книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

лы

О и о.

Напомним их определение.

Пусть заданы две функции

J (s)

и ср(е), определенные на множестве 5 (se5),

и пусть а —пре­

дельная точка множества S (а может

и не принадлежать мно­

жеству 5).

Определение 1. Запись вида

/(е) = 0(ф (е)), eeS

(1.2.1)

означает,

что найдется постоянная Л4 > 0 такая,

что будет вы­

полняться

неравенство

|/(s)|<yW|cp(e)| ,

sgS.

(1.2 2 )

Определение 2. Запись

вида

/(О =

0(<р(е)), е - а , e6S

(1.2.3)

означает, что существуют

постоянная

М > 0 и

окрестность U

точки а такие, что будет выполняться неравенство

|/(в)|<Ж|ср(е)|, seUf]S.

(1.2.4)

Если функция ср(в) не принимает нулевых значений на

S, то

запись (1.2.4) означает, очевидно, что

отношение /(е)/<р (е)

огра­

ничено при в -> а.

Определение 3. Запись

вида

/(О = о (ср (в)), в -> а, ве5

(1.2.5)

означает, что для любого

8 > 0 можно указать

такую окрест­

ность U~ точки а , что будет выполняться

неравенство

|/(£) |<

51<Р(s) |,

П$.

(1.2.6)

Если ср(в) не принимает нулевых

значений

на 5,

то (1.2.6)

озна­

чает, по существу, что

2 < lL

о,

6 -* а.

(1.2.7)

/(в)~ ср (е), в a, egS

(1.2 .8)

Соотношения порядка типа

sin 2s = О (s), е

О,

1 — cos s =

о (е),

£

-> О,

_

i_

е

Е — 0 ( £т ),

£-> О,

/71

1

е Е=

о

1 \

+

оо, 777>

1,

8 = 0

1

,

£ -> О,

777>

1,

ч (1п е)"1 /

.

sins = 0 (l),

0 < £ <

+ оо

дящие в соотношения порядка, зависят не только от s,

но и от

некоторых

переменных,

например от t, т. е.

имеют

вид f ( t , s),

<р (t, е ),

где

t

принадлежит

некоторой

области. Тогда

постоянная

М и окрестности

U, Ub , указанные

в определениях

1—3, могут

зависеть от этих переменных.

Если М,

U и Ub можно

выбрать

независимо

от

указанных

переменных,

то

говорят,

что соотношения порядка

выполняются

р а в н о м е р н о

относительно этих переменных.

Соотношения порядка обладают рядом простых

свойств.

Укажем некоторые из них

[144] (в

перечисляемых ниже соот­

ношениях символ О можно заменить на о):

1)

если / (е )

=

О (<? (s)),

£ -> a, seS, то

|/(е)|-=

0(| 9 (e) Г),

а > 0 ;

(1.2.9)

2)

если f t (в) =

О

(е) ), i = 1,

п, в

a,

seS,

то

a i f t (е) = о

(

2

|‘3Р !'р.-<*)[

а.

= const;

( 1.2. 10)

7=1

\ 7=1

3)

если f t (е) =

О ( cpz

(г)),

i — 1,

/г, в

a,

sg5,

то

П Л ( е ) = ° ( f l

Ь (£))l

{12Л\)

7=1

\ 7=1

/

4) соотношения порядка

в общем

случае

нельзя дифферен­

5)

соотношения

порядка

можно

интегрировать: пусть S —ин­

тервал

а < е < (3

и f ( e )

— OQo (е)) при е ->

Тогда

j/CO d i

=

j I ср(т) |rfxj,

(1.2.12)

6) соотношения порядка можно интегрировать и по пере­

менному, а именно: пусть

f ( t , z)

= 0 ( y ( t , е))

равномерно

по

(с, d )

при

е

a,

eeS.

Тогда

|ср(х, e)\di ^j, г ->■ a,

seS.

