книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

Круг задач, для решения которых может быть использован изложенный в гл. 1 метод синтеза линейных систем с об­ ратной связью, не исчерпывается задачами, исследованными выше. В настоящей главе будут рассмотрены еще два вида задач. Во-первых, будет указан алгоритм решения задач стабилизации, когда имеется несколько различных каналов измерения одних и тех же координат объекта. Во-вторых, будет приведена задача оптимального воспроизведения по­ лезного сигнала в присутствии помех системой с обратной связью, т. е. задача синтеза оптимальной следящей системы.

Изложенные выше постановка и решение задачи оптималь­ ной стабилизации предполагали, что при формировании за­ кона управления каждой координате объекта соответствует лишь один измерительный канал. Однако современные на­ вигационные комплексы и системы управления, как пра­ вило, могут использовать и дополнительные каналы изме­ рения для повышения точности определения координат движущегося объекта и улучшения «качества управления». Задачи оптимального определения координат объекта при наличии «избыточных» каналов измерения (так называе­ мые задачи ^омплексировяиия. или задачи с «избыточной» информацией) рассматривались многими авторами (см., на­ пример, [4, 23, 30]). Ниже будет показано, что и при «из­ быточной» информации задача оптимальной стабилизации может быть решена методом, использованным в гл. 1—3.

100

В простейшей постановке задача формулируется следую­ щим образом. Пусть движение объекта описывается урав­ нением

где X— координата объекта, и — управляющее воздей­ ствие, ф — внешнее возмущение, Р и М операторные по­

датчиками, причем первый измеряет координату л: с адди­ тивной помехой фх, а второй — с аддитивной помехой ф2. Внешнее возмущение ф и помехи срх и ср2 предполагаются стационарными случайными процессами с нулевым матема­ тическим ожиданием и матрицей спектральных плотностей

(операторные полиномы W0 (p), W i(p), W2 (р)) так, чтобы замкнутая система была устойчива и в установившемся ре­ жиме функционал

достигал минимума. Здесь г и с2 — неотрицательные весо­

вые константы, (х2), (и2) и (й2) — дисперсии х, и и

Используя преобразование Лапласа к уравнениям (4.1) и (4.3), получаем

101

(здесь и далее аргумент s опускается).

Так как замкнутая система должна быть устойчивой и, следовательно, передаточные функции F'l, Ft, Ft', Ft', FT, F t* не должны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, используя преобразование Фурье, функционал (4.4) можно записать следующим образом:

(4.7) следует ограничить так, чтобы соответствующие ва­

то из физической реализуемости функций Ft, Ft, FT и FT и их вариаций следует физическая реализуемость функций

F f и Ft' и их вариаций.

Как видно из (4.6), четыре передаточные функции Ft, Ft, FT и FT удовлетворяют двум уравнениям связи

P r t - M f i - i . 1

PFT — MFT = 0

102-

и, следовательно, они могут быть выражены через две не­ зависимо варьируемые функции. Выберем в качестве неза­ висимо варьируемых функций функции Ф: и Ф2, которые

связаны с F*, Fu, и Р„‘ линейными соотношениями:

Ф1 = а

(4.10)

Ф ^ а Л ’ + Р Л *

(<%[ и (г = 1, 2) — полиномы от s, подлежащие опреде­ лению).

Тогда, согласно (4.9) и (4.10):

Т«‘) будет следовать из физической реализуемости функции (Фа) только при аналитической в правой полуплоскости

матрице Z f1 (ZjT1). Полагая

103

Используя (4.15) и (4.8), представим функционал (4.7) в виде квадратичной формы функций Фх и Ф 2. Приравнивая нулю первую вариацию этого функционала, находим из решения соответствующего уравнения Винера — Хопфа вектор Ф =

Очевидно, эта задача тождественна по постановке задаче, рассмотренной выше. С другой стороны, в такой формули­ ровке ее можно решать методом, изложенным в § 2 гл. 3, только вместо х, 5^ и Р нужно подставить в соответствующие

104

Здесь полином g (s) имеет нули только в левой полу­

плоскости, а матрицы D и D ~x аналитические в правой полуплоскости.

Элементы вектора-строки а и скаляр ß (s) — полиномы от s, удовлетворяющие требованию аналитичности в правой

Элементы векторов /г0 и 10 — целые части (полиномы от s),

Перед тем, как дать обобщение решения задачи на слу­ чай т управляющих воздействий, проиллюстрируем изло­ женное выше числовым примером. Пусть движение объекта описывается уравнением

— х -j-ax = Ми -J- ір, Sy (со) = Яф, а > 0. (4.17)

Имеется два канала измерения координаты объекта х, причем первый канал измеряет эту координату с аддитив­ ной помехой фх, а второй — с аддитивной помехой ф2. Для

1 Заметим, что в рассматриваемом случае управление и — скаляр, следовательно, для определения W можно воспользоваться формулами, явно не зависящими от а и ß (s).

106

(эту задачу можно трактовать как задачу стабилизации не­ устойчивого объекта минимальными затратами мощности управления).

Применив преобразование Лапласа к уравнениям (4.17) и (4.18), получим

10Ѳ

И, наконец, подставим необходимые величины в формулу для W (4.16):

108

Интересно проследить асимптотическое поведение формул

Таким образом, как видно из (4.24) и (4.25), если по одному из каналов координата объекта измеряется точно, то только информация этого канала используется при фор­ мировании закона управления. Естественно, что передаточ­ ная функция оптимального регулятора и минимальное зна­ чение функционала совпадают с соответствующими им ве­ личинами при решении задачи с идеальным измерением координаты объекта (см. пример III, § 2, гл. 1).

II. При ^ - > 0 , т. е. 5 ф1->-оо,

измерения стремится к бесконечности, оптимальный регу­ лятор использует для формирования закона обратной связи только второй канал измерения, и значения W и emin в этом случае зависят лишь от 5 Фг и совпадают с соответствующими им величинами при одноканальном измерении координаты объекта (см. пример I, § 2, гл. 3).

Перейдем теперь к рассмотрению задачи оптимальной стабилизации с «избыточной» информацией в общем слу­ чае. Здесь, как и в простейшем варианте задачи, введение фиктивных координат позволяет использовать схему реше­ ния, приведенную в гл. 3.

Пусть движение объекта описывается матричным диф­ ференциальным уравнением

109