Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

основанный на сравнении двух различных форм запи си характеристического определителя замкнутой системы 121, 27].

Действительно, для рассмотренного выше примера ха рактеристический определитель замкнутой системы запи шется в виде

1 — s		3	— 1	0	— 1
	0	2 — s	0	— 1	— 1
A (s) =	0	0	Txs -[- 1	0	0
	0	0	0	^2S + 1	0
	U>x	Wy	wZi	wZi	~ w 0
== [— (1 +	s) w c + ( l - -s)W y — (1 — s) (2 - -s)w 0
		X (7V? + 1) (T2s -f- 1),
откуда видно, что A (s) =			/ (w2i,	wZ]).

Сравнивая эту формулу записи характеристического оп

ределителя с (2.34), можно определить только значения wx,

wy и w0 (s), т. е. метод определения коэффициентов опти мального регулятора, предложенный в [21,27 ], дает возмож ность найти лишь коэффициенты «управления по отклоне нию».

Таким образом, приведенное в начале настоящего пара графа доказательство тождественности оптимальных ре гуляторов в задачах аналитического конструирования регуляторов и синтеза системы стабилизации при б-корре- лированных возмущениях справедливо только для «невы рожденных» 1 задач, в которых коэффициенты оптимально го регулятора полностью определяются характеристическим уравнением замкнутой системы (тождественность этих уравнений для двух рассматриваемых задач показана в об щем случае).

Для доказательства тождественности регуляторов в слу чае «вырожденных» задач необходимо показать лишь равен ство коэффициентов «управлений по возмущению». Ниже это будет проделано для систем при одном возмущении.

Пусть возмущенное движение объекта описывается си-

1 Под «вырожденными» задачами подразумеваются задачи, в кото рых хотя бы одно из алгебраических дополнений элементов нижней стро ки характеристического определителя замкнутой системы тождественно равно нулю.

•70

стемой дифференциальных уравнений (2.1), т. е.

				Рхо = ти +			ф,		(2.38)
где						Ьщ-і
	р +	h i		Ьі2		Ьщ-і		h ,n
Р =	b%i		Р + ^22			Ь-2,п—1		bo.n	(2.39)
Р =	Ьп- ip		Ьп—1,2		••Р +		Ьп—і,п— I	Ьп—\,п	(2.39)
	Ьп- ip		Ьп—1,2		••Р +		Ьп—і,п— I	Ьп—\,п
_		0		0			0	p — H-1_
		XQ—		х%> * « * I		хп—1 » г]
		X =	[хѵ х2, . . . .			Xn-iY, г =		z(t),
		т =		[тѵ	т2,	. . . ,	т „ _ ь °Г.
ф = ГЕ-	(элементы			матрицы		Г	равны	const),	элементы
вектора	£ =	[£х,	\|а, ....		£„]' — стационарные				случайные

процессы типа «белый шум» с единичной спектральной плот ностью, рх < 0.

Необходимо найти закон регулирования w0 (s) и = wxQ, или и = wx0, который в совокупности с исходными уравне

ниями (2.38) образует устойчивую систему и обеспечивает П—1

минимум функционала е =		2		Гі (ХЬ + с (“2) +			(“2}-
Уравнение	регулятора,	г=і				(2.26), имеет вид
		согласно
	и ~	T + h			Р*0’		(2.40)
где
Р =	[р. р1. Р* =		[рі>		Ра.	•••» Р-г-іІ,	(2.41)

т. е., как и в рассмотренном выше примере, управляющее воздействие является суммой «управлений по отклонению» и «управления по возмущению».

Воспользуемся методикой определения коэффициентов оптимального регулятора, предложенной в [21, 271. Харак

теристическое уравнение	замкнутой	системы		(уравнения
(2.38) и (2.40)) можно записать в виде А (s) =			(s +	h) Др (s) —
— рп. С другой стороны,	согласно	(1.105),	учитывая, что
у (s) = const, получаем A (s) = g (s).
Таким образом,		g (s).
(s + /г) Ар (s) — рп =		g (s).		(2.42)

Сравнивая в (2.42) коэффициенты при одинаковых сте пенях s, получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов оптимального регулятора.

