книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

В соответствии с методикой решения уравнения Вине­ ра — Хопфа [24, 30] выполним следующие промежуточные преобразования в подынтегральном выражении.

Множитель, стоящий перед Ф , (s), представим в виде произведения двух функций

[гМ (s) M ( - s ) + ( c - s2) Р (S) Р (-S )] M{s^ _ s) =

= Dj (s) D, (— s),

причем Dx (s) имеет нули и полюсы только в левой полу­ плоскости.

где B 10 (s) — целая часть (полином от s), В i+ (s) — правиль­ ная дробь с полюсами только в левой полуплоскости s, Bi_ (s) — правильная дробь с полюсами только в правой полуплоскости S.

В принятых обозначениях выражение для первой вариа­ ции функционала запишется в виде

/со

бе = у [ D1( - s ) [D 1(s)<b1( s ) - B u ( s ) - B i + ( s ) -

*— /оо

/со

10

передаточная функция Ф х (s) физически реализуема (имеет полюсы только в левой полуплоскости s). Таким образом, замкнутая система объект + регулятор будет устойчивой, если все нули полинома М (s) находятся в левой полупло­ скости. В противном случае (полином М (s) имеет хотя бы один нуль с положительной вещественной частью) замкну­ тая система будет неустойчива.

Рассмотрим другой вариант выбора варьируемой функ­ ции.

Пусть

X ® s ( - s ) + rM (s)® 2(s) + /-A4 (—s) a>a(—s) + r} p ^ p l _ s) ds.

Ход решения задачи аналогичен ходу в первом случае, поэтому приведем только окончательную формулу

Ф2 (S) = ----- [ß20 (S) + В 2+ (S)],

где D2 (S ) — функция, имеющая нули и полюсы только в ле­ вой полуплоскости, которая определяется из разложения

ß 20 (s) и ß 2+ (s) — целая часть (полином от s) и правиль­ ная дробь, имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, в разложении

гМ ( - s) S^(s)

£>., (-S) Р (s) Р (-S) = В 2 0 (S) + В 2 + (s) + В2 —(s)

(ß2- (s) — правильная дробь, имеющая полюсы только в правой полуплоскости s). Минимум функционала в этом

12

случае

е,,,і" — / —I/оо ' ^ 2 —($) В2 —(— s) -f-

г (с — s2) (s)

ds.

^гМ (s) М (— s ) + (с — s~) Р ( s ) Р ( — s )

Передаточная функция оптимального регулятора, со­ гласно (1.5), определится формулой

Замкнутая система объект -+- регулятор будет устой­ чивой при выборе варьируемой функции в виде (1.9),если полином Р (s) имеет нули только в левой полуплоскости, т. е. объект устойчив. В случае неустойчивого объекта ре­ шение задачи в виде (1.10) приводит к неустойчивости замк­ нутой системы.

Таким образом, для объекта, передаточная функция которого имеет все нули, или все полюсы в левой полупло­ скости s, решение задачи (передаточная функция оптималь­ ного регулятора W (s)) определяется одной из формул (1.8), (1.10). В противном случае регуляторы, определяемые фор­ мулами (1.8), (1.10), приводят к неустойчивой замкнутой системе.

Как видно, решение поставленной задачи (нахождение минимума функционала качества на классе передаточных функций регулятора, обеспечивающих устойчивость замк­ нутой системы объект + регулятор) тесно связано с вы­ бором варьируемой функции.

13

Аналогичный вывод делает Ш. Л. С. Чанг в своей моно­ графии 130]. Он, в частности, рекомендует выбирать раз­

объектов, согласно [24, 29, 30], решение задачи разбивается на два этапа: стабилизация объекта и нахождение уравне­ ния регулятора из условия минимума функционала.

В [14] показано, что, усложнив вид варьируемой функ­ ции, можно получить решение задачи для объектов с разны­ ми динамическими характеристиками (произвольным рас­ положением нулей и полюсов передаточной функции не­ управляемого объекта).

Действительно, если варьируемую функцию выбрать в

можно получить «универсальное» решение поставленной за­ дачи.

Передаточные функции Fx (s), Fu (s) (1.5) и функционал

X{[rM (s) M (— s) + (c — s2) P (s) P (— s)] Ф (s)Ф (— s) -J-

+[rß (— s) M (s) — (c — s2) a ( —s)P (s)] Ф (s) +

Последующие выкладки аналогичны двум первым случаям. Функция Ф (s), обращающая в нуль первую вариацию

функционала (1.12)

/оо

14

и имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, опреде­ лится соотношением

где D (s) — функция, имеющая нули и полюсы только в ле­ вой полуплоскости, определяется из разложения

Q (s) — полином с нулями только в левой полуплоскости, получившийся в результате разложения

ная дробь, имеющая полюсы только в левой полуплоскости s, в разложении

Передаточная функция оптимального регулятора, согласно (1.5) и (1.12), определится формулой

и, если Ф (s) представить отношением двух ПОЛИНОМОВ фх (s) и фо (s)

®(s) = Фі (s)

<Po(s) ’

