения матриц [28] |
|
|||||
|
(А + В С Г 1=* А ~1— А ~1В (Е + |
СА-'В)-' СА~ 1 |
||||
(если Е -f- СА~1В — невырожденная |
матрица), |
выражение |
||||
-yj-j- а |
можно преобразовать так: |
|
|
|
||
|
|
а = |
[Ар (s) ß (s) - f an] - 1 |
а = |
|
|
= |
~Ap (5 )ß(s) |
{ i |
« [A^ (s) ß (s) En Г |
паГ' n) а = |
||
|
= x c i w |
“[Ap(s) ß(s) En+ n a ] |
~ l x |
|
X [Ap(s) ß (s) E„ + na — na] = a [Др (s) ß (s) En -f- na)~\ |
||||
где En — единичная матрица. |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
1 |
n*R |
g(s) а P = |
|
|
. §* (s) |
|
||
|
|
q(s) |
|
|
g*(s) |
— g* (s) g (s )a [Ap (s) ß (s) En + |
na] } P = |
||
|
|
|
|
|
g*(s) {n*R [Ap (s) ß (s) -f na] — [n^Rn +
60
|
+ |
(С — s2) а; |
(S) Ар (s)] а} [Ар (s) ß (s) + |
na] |
1 P 1 = |
|
|||||||||
|
= |
-gjrj^- I»*Äß (s) — (c — s2) AJ (s) а] [ß (s) P + та] \ |
|
||||||||||||
T. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö_ = |
|
—5 |
|
|
Т P + |
|
/яа |
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
* |
- 5 7 Г |
/ |
— |
|
|
|||||
|
|
|
|
L g* (s) |
|
\ |
r |
ß (S) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
(c — s2) Ap (s) |
|
|
1 |
ОСІР + |
|
|
т а |
|
|
|||
|
|
|
g* (s) |
|
‘ |
ß (s) |
ß(s) |
|
|
|
|||||
|
Поскольку матрицы |
|
|
|
|
т а |
- 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
\—^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4- |
1 |
|
|
|
элементами Ѳп и Ѳ2 1 |
матрицы 7Г |
1 |
||||||||
|
maj |
являются |
, |
||||||||||||
аналитической в правой полуплоскости (см. (1.67)), то полю
сами |
вектора |
являются только нули полинома g* (s). |
|
Пусть полином g* (s) имеет N простых нулей1 g t (Re g { > О, |
|||
t = |
1, 2, |
..., N), |
причем g* (s) и Ap (s) имеют M общих ну |
лей (М < |
N) и, |
кроме того, нули полинома Ар (s), общие |
|
с нулями g* (s), простые.
Тогда элементы вектора і>_, согласно (2.15), можно
записать в виде |
м |
|
|
N |
|
|
|
Ь) (gi) + ci(g>) |
|
dj (gt) |
(2.17) |
||
»/-(«) = £ |
s — gl |
+ |
£ |
|
||
|
/ = 1 |
|
|
/=лі-н s—gt |
|
|
|
|
(/ — I» 2 , . . . , |
/z), |
|
|
|
где дроби с числителями bj {gt) и |
dj (gt) |
обусловлены пер |
||||
вым слагаемым в (2.15), а дроби с |
числителем с / (gt) — |
|||||
вторым. |
|
|
|
|
|
|
Определение составляющих вектора |
при разложении |
|||||
первого слагаемого выражения (2.15) на сумму целой части и правильных дробей не составляет трудности, поэтому непо средственно получаем формулы для b, (gt) ( / = 1 , 2 ....... М)
и для dj (gt) (t = М. + 1....... N):
П
bi (St) = -J— J Ига - ~ p 2 rknl (S) ( - 1)/+A mjk(s), (2.18)
1>,+V'*(A )' (2л9>
1 Наличие у полинома g* (s) кратных нулей исключается из рас смотрения только с целью упрощения дальнейших выкладок.
57
где trijk (s) — дополнительный минор элемента p/и (s) мат рицы Р, g* (s) — производная по s от полинома g* (s).
