книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

ГЛАВА 3 СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ КООРДИНАТ С ПО­ МЕХАМИ

В рассмотренных выше задачах предполагалось идеальное измерение координат объекта, необходимых для формиро­ вания закона управления. На практике, однако, довольно часто уровень погрешностей при измерениях тех или иных координат настолько значителен, что ими пренебрегать уже нельзя. В связи с этим представляется целесообразным учесть погрешности в измерениях при постановке и реше­ нии задач синтеза оптимальных систем стабилизации, что и будет сделано в настоящей главе для случая, когда коор­ динаты объекта измеряются с помехами, предполагаемыми стационарными случайными процессами. Сначала будет приведено общее решение задачи при т управляющих воз­ действиях (§ 1), а затем рассмотрен частный случай, когда

системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(см. (1.51)).

Требуется определить уравнение регулятора в цепи об­ ратной связи так, чтобы замкнутая система объект -)- регу­

80

Считаем, что необходимые для формирования закона управления координаты объекта измеряются с аддитивными помехами, которые предполагаются стационарными слу­ чайными процессами, т. е. уравнение регулятора ищем в виде

координат объекта, компоненты которого (ошибки ф, (/)) —

должны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, исполь­ зуя преобразование Фурье (полагая s = /со), функционал

1 В дальнейшем аргумент s опускается.

(3.2) можно записать в следующем виде:

Таким образом, задача сводится к определению матрицы № такой, чтобы замкнутая система была устойчивой, а функ­ ционал (ЗЛО) достигал минимума.

Вариации бW при минимизации функционала (ЗЛО) сле­ дует ограничить так, чтобы соответствующие вариации

Так как, согласно (3.8) и (3.9),

F f = F fF — Е,

(3.11)

F f = F fF ,

то из физической реализуемости функций F f и F f и их вариаций следует физическая реализуемость функций Ff и F f и их вариаций.

Матрицы F f и Fu удовлетворяют уравнению связи

(это уравнение получается после подстановки (3.7) в (3.4)), следовательно, п (т + п) их элементов могут быть выра­ жены через пт независимо варьируемых функций.

Как и в § 3 гл. 1, введем матрицу Ф размера т X п следующим образом:

где Л и В — полиномиальные матрицы т X п и т х т,

соответственно. Тогда все элементы матриц F f и F f могут быть выражены, согласно (3.12) и (3.13), через тп свободно варьируемых элементов матрицы Ф:

82

а искомая матрица W передаточных функций регулятора определится, согласно (3.8) и (3.13), формулой

Поскольку матрицы F t и F t и, следовательно, матрицы

Ft и Ft должны быть аналитическими в правой полупло­ скости, то, используя (3.11), (3.14) и (3.15), функционал (3.10) можно записать в виде

причем ранг матрицы G*G равен m (в противном случае задача сводится к задаче меньшей размерности).

Выясним, при каких условиях сформулированная ра­ нее задача минимизации функционала (3.10) на классе устойчивых замкнутых систем эквивалентна задаче миними­ зации функционала (3.20) на классе физически реализуемых функций Ф.

Так как минимум функционала (ЗЛО) разыскивается на классе аналитических в правой полуплоскости функций

F l F l F l и F l, а минимум функционала (3.20) при решении соответствующего уравнения Винера — Хопфа находится на классе физически реализуемых функций Ф , то при мини­ мизации этих функционалов могут допускаться только ана­

литические в правой полуплоскости вариации bFl, ÖF'f, и 6Ф (выше (см. (3.11)) было показано, что из физической

реализуемости F l и F l и их вариаций следует аналитичность

в правой полуплоскости F f, F l и их вариаций). Согласно (3.12) и (3.13),

и поэтому из требования аналитичности в правой полупло­ скости вариаций öFl, бF t и 6Ф следует аналитичность мат­

риц Z и 7 Г 1 в правой полуплоскости. К аналогичному выводу можно прийти, исходя из требования устойчивости замкну­ той системы (см. § 3 гл. I).

Определим матрицу Ф, доставляющую минимум функ­ ционалу (3.20). Запишем выражение для первой вариации

84

Пусть матрицы D и Н, определяемые в результате фак­

в правой полуплоскости.

Тогда матрица Ф , обращающая в нуль первую вариацию функционала (3.22) и имеющая полюсы только в левой по­

в (3.19), целесообразно проделать промежуточные выкладки, аналогичные соответствующим выкладкам § 3 гл. 2.

