книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

где X и ф — «-мерные векторы координат объекта и внеш­ них возмущений, и — m-мерный вектор управляющих воз­ действий, Р и М — матрицы п X п и п X т, элементы

которых — операторные полиномы от р = ~d .

Требуется определить уравнение регулятора в цепи об­ ратной связи так, чтобы замкнутая система была устойчива и в установившемся режиме

функционал

е = (x'Rx) -f- (и'Си) (4.28)

достигал минимума.

Пусть кроме основного из­ мерительного канала, на вы­ ходе которого имеем вектор X - f ф, существуют q других каналов, измеряющих все компоненты вектора х или часть их с соответствующими аддитивными стационарными случайными помехами. Для

Структурная схема замкнутой системы имеет вид, изо­ браженный на рис. 1. Определению подлежат передаточные функции W и Wc (і = 1, 2, ..., <7 ), связывающие управле­ ние и и измеряемые величины:

ПО

(4.31) С учетом введенных «фиктивных» координат Ь {х уравне­ ния движения объекта (4.27) и функционал (4.28) перепи­

шутся в виде

Теперь для решения сформулированной задачи (уравне­ ния (4.32), (4.30), (4.33)) можно использовать конечные фор­ мулы гл. 3, только вместо х, ф, S,|,, cp, S (p, Р, М, R и W в них следует подставлять х0, ф0, 5 фо, ф0,S Vo, Р0, М0, R0 и W0, оп­ ределяемые соотношениями (4.31), (4.34).

Матрица искомых передаточных функций определяется

N = Ар (s) Р ~ХМ,

ш

вался для решения задач оптимальной стабилизации. В на­ стоящем параграфе этот метод будет применен к решению задач синтеза оптимальных линейных следящих систем, частным случаем которых являются задачи оптимальной стабилизации (программный сигнал равен нулю).

Под оптимальной следящей системой понимается, как и в [24], например, система с обратной связью, выходная координата (вектор координат) которой должна наиболее точно воспроизводить некоторое программное движение. Программный сигнал, поступающий на вход следящей си­ стемы, может быть искажен помехами, на заданную часть системы (объект) могут действовать внешние возмущения, и, наконец, используемые для формирования закона уп­ равления координаты объекта могут измеряться не точно.

В простейшей постановке задача формулируется следую­ щим образом. Пусть движение объекта описывается диффе­

ствие, гр — внешнее возмущение, Р и ЯГ — операторные по-

d

ЛИНОМЫ ОТ р = -гг.

112

с нулевым математическим ожиданием и матрицей спект

Первое слагаемое в функционале (4.37) (дисперсия (х— /•)) характеризует качество воспроизведения полезного сиг­ нала г выходной координатой х системы с обратной связью, а второе слагаемое ((ц2) — дисперсия и, с — const) огра­ ничивает «мощность управления», затрачиваемую на это воспроизведение.

Как уже отмечалось, задачи оптимальной стабилизации

оказывается эффективным и при отличных ,от нуля г и §.

и задачу об оптимальном воспроизведении полезного сигнала сформулируем следующим образом.

требуется определить закон управления в цепи обратной связи

так, чтобы на классе устойчивых замкнутых систем мини­ мизировался функционал

В уравнениях (4.39) — (4.41)

Сформулированная задача формально не отличается от задач оптимальной стабилизации, и ее решение, согласно (3.50), имеет вид

плоскости, а матрицы D и D~l аналитические в правой полуплоскости. Элементы вектора-строки а и скаляр ß (s) — полиномы от s, удовлетворяющие требованию аналитич­

ности в правой полуплоскости матрицы Z =

вместе с обратной, т. е. полином q (s) — det Z должен быть гурвицевьш. Элементы векторов k0 и 10 — целые части (по­ линомы от s), /г+ и /+ — правильные дроби с полюсами

114

полезных сигналов системами с обратной связью на число­ вых примерах.

Пусть движение объекта описывается дифференциаль­

так, чтобы замкнутая система объект + регулятор была устойчива и ее выходная координата х наиболее точно вос­ производила полезный сигнал г, т. е. величина

достигала минимума (ограничения науправление отсут­ ствуют, т. е. с — 0).

