книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

где

Таким образом, задача синтеза оптимальной линейной следящей системы сведена к задаче синтеза системы ста­ билизации объекта, движение которого описывается урав­ нениями (4.59) при критерии качества (4.60), и, согласно 3 41), решение имеет вид

а элементы матриц Л и В должны удовлетворять требова­ нию аналитичности в правой полуплоскости матрицы

Р— М

вместе с обратной.

Содержание первых четырех глав настоящей монографии составляет изложение спектральных методов синтеза, яв­ ляющихся результатом использования идей Винера — Кол­ могорова к синтезу систем с обратной связью, и решение ряда традиционных задач теории автоматического регули­ рования. В настоящей главе будет показано, что при незна­ чительной модификации эти методы могут оказаться эффек­ тивными и при решении некоторых задач теории дифферен­ циальных игр.

Многие задачи теории дифференциальных игр по по­ становке близки к задачам синтеза оптимальных систем с обратной связью в теории автоматического регулирования. По-видимому, в связи с этим вариационные методы, эффек­ тивные при решении задач синтеза, оказываются эффектив­ ными II при решении соответствующих (близких по поста­ новке) задач теории дифференциальных игр. Действительно, математический аппарат классического вариационного ис­ числения (уравнения Эйлера—Лагранжа) позволил решить как задачу аналитического конструирования регуляторов [18], так и задачу линейной дифференциальной игры пре­ следования — уклонения [33]. Современные вариацион­ ные методы, связанные с именем Л. С. Понтрягина, Р. Велл­ мана, Н. Н. Красовского, возникшие при решении ряда задач автоматического управления, успешно используются и при решении соответствующих задач дифференциальных игр. Можно надеяться, что и изложенные выше вариацион­ ные методы синтеза, математическим аппаратом которых являются уравнения Винера-Хопфа, окажутся полезны­ ми при решении некоторых задач теории дифференциаль­ ных игр.

121

§ 1. « К О Н Ф Л И К ТН Ы Е С И ТУ А Ц И И » В З А Д А Ч Е А Н А ­

Л И ТИ Ч Е С К О ГО К О Н С ТР У И Р О В А Н И Я Р Е ГУ Л Я ­ ТО Р О В

При решении задач синтеза линейных систем с обратной связью в предыдущих главах, как и в [11, 18], предпола­ галось, что квадратичная форма функционала качества является определенно положительной. Однако можно ука­ зать класс задач, в которых это предположение не реали­ зуется [31]. Для иллюстрации этого утверждения иссле­

достигал минимума (наилучший регулятор их = Д (х)) или максимума (наихудший регулятор и2 = /2 (х)) при

Сформулированная изопериметрическая задача сводится к исследованию стационарной точки функционала

122

Экстремальные значения функционала (5.2), согласно (5.8), определятся равенством

(5.11)

т. е.

которым соответствуют уравнения наилучшего и наихудшего регуляторов:

ь + К ■X, щ = b + Äm in -X.

123

Покажем, что %> О, если управление и минимизирует функционал (5.2), и К < 0, если и максимизирует этот функ­ ционал.

Известно [2], что Л = — а, согласно (5.11),

Следовательно, если управление и, стесненное изопериметрическим ограничением (5.4), минимизирует функцио­

в (5.5) является определенно положительной, при макси­ мизации — де является определенно положительной.

К аналогичному выводу можно прийти и в более общем случае, когда движение системы происходит под действием нескольких управлений, стесненных ограничениями типа (5.4), причем одни управления стремятся минимизировать, а другие — максимизировать функционал типа (5.2). Этот случай можно трактовать как дифференциальную игру двух игроков, один из которых стремится минимизировать, а дру­ гой — максимизировать функционал типа (5.2). Решение подобных задач сводится к исследованию стационарных то­ чек функционала типа (5.5), в котором квадратичная форма не является определенно положительной из-за наличия от­ рицательных множителей Лагранжа.

Отметим, что в предыдущих главах решение задач син­ теза оптимальных регуляторов также сводилось к отыска­

124

нию стационарных точек минимизируемых функционалов, но, в отличие от дифференциальных игр, квадратичная форма в этих функционалах всегда предполагалась опре­ деленно положительной. Таким образом, для решения задач линейных дифференциальных игр с квадратичным функцио­ налом платежа, по-видимому, можно использовать изложен­ ные выше методы синтеза оптимальных регуляторов, если эти методы модифицировать так, чтобы область их приме­ нимости не ограничивалась только определенно положи­ тельной квадратичной формой в функционале качества.

Рассмотрим динамическую систему, которая состоит из двух управляемых объектов. Дифференциальные уравне­ ния, описывающие движение системы под действием управ­ ляющих воздействий ил и и2, выбором которых располагают соответственно первый и второй игроки, имеют вид

+ л*і«і + 'Фі. Г

(5.13)

х2 = А2х2 + М2и2+ ф2. I

Размерности векторов л^, х2, их и и2 равны пх, п2, тх и т2 соответственно, и ф2 — пх- и п2-мерные стационарные случайные процессы (внешние возмущения) с нулевыми ма­ тематическими ожиданиями и дробно-рациональными мат­ рицами спектральных плотностей S u (со) и 52а (со), Ах, А2, Мх и М2 — постоянные матрицы пх X пх, п2 х п2, пх х тх и п2 X /По соответственно. Задача заключается в определении законов управления

их = Wxx,

(5.14)

и2 = W2x

(х — [х'і, х2У) таких, чтобы динамическая система, описы­ ваемая уравнениями (5.13), (5.14), была физически1

1 Здесь и далее дифференциальные уравнения, описывающие дви­ жение системы, записываются в канонической форме. Это позволяет отож­ дествить решение задачи синтеза для системы (5.13), когда % — слу­ чайные возмущения с постоянной спектральной плотностью, с решением детерминированной (ф; = 0) задачи синтеза при ненулевых начальных условиях (см. гл. 2).