т. е. искомая матрица передаточных функций оптимального регулятора, согласно (3.19), определится соотношением

Приведем еще один вариант формулы для W, получае­ мый непосредственной подстановкой (3.25) в (3.19), который

Для определения минимального значения функционала (3.20) сначала перегруппируем входящие в него члены

85

и преобразуем его:

/оо

где

Т = H -'H -'Q -'N Ji.

Подставив в преобразованное выражение функционала

Как и в § 3 гл. 2, проведем дополнительные исследования формул (3.28) и (3.29) с целью доказательства независимости решения задачи от произвола в выборе матриц А и В и ука­ зания алгоритма перехода от матрицы передаточных функ­ ций регулятора к его уравнению вида (3.3).

Покажем независимость emin и IF от конкретного вида матриц А и В.

Пусть варьируемая матрица Ф выбрана так:

Ö= Â F t+ B F t,

т.е. матрицы F t и F t связаны с матрицей Ф уравнением

где матрицы Л и В н е совпадают с А и В, но удовлетворяют требованию аналитичности в правой полуплоскости мат­

8в.

Для доказательства независимости етіп и W от матриц

А и В достаточно показать, что при замене А и В на А и В значения ет |П и W не изменятся.

Из формул (3.29) и (3.28) видно, что ет1а и W не изме­ нятся, если выполняются равенства:

Доказательство равенств (3.31) и (3.32) тождественно доказательству равенств (1.87) и (1.88) и сводится к следую­ щему.

Пусть П — матрица, определяемая уравнением

Используя формулу Фробениуса обращения блочных матриц и учитывая аналитичность в правой полуплоскости

матриц Z, Z~ , Z и Z-1 , можно показать, что матрица П имеет структуру

О ■

П =

n j ’

где Пі — матрица т X п, аналитическая в правой полу­ плоскости, П3 — матрица т х т, аналитическая в правой полуплоскости вместе с обратной.

Согласно (3.35), (3.18) и (3.24),

А = ПдР -f- П2Л,

(3.37)

В = — IIj/И - f Пoß,

Q = Др (s) (— IIjM П2В) -f- (ПХР -f- П2Л) N — n 2Q,

H ß = Q-'G'GQ-1=

87

Поскольку матрица П2 аналитическая в правой полу­ плоскости вместе с обратной, то

и

H7'Q7l= ^r'n^rir'Q:1= /С Ѵ ,

т. е. равенство (3.31) доказано.

Как видно из (3.26) и (3.31), для доказательства (3.32)

т.е. равенство (3.32) также выполняется. Согласно (3.27),

L0+ L+ + L _ = - Я .- 'З Г Ч Я W > 7 ‘.

L0+ L + + L — = - Hr'QT'N'RSvPJD-1,

откуда видно, что равенства (3.33) и (3.34) являются след­ ствием уже доказанного равенства (3.31).

Укажем теперь алгоритм перехода от матрицы W, оп­ ределяемой формулой (3.28), к уравнению регулятора вида (3.3).

Сначала докажем, что элементы матриц, стоящих в квад­ ратных скобках формулы (3.28), не имеют полюсов, за ис­

ключением, быть может, полюсов матриц D ~l и L+, распо­ ложенных в левой полуплоскости.

Действительно, согласно (3.26), (3.21), (3.24) и (3.18),

88

Аналогично

[K -D -'P - H -'Q -'N ,R U = [Я Г’О Г Ч Я - ЯЛ -

- я ^ Х я ] - = - [ЯЛ]_ - 0.

Таким образом, доказано, что элементы матриц-сомно­ жителей в (3.28) не имеют полюсов в правой полуплоскости.

Как видно из (3.28), полюсы в левой полуплоскости, отличные от полюсов D ~l и L+ , могут появиться только за счет полюсов матрицы Q7'- Однако можно показать, что матрицы [Ар (s) Н~' Q~'C -{- {К - — L0 — L+ ) D~lM ] и [{K - — L 0 — L+) D ~lP — Н~' Q^'NXR] не содержат по­

полуплоскости (см. (1.67)) следует аналитичность в правой

Таким образом, если матрицы-сомножители в (3.28) умножить на полином d(s), равный общему знаменателю

матрицы L+D - 1 , то в результате получим полиномиальные матрицы и уравнение оптимального регулятора, согласно (3.6) и (3.3), можно записать в виде

Рассмотрим два частных случая, когда удается полу­ чить более простые формулы для матрицы передаточных

89