Рассмотрим несколько подробней структуру вектора п. Исходную матрицу Р (2.39) можно переписать в следую щем виде:

			р =		\р х	b	1
			р =		\р х	S - 1 4
где					[ o '	S - 1 4
где
	s - f		bn		Öj2		K n -l
	Рх =	^21			^ “Ь ^22	*	b%n—\
	Рх =
		Ьп—1.1			£>п—1,2	. •• S-f-		1,п—1 _
Ь	^2,лі	•>		Ьп--и ]'.			Фробениуса обращения
	Воспользовавшись			формулой			Фробениуса обращения
блочных матриц [5 ], получим
	Р ~ 1							(2.44)
	Тогда, согласно (2.10), п-й элемент вектора я будет ра
вен нулю, т. е.
	п =	К	(s),		пг (s),		Пп - 1 (s),	0]',
или
								(2.45)
где	пх = [«! (s),		л2 (s), ....			пп — 1	(s)]'.
	Так как я-й элемент вектора я равен нулю, то коэффи

циент р2 не входит в левую часть (2.42) и, таким образом, рассматриваемая методика позволяет определить только к, рх, р2, .... р„_і (при условии, что все nt (s) =/= 0 (i — 1, 2 ,...

.... / г - 1 ) ) .

Еще раз отметим, что коэффициенты регулятора к, р!........ р„_і совпадают с коэффициентами регулятора при решении соответствующей задачи аналитического конструи рования регуляторов. Следовательно, для того чтобы дока зать тождественность решений рассматриваемых задач, необходимо показать, что коэффициент рг равен козффициен-

ту р„ в задаче аналитического конструирования регуля торов.

Определим в каждой из задач рг и р„ как функцию элементов вектора рх = [р^ р2, p„_iJ.

Согласно (2.26) и (2.27),

	Р = ѵ -Р —								(2.46)
где вектор у_ определяется из разложения (2.18)
®о + »+ + » - в			(S)	n*R	g(s)		а	l-i	(2.47)
			(S)			q{s)
Если вектор у_ представить в виде
		= [Уд_,		ѵг (s)],					(2.48)
то из (2.46), учитывая (2.41), (2.43) и (2.45), получаем
Рх = ѵ х-Р х—				« Л			J		(2.4Э)
р2 =		+	(s — рх) у2_		(s),		j
где Rx = diag {rlf	r2........r ^ } .
Подставляя значение матрицы Р ~] (2.44) в								(2.47) и при
нимая во внимание (2.48),			имеем
yz_(s) = — Ѵх-Ь-			1	= -------------vx_b -4-
yz_(s) = — Ѵх-Ь-				= -------------vx_b -4-
		S— Pi				S —	P i	*	1
						S —	II.	*	1
		1	•lim vxJb.
		s~ P i s-m,
Следовательно,		p2 = lim vx-b,
		p2 = lim vx-b,
			г-ПН
или, согласно (2.49),
Р г =	lim	Px	g*	(s) n X:f. R X		P 7 {b.			(2.50)
			g*	(s) n X:f. R X

Коэффициент pn в задаче аналитического конструиро вания регуляторов будем определять, пользуясь уравне нием регулятора

и -(- hu =	п—I	(2.51)
	PkXk + Рл2>
предполагая, как и ранее, что величины /г и р* (/г =		1, 2, ...
..., п — 1) известны.

