книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

Действительно, функции Fx (s) и Fu(s) удовлетворяют, согласно (1.1) и (1.5), следующему уравнению связи:

Если к уравнению (1.32) добавить соотношение

где а (s) и ß (s) — некоторые полиномы от s, то система уравнений (1.32), (1.33) позволит выразить передаточные функции Fx (s) и F,, (s), а следовательно, и минимизируемый функционал (1.6) через одну функцию Ф (s):

Так как при минимизации функционала (1.35) допуска­ ются только такие вариации бFx (s), бF„ (s) и 6Ф (s), которые имеют полюсы только в левой полуплоскости, то, как видно из (1.32) — (1.34), матрица Z должна быть аналитической вместе с обратной в правой полуплоскости s.

Поскольку сc(s), ß(s), Р (s) и М (s )— полиномы, то матрица Z будет аналитической вместе с обратной в правой полуплоскости, если

det Z = ß (s) Р (s) + a (s) М (s) —

гурвицев полином, что совпадает с ограничением, наклады­ ваемым на полиномы ос (s) и ß (s) в «универсальном» методе решения § 1 (два первых метода § 1 соответствуют a (s) = 1, ß (s) = 0 и a (s) = 0, ß (s) = 1).

Теперь можно объяснить, почему определитель замкну­ той системы в рассмотренных ранее вариантах решения со­

1 Индекс «*» означает операцию транспонирования и замену s на —s.

20

совпадают с нулями М (s), Р (s) или Q (s) соответственно. Если при этом учесть, что полюсы Fx (s) и Fu(s) совпадают с нулями определителя замкнутой системы, то становится ясным появление в нем упомянутых множителей.

В свете изложенных сообщений, общая схема решения задачи сводится к следующему. Поскольку деѳ функции Fx (s) и Fu (s) не свободно варьируемы (должны удовлетво­ рять уравнению связи (1.32)), введем в качестве варьируе­ мой функцию Ф (s) в виде (1.33). Разрешив матричное урав­ нение (систему уравнений (1.32), (1.33)) относительно Fх (s) и Fu (s) (соотношение (1.34)) и подставив полученные зна­ чения Fx (s) и Fu (s) в (1.6), получим выражение для мини­ мизируемого функционала качества в виде (1.35), которое с точностью до обозначений совпадает с (1.12).

Определив Ф (s) из условия равенства нулю первой ва­ риации функционала (формула (1.13)) и подставив ее в (1.19) и (1.12), получим выражение для искомой передаточной

21

Покажем независимость решения задачи от произвола в выборе матрицы преобразования Z (полиномов а (s) и

ß(s))-

Пусть варьируемая функция Ф (s) выбрана в виде Ф (s) = а (s) Fx (s) + ß (s) Fu (s),

T. e. передаточные функции Fx (s) и Z7, (s) связаны с варьи­ руемой функцией матричным уравнением

Здесь а (s) и ß (s) не совпадают с а (s) и ß (s), но удовле­ творяют требованию аналитичности в правой полуплоскости

матрицы Z вместе с обратной:

(Q (s) — гурвицев полином).

Для доказательства независимости решения от выбора

22

причем нули и полюсы П2 (s) и полюсы П1 (s) расположены

в левой полуплоскости, а полиномы а (s) и ß (s), учитывая (1.42), определятся уравнениями

где [ 1_ — сумма всех правильных дробей с полюсами в правой полуплоскости, получающаяся в результате разло­ жения функции, стоящей в квадратных скобках, нацелую часть и правильные дроби

R(s) Гг (в)

G (— s) Q (s) Г о (s)

что и требовалось доказать.

Приведем примеры оптимальной стабилизации неустой­ чивых объектов минимальными энергетическими затратами.

23

функционал

е= с2(и2) + (и2).

Впринятых обозначениях:

и задача заключается в отыскании передаточной функции регулятора в цепи обратной связи

не имел нулей в правой полуплоскости s, выбираем ß (s) =

и передаточная функция оптимального регулятора, согласно

T . e. оптимальный закон управления соответствует уравне­ нию

(с — Ь) {и + и) = (с + 1) [х + Ф + 2) X + 2Ьх]. (1.49)

Характеристический определитель замкнутой системы (уравнения (1.45) и (1.49)) имеет вид

Р (s) — М (s)

Д(s) =

W(s) - W 0{s)

24

= (b + l ) ( l + s ) ( 2 + s)(c + s).

