книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

УДК 517.948.*

А. Н.

Ф и л а т о в . Асимптотические методы в теории

дифференциальны?

и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент,

Изд-во .Фан* УзССР

1974.

Библ. — 151 назв., стр. — 216.

У т верж дено к печати

Ученым советом ордена

Трудового

К расного Знамени

Института кибернетики

с ВЦ ,

Отделением механики

и процессов управления АН У зС С Р

Ф

0223—235

9о 74

©

Издательство „Фан“ УзССР, 1974 г.

355 (06) — 74

1.

Множество

L

элементов х, у, z,

... называется

л и н е й ­

ным

(или в е к т о р н ы м )

пространством,

если:

а)

для любых двух элементов х и у

из L однозначно опре­

делен

третий элемент zeL,

называемый суммой элементов

х н у

и обозначающийся

через х-\-у (т. е. z =

x Jr y )’,

б) для любого элемента х из L и любого числа X определен

элемент XxeZ.

Операции сложения элементов и умножения их

на

число

должны удовлетворять следующим требованиям:

1)

х + У = У + х;

2 )

(х + у) + z

= х + (у -f z);

3)

существует

элемент

BeL*) такой,

что х + б = х

для лю­

бого xeL;

через

4)

для каждого х существует элемент, обозначаемый

— х, такой, что х

х

)

= б;

5)

1 -х = х;

6) X (рх) = (Хр) х;

7)

(X + р) х =

Хх +

рх;

Хх +

+ vz + •••+

юте; = 0

возможно только

при X =

у = v = •••=

ш= 0.

5. Линейное

пространство

L

называется « - ме р ным , если

в нем можно найти « линейно

независимых элементов, а любые

« -f- 1 элементов этого пространства линейно зависимы.

6. Если в линейном пространстве L можно найти любое число

линейно независимых элементов, то

L называется б е с к о н е ч н о ­

венным «-мерным линейным пространством,

обозначаемым

далее

через R n ,

элементами

которого

являются все возможные наборы

х 2, ...

, х п )

из « вещественных чисел.

Каждый такой

набор

называется

в е к т о р о м

(точкой)

пространства R n и обозначается

одной буквой,

например, л::

X = { X v

Х 2 , ... ,

Х п ] .

Числа x v

х 2, ...

, х п

называются

координатами

вектора л:.

Сло­

жение векторов

х =

{

x v х г ...

,

х п )

и у =

{ у {,

у2,

... ,

у п )

в R n

выполняется согласно

правилу

х +

У — { +

Ух>•••’

х п+ Уп} •

Вектор х = [ х

,

х 2,

... ,

х п j

умножается на

вещественное

число

X в R n следующим образом:

Хх =

{ Xxv

Хх2, ...

, Ххп } .

Векторы

е х =

{ 1 , 0,

...

, 0 }

,

е 2 = [ 0 ,

1 ,

0, ....

0 } ,

е п =

{ 0,

0,

...

, 0,

1 }

образуют

«

линейно

независимых

векторов

в

R n .

Векторы

х = { x v Х2, ... ,

х л }

и у = { y v

У2, ... , у п}

из

L,

по

определе-

нию, равны тогда и только

тогда, когда х.

= у.

,

i — 1 , «.

норму. Напомним, что нормой

вектора х =

[ х

, х

, ... ,

х п} на­

зывается

действительное число,

обозначаемое

через

||а:||,

такое,

что

х = 9,

1) |л: |= 0 тогда и только

тогда,

когда

2 ) |х + у |< |* |+ IIУ |,

3) 1М | = |л| IMI.

Следовательно, всегда ||л:||^0.

Обычно в R n вводится

какая-либо

одна из

следующих трех

норм:

Г п

11 Hi

=

1 /

2

4

-

f

л=1

\\х\\п = m a x J jc J ,

й= 1, п

II Х 1|ш=

I Xk |•

ft=l

Легко показать,

что эти нормы связаны

между

собой неравен­

ствами

1М 1п ^

1М 1ш <

1 ^ 1 1

l!i

,

II-« IIIII

< V IlWx WiOlWIi, .

*11,

< K / i| W III< V r* l l * l |II1

•

Отсюда

следует,

что

если

последовательность

векторов

{ х п} ,

п = 1 , 2 ,

... сходится,

к вектору х 0 в смысле некоторой

нормы,

она сходится к этому

вектору и в смысле

любой другой

нормы.