Если коэффициенты оптимального регулятора (2.51) оп ределять методом, предложенным в [18], то общее решение вариационной задачи Лагранжа в данном случае (матри ца Р определяется из (2.39)) имеет вид

хк = ( -	П-и				7) е ^ С ,		(к = 1, 2, . . . , П - 1),
хк = ( -	1)* 2	А	(	р	7) е ^ С ,		(к = 1, 2, . . . , П - 1),
	/=1
			2 — (— 1)" А„,„ (рх) e ^ C lt
					n-f-1
		U =			/“ 1	Д „ ,2 п + 1	( Р / ) & I Cj,
					/“ 1
					я-Н
		и =		—	2 Ц	у А П і 2П _)_і ( р / )		eUj/Cf,
					/= I
где р, (j	= 1,	2,	...,		п -f-	1) — корни		характеристического

определителя A (s) системы уравнений вариационной за

дачи, для которых выполняется неравенство Re ру < О (A (s) определяется формулой (2.52)), Д„і( (s) — минор определи теля (2.52), получившийся в результате вычеркивания п-и строки и г-го столбца, С) (/ = 1, 2, ..., п + 1) — произ вольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Характеристический определитель имеет вид

s + Ьи	*12	*І,л-1		\ л	0
*21	S + *22	*2,л-1		*2,л	0
* л - 1,1	*л-1,2	s +	*л-1,іі-1	*1 1 - 1 .л	0
* л - 1,1	*л-1,2	s +	*л-1,іі-1	*1 1 - 1 .л
0	0		0	S— Рі	0
2гі	0		0	0	S — *11
0	2лі		0	0	^12
0	0	2г,,-\		0	- * 1 .л - І
0	0	• -5	о	0	— *1.п
0	0		о	0	'»1

...

- > nl

...

—

• • .

- ' « Я - І

• • •

&2X

...

— 6 n - l,l

(2.52)

— ^22

• ' •

~ bn—1,2

&2. Л - 1

. . .

s—

fen—

l,n— 1

6 2|„

^n—\,n

s +

P l

• ■ •

mn- 1

(c —

s2)

Предположим,

что

начальные

условия

таковы, что

Cj (/ =

2, 3, ..., п +

равны нулю.

Тогда движение си

стемы будет происходить по закону:

xk =

( -

1)* K ,k (Pi) е^*Сг

(k =

1, 2,

. . . .

п ~

1),

г =

(— 1)" Ап,п (Рх)

ы = — Ап,2л+ і (Рх) е^'Сѵ

w =

— р . х А п . г п + і ( Р х ) e ^ ' C v

Подставив полученные выражения в уравнение регу

лятора

(2.51),

получим

h) ДП|2л+І (Pi) =

— (Р-1 +

fl— 1

Pk ( -

D* Ая,* ( P X)

+ Pn ( -

Dn An,„ (px).

(2.53)

A=I

Так как, согласно (2.42),

П—1

Px +

/i =

lim

ff (s) +

(s)

s -t - д , A pP( S )

É=l

(учитываем тот факт, что п-я компонента вектора п равна

нулю),	то из	выражения	(2.53)	имеем
		(-1 )"
		P « = А л ,„(Рі) {— Ап,2п+1 (Рх) і*5
	1	я — 1
X lim	1	ff 0) + 2	р л («)	— 2 Pft (— 1)* A„,ft (Px)
X lim	А p(s)	ff 0) + 2	р л («)	— 2 Pft (— 1)* A„,ft (Px)
S-H‘l	А p(s)	А=1		/f=I

(2.54)

Миноры определителя А (s), которые входят в выраже ния (2.54), получим, пользуясь теоремой Лапласа вычис ления определителей. В каждом из миноров An>/ (s), запи санных в видеопределителя, выделим первые п — 1 строк. Тогда Ans (s) равен сумме произведений всех миноров п — 1-го порядка, стоящих в выделенных п — 1 строках, на их алгебраические дополнения, т. е.

К * (?) =

J j т(?'