Введя координату

уравнения движения замкнутой системы (4.43), (4.44), (4.46) можно записать в виде (4.39) — (4.41), где

Требование аналитичности в правой полуплоскости матрицы

вместе с обратной удовлетворим, положив ß = 1, а =

=I— (s -}- а -j- 1), 0J. Тогда, согласно (4.42),

Структурная схема оптимальной замкнутой системы, как видно из уравнений (4.35), (4.36), (4.42), имеет вид, изображенный на рис. 2.

лагается, что Н[ (s) задается заранее (как правило, Hf = 1), а не определяется в результате решения вариационной за­ дачи (как указано в [24, стр. 44], если функция Ht (s) не задана, то ее можно выбрать так, чтобы упростить реа­ лизацию Gc (s)).

Как видно из сравнения рис. 2 и 3, соответствующие оптимальные системы при заданной передаточной функции Hf (s) могут быть тождественны только при нулевом по­ лезном сигнале (г = 0, £ = 0). В противном случае (г Ф 0) необходимо Hf (s), как и Gc (s), определять из решения ва­ риационной задачи, причем даже и в этом случае могут возникнуть ситуации, когда система, изображенная на рис. 2, окажется эффективнее, чем система, изображенная на рис. 3.

Применительно к рассмотренному выше объекту прове­ дем количественное сравнение эффективности систем, изоб­ раженных на рис. 2 и 3.

И6

Пусть Hf = — 1, и закон управления для объекта, дви­ жение которого описывается уравнением (4.43) (для упро­ щения выкладок в (4.43) полагалось а — 2), будем разы­ скивать в виде

Минимальные значения функционалов elmin и e2mim со­ ответствующие законам управления (4.47) при а = 2 (см. рис. 2) и (4.50) (см. рис. 3), определяются, согласно (1.86), формулами

117

т. е. закон управления (4.47) при а = 2 (рис. 2) обеспечит всегда лучшее воспроизведение полезного сигнала г, чем закон управления (4.50) (см. рис. 3) *.

Таким образом, для оптимального воспроизведения полез­ ного сигнала передаточную функцию цепи обратной связи (см. рис. 3) нельзя выбирать произвольно (например, Hf = = — 1), а следует определять ее совместно с Gc из решения вариационной задачи. По-видимому, единственным исклю­ чением из этого правила является случай, когда нет реаль­ ной возможности измерять сигналы г и х раздельно, а суще­ ствует лишь возможность измерения разности этих сигна­ лов [26].

Укажем еще одну ситуацию, когда система, реализо­ ванная по схеме рис. 3, обеспечит худшее воспроизведение полезного сигнала, чем оптимальная система, изображенная

устойчивая замкнутая система будет оптимально воспроиз­ водить полезный сигнал г лишь в том случае, если он на вход системы не поступает. Оптимальный закон управле­ ния имеет вид

В то же время очевидно, что никаким выбором передаточных функций Gc и Hf нельзя одновременно добиться устой­ чивости замкнутой системы и реализации закона управле­ ния (4.54), оставаясь в рамках схемы, изображенной на рис. 3.

1 e2min асимптотически приближается к elmin лишь при у -> 0, т. е. Н тіл = е2т'т только при нулевом полезном сигнале.

118

Следует заметить, что идея использования звена для предварительной обработки полезного сигнала (на рис. 2 звено с передаточной функцией W2) высказывалась в [24]

И, наконец, приведем решение задачи синтеза оптималь­ ных линейных следящих систем в более общей постановке. Пусть движение объекта, предназначенного для воспроиз­ ведения программного сигнала г, описывается, как и в § 3 гл. 1, системой обыкновенных дифференциальных урав­ нений с постоянными коэффициентами

Таким образом, программный сигнал г (я-мерный вектор) поступает на вход системы с аддитивной помехой срЛ, вектор координат объекта х измеряется с помехой фд:, требуется оптимизировать (в смысле минимума функционала (4.57)), систему (4.55), (4.56) при условии, что яр, г, фг и ф~ — я-мерные некоррелированные стационарные случайные про­ цессы с нулевым математическим ожиданием и известными матрицами спектральных плотностей.

Решение задачи аналогично приведенному выше реше­ нию задачи синтеза следящей системы по одной координате

119