В дальнейшем

предполагается,

что

в R

введена какая-либо из

указанных выше трех норм. Индекс у норм опускается.

10. Пусть

А и В — матрицы

вида

а и

а 1 п

А =

Ы

-

в =

а п!

а.пп

По определению, матрицы А к

В

считаются равными тогда и

только тогда, когда a tj = btj, i =

1 ,

я, у = 1 , п.

Сложение и вычитание

матриц,

умножение матрицы на число и

матрицы на матрицу выполняются по следующим правилам:

а п

±

Ьи

а ы ±

Ьы \

А + В —

( a ij — b ij)'

а

ч~

b

ппJ

а п\ ±

Ь т

пп —

Хаи

•Ха1л

= (Ч)’

Х-Л =

Ха

п\

•Ха.

пп,

а

a i A i

2

\

2

й =1

й = 1

А -В =

Л

”

,

\ 2

..............................2 a n k bkn

/

\ft=l

*=1

/

Матрица Л умножается на вектор л: так:

/ « и ................а ’л

'

х -

Лх --

2

X k ’ " * ’ ^ a n k X k Г

Й =1

й = 1

Матрица

£ = ( 8у), 8у = 1, oif = 0,

г 4= j ,

называется

единич­

ной. Определитель матрицы Л

будем

обозначать через

det Л.

Очевидно,

det (ХЛ) = Xя det Л, det (АВ)

= det {ВА) = det Л •det В.

Если det А=£ 0, то матрица Л называется неособенной.

Матрица

А~1 называется обратной данной матрице

Л,

если

Л-1 Л = ЛЛ-1 = Е.

Ясно,

что

det А~' = (det Л)- 1 ,

(А В )-'

=

В~' А~' .

Если

матрица

Л такова, что а а ^=0, а.;. =

0,

i =f=jy то она

назы­

вается диагональной и обозначается так:

Л = diag { а и ,

а 22, ... ,

а йя] .

Уравнение (относительно параметра X) вида

det (Л — УЕ) — 0

Введем

теперь

норму матрицы

А. Под

нормой

матрицы

А = ( а [.)

понимается

неотрицательное

число

||Л||, удовлетворяю­

щее следующим требованиям:

а) |( А |= 0 тогда и только

тогда,

когда

А = 0;

б) ||ХЛ|| = |Х|||Л||;

В) Н

+ В||<||Л|| +

||В||;

г) ||ЛВ||<|И||||В||.

Как правило, в качестве нормы матрицы А используется

какая-

либо одна из следующих трех

норм:

п

II А !|,

1

I, j2=

1К 1

п

IIА ||,, = max ^

| а,/1

’

/=1

Для вектора столбца х эти нормы

переходят

в нормы | ]|j ,

||jc||n и ||лг||ш соответственно.

В дальнейшем

значки

у норм

берется, например, норма [|

, то и для

нормы матрицы

должна быть взята норма |А ||г .

11.

Если

(р (х) — скалярная функция

векторного аргумента x

то

д<р ( х )

/ ду

д<?

— grad ср(х).

дх

I

дх^

дх 2

’ дхп

Если / ( х )

— вектор-функция от

векторного аргумента х, то

df/dx — матрица

.

/ Л ..........

дЛ

df(x)

/

д х г

д х п

•Vi_

_

дх

V fn

dfn

dxi

' д х г

д х п

dx(t)

( d x x(t)

dxi(t)

^х п( ON

dt

dt

dt

dt

j x ( / ) d / =

^ J x l (/) dt,

j x 2 (t)d t,

... , | х л(/) d t y

t

t

\ х (т) dx < 1 1|х (х) |d i

J

и

аргумента x e D c z R n -

Пусть / (x ) — вектор-функция

векторного

Если выполняется

неравенство

x 'e D ,

x"eD, X

const,

то говорят, что функция f

(x)

удовлетворяет условию Липшица

в области D, что

можно кратко записать

так:

f { x ) бЫрх (Х,

D).

/(/, x )eL ip x (X(/),

D ) .

Запись вида

f ( t , ^ )eC *;'(Q ), Q =

/ X D

f ( x ) = f ( x о )+

дЧ

(х — х 0)2+

/ X—-Xq

\ / X—Xо

\

где

д х 2

-

A

(AL X

X,

дх

I дх

_д_

дЧ

9

X

дх * ~

дх

дх 2

X 2