П*

(s) ( -

1)' 2rI ( -

1)"+ ж

'п +

л - 1

'n, /2 +

х т *

(S) +

і=л-И

(S) ( -

Di+1 X

X 2/-, ( -

l)"+i+1 m

f I

*) (s) +

(s)

(2.55)

X 2 (c - s2) ( -

l)"m*(” +

j) (s)

. . . ,

n),

An, n+. ( s ) = 2 m

(n,

n +

n, ,

( .

n + 1 ) ( s ) ( ~

1Г

Н Х

X 2r{ ( - i)"W -1/nJ

/2+

1\(S)1

(22, П

1 \

/ ч

где m I ■

I (s) — минор определителя замкнутой систе

мы (уравнения (2.38) и (2.51)), получившийся в результате вычеркивания п-й и п -f- 1-й строк и і-го и k-то столбцов;

m І^П (s) — минор определителя замкнутой системы, по лучившийся в результате вычеркивания п -}- 1-й строки

и2 -го столбца.

Учитывая,		что m			jj	(s) = Ap (s),			и, согласно (2.7),
(— l)n+1+1m		"j" 1 j (s) =			iii	(s), формулы			(2.55) примут вид
An,k (s)				ft-i			'я,	л - f 1		(s) +
				2 г,П1 (s) (— 1)' m			/,		k
	П—1
						/л,	n +		1
+	=		2
		S		Г,.22* (S) ( - l)f+1			k		(S) +
2<=fc+l						V,

+ ( - 1)" (с — s2) л р (s)	n	+ l ) (S)	= 1, 2, . . . , я),
			(2.56)

Дп,2/1+1 (*) = 2 ( -

1)" 2

(S) ( -

1/ /Я

I) (S).

(2.57)

Если

умножить

разделить

правую

часть

равенства

(2.56)

на Др (s) =

Jj (s) и принять во внимание, что,

согласно

приложению в работе [16] и (2.10),

/Я -f- l^

(п, я -f- 1

я +

(п,

я +

т U+ 1

г,

я +

(п +

/я,

я +

т {

} т [к,

п +

і)

/ я + 1 \

( п ,п +

/ я + 1 \

(п, п + 1 \

)

(n - f

/я,

n +

m i

» + i j

гг— 1

Г{п* (s) я£ (s) +

g* (s) g (s),

(c — s2) Дp (s) Ap (s) =

1=1

то формула

(2.56) запишется так:

A/i,ft (s) —

2 ( - l ) n

/я,

Я +

M s)

П—1

( - i ) * + 4

2 /

( » ) ( - і ) '/" ( " ; ’! +

! ) ( “>

p -53'

Поскольку nn (s) =

1, 2, . . . ,

я).

то

из

(2.58)

имеем

Л,„ (s)=

2 ( -

1)" JÜ â§t> ш(";

“ +

I) (*).

(2.59)

Подставляя формулы (2.57), (2.58) и (2.59) в (2.54), полу-

чаем

ДP (S )

р_ =

Ііш ------

s-*^ 2g*(s) g (s) т

) (s)

\п, п + 1 /

«4-1

M S)

(s) +

S PA«A (S) 2 ( -

1)"

fc=i

ll-l

» /«,

/z -|- 1 \

,'n,

n +

ft=i

M s )

Ä * W f f ( * ) « l Af

n + 1J(*) +

(1 - 1

(—

l)fe

' nk (s) 2

гсПі (s) (—

1)' m ^

j J

(s)

( -

i),l+1

d-i

Wt (s)

In, n -]-

- lim

g*(s)

( - »

“

l i . e + l

(S)'

S-HI,

/">

,l +

что совпадает с (2.50) с точностью до обозначений, так как

(__ ])“+Ч-і			т	11, п +	1
/п,	п +
		1		і, и +	( Р 7 % ,
U .	п +	I	(S)		1


где (Р 71 Ь)і — і-я		компонента вектора Р 7 1Ь.