то W (s) примет вид

15

Так как полином Фо (s) имеет нули только в левой полу­ плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необхо­ димо, чтобы полином ß (s) Р (s) + а (s)M (s) имел нули толь­ ко в левой полуплоскости, т. е., согласно (1.15),

При заданных Р (s) и М (s) соответствующим выбором полиномов а (s) и ß (s) можно добиться того, чтобы полином Q (s) имел нули только в левой полуплоскости. Другими словами, задавшись произвольным полиномом Q (s), нули которого лежат в левой полуплоскости, соотношение (1.21) можно рассматривать как полиномиальное уравнение отно­ сительно а (s) и ß (s) и решать это уравнение методами, ука­ занными, например, в [6]. Таким образом замкнутая система объект + регулятор будет устойчива при любых полиномах Р (s) и М (s), характеризующих свойства объекта. Остается показать, что произвол в выборе полинома Q (s), а следова­ тельно, и полиномов а (s) и ß (s), не отражается на конеч­ ном результате, т. е. передаточная функция оптимального регулятора и минимум функционала качества не зависят

16

Если функцию Ф (s), определяемую выражением П.13), переписать в виде

Аналогично, если умножить и разделить (1.25) на М (s), то, учитывая (1.27), получим

В0 (s) + В+ (s) -(- ß _ (s) =

Как видно из выражения (1.25), полюсами В_ (s) будут только нули полинома G (— s).

Отметим, что три полинома Р (s), TW(s) и G (— s) не могут иметь даже одного общего нуля, так как в этом случае объект регулирования будет неуправляем и неустойчив. Поэтому, определяя В _ (s) в виде суммы правильных дробей, полю­ сами которых являются нули полинома G (— s), при вычис­ лении слагаемых следует пользоваться выражением (1.30), если полюс дроби не совпадает с нулем Р (s), или (1.31), если полюс дроби совпадает с нулем Р (s). В каждом из этих случаев правильные дроби, полюсами которых являются ну­ ли полинома G (— s), появятся только вследствие наличия

второго слагаемого в (1.30) и (1.31), которые не содержат полиномов а (s) н ß (s).

Следовательно, функция ß _ (s) не зависит от полиномов а (s) II ß (s) и, согласно (1.18) и (1.29), минимум функциона­ ла качества и передаточная функция оптимального регуля­ тора W (s) также не будут зависеть от конкретного вида полиномов а (s) и ß (s), если Q (s) — гурвицев полином.

Можно доказать, что в числителе и знаменателе переда­ точной функции W (s), записанной в виде (1.29), стоят поли­ номы, т. е. дробные части соответствующих слагаемых равны по величине и противоположны по знаку. Ограничимся доказательством этого утверждения для числителя, когда

где g; — нули полинома G (— s).

Согласно (1.30), дробная часть второго слагаемого опре­ деляется соотношением

что и требовалось доказать.

Доказательство такого же утверждения для знаменате­ ля аналогично приведенному выше, только при определении W (s) вместо формулы (1.30) следует воспользоваться фор­ мулой (1.31).

Поскольку в числителе и знаменателе W (s) (1.29) стоят

= [rM (s) M (— s) + (c — s2) P (s) P (— s)] G 1(— s)I\(s),

18

или, согласно (1.22),

A(s) = G(s) Г! (s),

т. е. А (s) также не зависит от полиномов Q (s), а (s) и ß (s).

З А Д А Ч А С И Н ТЕ З А П Р И О Д НО М В Н Е Ш Н Е М

В О З М У Щ ЕН И И

Изложенные в предыдущем параграфе варианты решения задачи свидетельствуют о том, что существует тесная связь между динамическими свойствами стабилизируемого объек­ та и видом вводимой варьируемой функции. Однако рас­ смотренные варианты лишь констатируют существующую связь, не вскрывая ее. Даже «универсальный» метод (с по­ линомами а (s) и ß (s)) не вскрывает этой связи, так как оста­ ется неясным смысл вводимых полиномов а (s) и ß (s), от которых, в сущности, не зависит решение. Поэтому пред­ ставляется целесообразным обсудить общий подход к реше­ нию задачи синтеза системы стабилизации, из которого рассмотренные в § 1 «рецепты» решения отдельных классов задач вытекали бы как частные случаи, и, с другой стороны, его можно было бы обобщить на многомерную задачу (с про­ извольным числом внешних возмущений и управляющих воздействий).

Ниже этот общий подход будет изложен применительно к простейшей задаче, когда движение объекта описывается дифференциальным уравнением (1.1). Естественно, что по­ лученные конечные результаты будут совпадать с результат тами § 1.

Как отмечалось, специфика рассматриваемой задачи за­ ключается в необходимости обеспечения устойчивости замк­ нутой системы объект -f- регулятор, т. е. передаточная функ­ ция регулятора разыскивается в классе функций, обеспечи­ вающих устойчивость замкнутой системы. Следовательно, при решении вариационной задачи (минимизации функцио­ нала (1.6)) требуется ограничить вариации 6117(5) так, чтобы соответствующие вариации 6Fx (s) и 8FU(s) функций