125

реализуема1, причем в установившемся режиме первый игрок стремится минимизировать, а второй — максимизировать функционал

т. е. е0 — среднеквадратическая взвешенная разность между первыми п0 координатами объектов.

Сформулированная задача сводится к исследованию ста­

(Aj и Л2 — диагональные матрицы, элементы которых —

-множители Лагранжа, причем все элементы матрицы Ах неотрицательны, а Л2 — неположительны) на классе физи­ чески реализуемых динамических систем.

Введем обозначения и = [нь и2У, Ф = [фь Ф^', ti = пх

+ П2,

Тогда уравнения (5.13), (5.14) и функционал (5.16) за­ пишутся так:

1 Под физической реализуемостью линейной системы, как и ранее, понимается равенство нулю ее весовой функции при t < 0. Примени­

тельно к игровой задаче это соответствует ситуации, когда каждый игрок при выработке стратегии в каждый момент времени может использовать только текущие и прошлые значения фазовых координат системы.

126

и задача сводится к определению W таким образом, чтобы первая вариация функционала (5.19) обращалась в нуль.

Первый этап решения сформулированной игровой зада­ чи, включая вычисление первой вариации функционала (5.19), целиком совпадает с соответствующим этапом реше­

'- / с о

-GJjQ-'A) Р - 1] + 5 Ф [CD.Qr'G.GQ-1 +

а полиномиальные матрицы Л и В должны удовлетворять требованию аналитичности в правой полуплоскости матрицы

'Р — М -1

Z =

А В

Следующий шаг при решении сформулированной задачи уже несколько отличается от решения, приведенного в гл. 1. Ввиду наличия отрицательных множителей Лагранжа мат­

рица Q7l G^GQ~l уже не будет положительно определенной и ее нельзя представить в виде произведения двух сопря­

где Н — вещественная матрица, аналитическая вместе с об­ ратной в правой полуплоскости, Т — симметрическая мат­ рица с постоянными элементами.

1 Факторизация (5.20), в отличие от приведенной в предыдущих главах, где Т = Е, имеет место для любой параэрмитовой матрицы, не имеющей вместе с обратной полюсов нечетной кратности на мнимой оси.

127

Матрица Ф, обращающая в нуль первую вариацию функ­ ционала (5.19) и имеющая полюсы только в левой полупло­

скости, запишется в виде Ф = —Я - 1 (Ко + К+) Г-1 , где аналитическая вместе с обратной в правой полуплоскости матрица Г получается в результате факторизации матрицы 5ф, т. е. = ГГ..., а матрицы Ко и К + определяются из оазложения

Ко + К+ + К - = (T~lH -'Q -lN:i;R - НА) Р -'Г (5.21)

(элементы матриц Ко — полиномы от s, К + — правильные дроби с полюсами только в левой полуплоскости, К - — правильные дроби с полюсами только в правой полупло­ скости).

Решение задачи, т. е. искомая матрица W, определится формулой

W = [(К0 + К+) Т~ХМ - Н ВГ' 1(К0 + К+) Т~'Р + НА].

(5.22)

Как и в задаче оптимальной стабилизации, матрица \Ѵ не зависит от конкретного выбора матриц А и В, удовлет­ воряющих требованию аналитичности матрицы Z вместе с обратной в правой полуплоскости. Доказательство этого

и не зависит от элементов матрицы Если к тому же параметры объектов позволяют выбрать

матрицы А и В в виде А = Е, В = 0, то процедура опре­ деления матриц Ко и К+ значительно упрощается. В этом случае Q = N и, согласно (5.20),

я = т-'я.-'я:1[NJRN + д; (S) ЛДр (5)1я - 1=

=T -'H -'R + T -'H -'P JA -'A M -'P ,

аматрицы Ко и К+ определяются из разложения

Отметим, что, согласно результатам гл. 2, решение за­ дачи в виде (5.23) может быть использовано при решении

128

игровых задач с ненулевыми начальными условиями и ну­ левыми внешними возмущениями.

Примеры. I. Рассмотрим игровую задачу о сближении двух объектов. Движение первого (догоняющего) объекта описывается уравнением хг = их -f- ф1( а движение второ­

го (убегающего) — х2 = и2+ ф2.

Возмущения і ^ и ^ являются стационарными случайны­ ми процессами с нулевым математическим ожиданием и ма-

При ограничениях на управляющие воздействия

(и2) = к 2

требуется найти закон управления [ult и2У = W [хи х2У (матрицу W передаточных функций регулятора), обеспечи­

вающий минимаксное значение (min max) функционалу "і «і

е0= <(Xi — x2)z).

Решение задачи сводится к исследованию стационарных

Приступим к решению задачи. Требование аналитич­

ности матрицы Z~l в правой полуплоскости удовлетворим, положив А = Е2, В = 0.

Так как Др (s) — s2, N = sE2, Q — sE2, то