Полюсами составляющих вектора г>_ при разложении второго слагаемого выражения (2.15) на сумму целой части
иправильных дробей будут общие нули полиномов g* (s)
иДр (s). Следовательно,
|
с/ (ft) |
= — Hm |
(s — gt)g(s) |
s |
(s) ( - |
l)w |
/«/,-(s), |
||||||
|
■ |
q (s) Дp(s) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i—1 |
|
|
|
|
|
|
или, |
если |
учесть, что |
lim |
|
|
1 |
|
(^ = |
1 , |
2, . . . |
|||
Д р |
(s) |
Др (£/) |
|||||||||||
..., М), то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c/(ft) = |
- |
/ |
7 ^ c ? (ft), |
|
|
|
( 2.20) |
||||
|
|
|
|
|
|
Др to) |
|
|
|
|
|
||
где Др (s) — производная по s от полинома Др (s), |
|
||||||||||||
|
с) (ft) = lim |
—дх- V а,- (s) (— 1 ),+/ niji (s). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
|
Умножив числитель |
и |
знаменатель |
с° (gt) |
на |
гік (gt) |
||||||||
(k-й |
элемент вектора |
|
п, |
причем пь (gt) ф |
0 |
), получим |
|||||||
1
с? (ft) = lim q (s) nk(s) s-*g,
S а t (s) (— 1 )'+/ rtift (s) nk (s). (2 .2 1 ) i=i
Миноры матрицы P, входящие в выражение (2.21),
можно |
переписать в виде |
|
|
|
(п + |
1 , |
А |
|
т» ® = т {п + |
і, |
/)И ' |
где |
ij (s) — минор матрицы замкнутой системы |
||
(уравнения (2 . 1 ) и (2 .2 )), получившийся в результате вы
черкивания п -f- 1 -й и /-й строк и п + |
1 -го и і-го столбцов. |
||
Аналогично |
|
|
|
|
nk (s) = ( - 1 r ^ + ’ r n |
^ 1)^ ), |
|
где т m |
I (s) — минор матрицы |
замкнутой |
системы, |
получившийся в результате вычеркивания п + |
1 -й строки |
||
и k-то столбца. |
|
|
|
58
Выражение (2.21) с учетом введенных обозначений для tnj( (s) и nk (s) примет вид
С' (* ') = И т ' g (s)»fe(s) |
' 2 ( - D ! « , (S) Sä |
*et |
1 = 1 |
In + 1, |
A |
hi + |
1\ |
и т и + і . |
i |
(s)m k |
(2.22) |
]<s)- |
Используя соотношение между минорами, приведенное в приложении к работе [16], нетрудно показать, что
m C + |
‘) (s)mC |
£ |
1,})(s)+ |
|
|
|
|||||
|
/и + |
1 \ |
|
/я + |
1 , |
А |
|
|
|
||
= |
|
|
j ( |
* |
> |
" ■ |
( |
„ + |
при |
, < к ’ |
|
|
(п + |
1\ |
|
(п + |
1, |
А |
|
|
|
||
— m[ |
Т |
. 1(s)m( |
I |
|
(,) + |
|
|
||||
|
и + |
1 / v |
' |
\ |
k, |
|
j |
|
|
|
|
|
n -f- \\ |
|
(n + |
1 , |
A |
|
|
|
|||
-f- in |
/ |
<s)mL+ i, |
J (s) |
при i > k - |
|||||||
|
|
||||||||||
Подставив |
полученные выражения в (2.22), |
получим |
|||||||||
с](8 і) = lim |
|
1 |
|
г/ |
1 \fe~h/ |
|
|
Аp (s) Cjk (s)], |
|||
7 (s) л* (s) |
|
[(— l ) i+l nijk iß) an + |
|||||||||
где |
|
|
|
|
k—I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*(»> = |
< - !> “ |
‘+ Ж |
|
S |
(— l/ ai is) |
^ 1’ (s) + |
|||||
|
+ |
£ |
( - 1 )г+Ч -ф ™ |
и Ң- А / |
|
|
|||||
|
k, |
i, (S) |
|
||||||||
или |
i= fc+ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
' |
.-«Д |
|
nAs) |
|
■ |
A- (s) |
|
Sä |
||
|
|
q (s) /tft (s) |
|
||||||||
( - l)fe+/ mjk (gt) X [c/(s) + ( - l ) fc+/+,ß(s)/n/ft(s)][ = «fc (g/)
так как, согласно (2 .8 ), сш = q (s) — Ap (s) ß (s).
59