Таким образом, есть основания утверждать, что задачи синтеза оптимальных систем стабилизации объектов при стационарных случайных внешних возмущениях могут быть сведены к соответствующей задаче аналитического кон струирования регуляторов большей размерности, если по грешностями измерений фазовых координат объекта можно пренебречь.

Наконец, докажем для случая произвольного числа управляющих воздействий еще одно утверждение о связи задачи аналитического конструирования регуляторов при ненулевых начальных условиях с задачей оптимальной ста

билизации.
	Пусть для объекта, движение которого описывается ка
нонической системой дифференциальных уравнений								х =
— Ах -f- Ми -f- ф, закон					управления, обращающий в нуль
первую		вариацию функционала е = (x'Rx) +					(и'Си)	на
классе		устойчивых		замкнутых		систем, имеет вид и — Wx,
где	X =	[х1%хг,		хпУ,	и = [иѵ иг...........ит]', ф = [фі.
ф2,	. . . ,	фл]',	=-	[5,7 (со)],		Sij (со) = const,	А, М, R, С

и W — матрицы п X п, п X т, а X п, т X т к т X п

соответственно, элементы которых константы. Утверждается, что этот закон управления обеспечивает

обращение в нуль первой вариации функционала в соот ветствующей задаче аналитического конструирования регу ляторов при ненулевых начальных условиях, а именно, если движение объекта описывается системой дифферен

циальных уравнений			у =	Ау +	Мѵ, у (0) = у0, то		закон
управления
				и — Wy			(2.60)
обращает в нуль первую вариацию функционала
		I	j {y'Ry +		v'Cv) dt.
	Стационарное значение функционала е можно записать
в виде				/со
				/со
	« =	(x'Qx)	= — $		Sp	ds,
				—/оо
а функционал		/ при	законе управления			(2.60) — в	виде
		оо			/оо		(2.61)
	I =	Jy'Qydt =		- ± j -	j y0FX.,QFxy0ds,		(2.61)
		0		J	—joo
где	Q = R + W'CW,			Fx =	(sE — А — MW)~X.

Используя возможность циклических перестановок мат риц-сомножителей под знаком Sp, перепишем функционал

(2.61) так:
/оо	/оо

1 =	2л/	J	y'oFx*QFxy<>ds =	j	Sp (y0Fx*QFxy0) ds =
	2л/	—/со		y' oo
	со	—/со		y' oo
	со	Sp г	/	-J
	/J			-J
	/J			ds = -	j J Sp (F№QFXS) ds,
	— /оо				— /со
где элементы матрицы S =				y0yQ— константы.

Но так как матрица Ц7, получаемая в результате ре шения вариационной задачи (обращающая в нуль бе), не зависит от матрицы 5ф, когда элементы последней кон станты х, то и первая вариация б/ также обратится в нуль, что и требовалось доказать.1

1 См. § з гл. 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20236.2 Mб12Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие].pdf
#
24.10.202310.75 Mб9Лапицкий Е.Г. Расчет диапазонных радиопередатчиков.pdf
#
25.10.202313.14 Mб28Лапшин В.В. Основы переработки термопластов литьем под давлением.pdf
#
27.10.202332.52 Mб2Лапшин П.С. Испытание пластов в процессе бурения.pdf
#
25.10.202312.74 Mб18Лариков Е.А. Узлы и детали механизмов приборов. Основы теории и расчета.pdf
#
23.10.20236.26 Mб4Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
#
29.10.20231.12 Mб4Ларин Ю.В. Автоматизация технологических комплексов поверхности шахт.pdf
#
23.10.20236.96 Mб5Ларионов К.А. Два мира - две валютные системы.pdf
#
22.10.202315.12 Mб6Ларионова, З. М. Петрография цементов и бетонов.pdf
#
19.10.20236.77 Mб13Лачинов, Н. В. Клепка и чеканка стальных конструкций учеб. пособие.pdf
#
21.10.20239.79 Mб19Лашко, Н. Ф. Вопросы теории и технологии пайки.pdf