Заметим, что среди нулей характеристического опреде­ лителя оптимальной замкнутой системы находятся «левый» нуль (s = —2) и зеркальное отражение (s = — 1) относи­ тельно мнимой оси «правого» нуля (s = 1) полинома Р (s) (нули полинома Р (s) соответствуют полюсам передаточной функции объекта).

25

Характеристический определитель замкнутой системы объект + регулятор имеет вид

P{s) — М

А (s) = (C + s - 2 fll) P ( S) - ( c + s) ( - l ) " P ( - s) —М (s -)- с — 2^)

= (— I)" -' (с + S)/> ( _ * ),

т. е. один нуль характеристического определителя опти­ мальной замкнутой системы (s = —с) обусловлен критерием качества, а остальные являются зеркальным отражением относительно мнимой оси «правых» нулей полинома Р (s) («правых» полюсов передаточной функции объекта).

III. Пусть Р (s) = s — а, остальные исходные данн совпадают с предыдущим примером. Подставив это значе­ ние Р (s) в (1.50), получим

Ранее на модели простейшей задачи были подробно иссле­ дованы особенности использования спектральных методов при определении дифференциального уравнения оптималь­ ного регулятора, включенного в цепь обратной связи. Не­ смотря на то, что конечные результаты § 2 всего лишь по- ѵ вторяют результаты § 1, идея ограничения вариаций матри-

цы р- предложенная в §2, сводящаяся к требованию ана-

г и I

литичности в правой полуплоскости матрицы Z (формула

26

(1.36)) вместе с обратной, оказывается весьма перспективной при решении значительно более сложных задач.

Ниже с помощью метода, базирующегося на идеях § 2, будет решена задача синтеза системы стабилизации при п внешних возмущениях и т управляющих воздействиях.

Пусть движение объекта описывается системой обыкно­ венных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­ фициентами

вектор внешних возмущений, компоненты которого ф* (()— стационарные случайные процессы с нулевым математи­ ческим ожиданием и дробно-рациональной матрицей спект­

так, чтобы замкнутая система объект -f- регулятор была устойчива (все нули характеристического определителя, соответствующего системе уравнений (1.51), (1.52), не долж­ ны иметь положительных вещественных частей) и функцио­ нал

достигал минимума.

Здесь W0 и W — матрицы т X т и т X п соответст­

венно, элементы которых ю°,- (р) и ш,-/ (р) — операторные полиномы от р, ( ) — знак математического ожидания, R и С — весовые матрицы.1

1 Здесь и далее, если не оговорено противное, приняты следующие обозначения: прописные буквы обозначают матрицы, строчныебуквы — вектор-столбцы и вектор-строки, штрих сверху — операция транспони­ рования.

Векторы перемножаются по правилам матричного исчисления (век­ тор-строка рассматривается как матрица 1 X а, вектор-столбец — как матрица п X 1).

27

Используя преобразование Лапласа к уравнениям (1.51), (1.52), получаем

Введем матрицы передаточных функций Fx (s) и Fu (s) между координатами системы х (s) и и (s) и внешним воз­ мущением ф (s):

которые, согласно (1.54) и (1.55), определятся формулами 1

Fx =*{P — M W r\ Fu = W (Р — MW)~l. (1.58)

Поскольку замкнутая система должна быть устой­ чивой и, следовательно, элементы матриц Fx и Fu не долж­ ны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, используя преобразование Фурье (полагая s = /со), функционал (1.53) можно записать в следующем виде:

/оо

Таким образом, задача сводится к определению матрицы W такой, чтобы замкнутая система объект регулятор была устойчива, а функционал (1.59) достигал минимума.

Как и при решении одномерной задачи, вариации б W при минимизации функционала (1.59) следует ограничить

(Еп — единичная матрица), имели бы полюсы в левой полу­ плоскости.12

1 В дальнейшем для простоты аргумент s опускается.

2 Это уравнение получается после подстановки (1.57) в (1.54).

28