книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

матрицы Fx и Fu, определяемые (1.65) и (1.66), можно запи­ сать в виде

Так как матрицы Fx и Fu должны быть аналитическими в правой полуплоскости, то, подставив (1.71) и (1.72) в (1.59), получим

Выясним, при каких условиях сформулированная выше задача минимизации функционала (1.59) на классе устой­ чивых замкнутых систем эквивалентна задаче минимизации функционала (1.73) на классе физически реализуемых функ­ ций Ф 1.

Поскольку минимум функционала (1.59) разыскивается на классе физически реализуемых функций Fx и Ftl, а мини­ мум функционала (1.73) методом Винера — Хопфа нахо­ дится на классе физически реализуемых функций Ф, то при минимизации этих функционалов могут допускаться только аналитические в правой полуплоскости вариации 8FX, 8FUи

1 Еще раз отметим, что физически реализуемая передаточная функ­ ция — это функция, аналитическая в правой полуплоскости, т. е. соот­ ветствующая ей весовая функция равна нулю при t < 0.

30

6Ф. Принимая во внимание формулы (1.63) и (1.65), находим, что из требования аналитичности в правой полуплоскости вариаций 8FX, бF u и 6Ф вытекает требование аналитичности в правой полуплоскости матрицы Z вместе с обратной. К та­ кому же выводу можно прийти, исходя из требования устой­ чивости замкнутой системы.

Пусть в результате решения соответствующего уравне­ ния Винера— Хопфа найдена матрица Ф , обращающая в нуль первую вариацию функционала (1.73). Поскольку эта матрица является аналитической в правой полуплоскости, ее можно записать в виде

где ф0 (s) — общий знаменатель элементов матрицы Ф (гурвицев полином), Ф 0 — полиномиальная матрица.

Согласно (1.62) и (1.56),

W0 = Фо (s) В + ФоМ. W = Ф 0Р — Фо (s) А.

Дважды воспользовавшись формулой вычисления опре­ делителя блочной матрицы [5]

АВ

С D = \A \.\D -CA -'B\ ( И | ^ 0 ) , (1.75)

характеристический определитель системы уравнений (1.51), (1.52), описывающей движение замкнутой системы объект -f- 4- регулятор, можно записать так:

= Ар (s) det [фо (s) В + Ф0М — (Ф0Р — Фо (s) А) Р 1М] =

Таким образом, замкнутая система будет устойчивой, если det Z — гурвицев полином. Но так как матрица Z — полиномиальная, то из этого следует аналитичность матри­ цы Z~l в правой полуплоскости.

31

Перейдем непосредственно к решению задачи. Запишем выражение для первой вариации функционала (1.73):

где матрицы Г и Я вместе с обратными аналитические в правой полуплоскости и вещественны.

Если матрицу Н~х(Q7'N.^R — Н^НА) Р -1Г предста­ вить как сумму трех матриц:

Я Г 1(Q7'M*R - Я ,Я Л ) р - ‘г = к 0 + К + + К -, (1.79)

ще элементы матрицы /(0 — целые части (полиномы от s), Л+ — правильные дроби с полюсами только в левой полу­ плоскости, К - — правильные дроби с полюсами только в правой полуплоскости, то матрица Ф, обращающая в нуль 1 ервую вариацию функционала (1.76) и имеющая полюсы только в левой полуплоскости, определится соотношением

Чтобы получить окончательную формулу для искомой матрицы не, едаточных функций регулятора, проделаем не­

1 Такая факторизация предполагает положительную определен­ ность матрицы GJJ , что накладывает определенные ограничения на матрицы R и С (см. (1.74)).

32

которые промежуточные выкладки. Используя (1.79), пре­ образуем (1.80) к виду

исоотношение (1.82), учитывая (1.74), можно преобразовать

квиду

В+ ФМ = Q ( В Д - 1а; ( S ) С + Н - 1К-Т~'М ,

или, согласно (1.78):

в + Фм = я -1 (др (s) я е д е д + К-Т-'м). (і .83)

Аналогично, подставив в (ФР — А) значение Ф из (1.81), получим

ФР _ А = А — Q (G*G)-' Я»Р + Н ~1К -Г~'Р — А —

Таким образом, искомая матрица передаточных функций оптимального регулятора определится, согласно (1.62), (1.83) и (1.84), формулой

W = (В + ФМ)“ 1(ФР — А) =

= [д;(s) HZ'QT'C+ к-ѵ-'мг1[Я-г-'р- яедгХР].

(1.85)

Приведем еще один вариант формулы для W, получае­ мой непосредственной подстановкой (1.80) в (1.62), который понадобится в дальнейшем:

+ A,QrlА; (S) CAP (S) Q-'A] p - % } ds.

Подставив значение Ф из (1.80) в эту формулу и исполь­ зуя (1.79) и (1.78), получим выражение для минимального значения функционала качества

— /оо

где

ч (s) = Sp (Р ~ % Р ^ [R - RN (G .ß r' В Д } .

Полученное решение задачи (формулы (1.85) и (1.86)) требует проведения дополнительных исследований, а имен­ но необходимо показать независимость решения от произво­ ла в выборе матриц А и В и указать алгоритм перехода от матрицы передаточных функций регулятора к его уравне­ нию, т. е. получить соотношение вида (1.52), что и сделано ниже. Кроме того, в конце параграфа указан класс внешних возмущений, относительно которых регулятор сохраняет свойство оптимальности.

Покажем независимость решения задачи {W и етіп) от произвола в выборе матриц А и В. Пусть варьируемая ма­

трица Ф выбрана в виде

Ф= ÄFX+ BFU,

т.е. матрицы передаточных функций Fx и Fu связаны с варьируемой матрицей Ф уравнением

А и В достаточно показать, что при замене А и J3 на А и В значения W и ешіп не изменятся.

34

Как видно из формул (1.85) и (1.86),'для этого достаточ­ но показать, что

Воспользовавшись формулой Фробениуса обращения блочных матриц и учитывая аналитичность в правой полу­

плоскости матриц Z и Z вместе с обратными, убеждаемся, что матрица П имеет структуру

'Еп

П =

Дх

где Пх — матрица т X п, аналитическая в правой полу­ плоскости, П2 — матрица т X т, аналитическая вместе с обратной в правой полуплоскости.

Согласно (1.89), (1.70), (1.69) и (1.78):

& 7107' = H7% *n-7.lQ7l = H T 'Q: 1,

т. е. равенство (1.87) доказано.

Для доказательства (1.88), как видно из (1.79) и (1.87),

где [ ]_ — матрица, элементы которой — суммы правиль­ ных дробей с полюсами в правой полуплоскости, получаю­ щиеся в результате разложения элементов матрицы, стоя­ щей в квадратных скобках, на сумму целой части (полино­ мов от s) и правильных дробей.

Подставим (1.91) и (1.97) в (1.93):

т. е. равенство (1.88) также доказано.

Теперь осталось указать алгоритм перехода от матрицы W, определяемой формулой (1.85), к уравнению регулятора вида (1.52). Для этого исследуем структуру матрицы W, определяемой формулой (1.85).

Покажем сначала, что элементы матриц, стоящих в квад­ ратных скобках формулы (1.85), не содержат полюсов в пра­

Таким образом, равенства (1.94) и (1.95) доказаны.

36

Используя формулы вычисления определителя блочной матрицы (1.75), (1.69) и (1.78), получаем явную формулу для A (s) и убеждаемся еще раз, что A (s) — гурвицев поли­ ном:

блочной матрицы1, дважды пользуясь формулой (1.75):

1 Эта матрица эквивалентна матрице уравнений Эйлера — Лагран жа задачи аналитического конструирования регуляторов (частный B H J

этой матрицы для т = 1 см., например, в [18]).

38

так как матрица И вместе с обратной аналитическая в пра­ вой полуплоскости.

чи позволяет указать класс внешних возмущений, относи­ тельно которых регулятор, определяемый формулой (1.85),

39