(1.2.13)

Наконец, отметим, что соотношения

порядка

можно комбиниро­

вать следующим

образом:

0 ( Q f ) = 0 ( f ),

0 ( / ) 0 (ср) = 0 (/ср),

о (Of) = 0 ( f ) ,

0 ( f ) 0 ( ' ? ) = о(/ср),

0 (/) + 0 (/) = 0 (/),

о (/ ) + о (/ ) = о ( Л ,

0 ( / ) + 0 { Л = 0 ( П .

2.

Асимптотические

последовательности

и асимптотические

разложения.

Определение

6.

Последовательность функций

{ <рл (е)},

задан­

ных

на множестве 5,

называется а с и м п т о т и ч е с к о й ,

если

?лИ(е) = 0(<ря(е)),

е - а , eeS

(1.2.14)

Если условия

(1.2.14)

выполняются

равномерно относительно я,

то мы имеем

асимптотическую последовательность, р а в н о м е р ­

н у ю

по п.

Если

функции

<?п зависят от t

и условия

(1.2.14)

ностью, р а в н о м е р н о й

по

О пределение

7. Последовательности

{ <рл (е)} и {фл(в)}, обла­

дающие свойствами

?„(е) = ° ( W £))’

'Ы®) =

°(ср л (£))>

е -> a,

eeS,

называют

э к в и в а л е н т н ы м и .

Из свойств соотношений порядка, перечисленных в предыду­

щем параграфе,

легко получить следующие утверждения:

1)

если { <рп } — асимптотическая

последовательность, то по­

следовательность

{|?л|“ },

а > 0,

будет также асимптотической;

2) пусть

5 — интервал а <

е < (3

и {

(е)} — асимптотическая

последовательность при е ->-

р.

Тогда

последовательность

' М £) =

| | < Р „ ( т)|<*т

е

будет также

асимптотической

при в

(3

(естественно,

предпола­

гается, что все интегралы сходятся);

3)

пусть

c<Ct<Cd,

и

при в -> a,

eeS последовательность

|срл(£,

е)) является асимптотической,

равномерной по

t.

Тогда

последовательность

d

Фя(е) =

£)|^т,

вс5

также

С

будет асимптотической;

4)

пусть

|<р (е)} и

(

(в)] — эквивалентные последователь­

ности,

а { ?„(в)} — асимптотическая

последовательность.

Тогда

где срл (е) — асимптотическая последовательность, т. е. срл + 1(в)

=

= о ( срл(е)], п = 1 , 2 , ... , называется а с и м п т о т и ч е с к и м

ря­

2 а п

(е)

п = 1

/ (О при

называется асимптотическим

разложением

функции

в —>•cl

до N -го члена включительно,

если

N

(о + °(<М))>£ а’

/(£) = 2 ап

/7=1

т. е. если

N

/(0 - 2 а п <рл(о

а.

------- ^

---------- ►о. £

<РлАО

Если

асимптотическая последовательность

{©„(©)}, по

которой

k - \

а х = lim

a k =

lim

/ со - 2

^ (o

<p*(0

(1. 2. 15)

1

<М0 ’

£-a

/ (и £) — 2

Ф* (*>е)

= о,

lim

________ ft=j_______

в-*-а

Фдг (*i е)

/(*> £) = 2

е) + ° ( М * » Е) )

равномерно по t e l .

k = \

З ам ечани е. В практических

задачах,

особенно в области

функция-решение f ( t , в), как правило,

неизвестна, не задана также

и асимптотическая

последовательность

в)}, по которой

сле­

дует искать асимптотическое

представление

функции-решения

f \t, в). В этих случаях часто в качестве

асимптотических

после­

довательностей используются

последовательности вида

п V, £) =

a n(t) Л

Ф„(*. £)

а п (* ) +

Ь п

У

причем функции

a n(t) и

bn

подлежат

определению

из

асимптотических

разложений

решений

дифференциальных урав­

нений представляет большие трудности.

Таким образом, если заданы асимптотическая

последователь­

ность {о>л (в)} и функция /(в),

то

из формул (1.2.15)

вытекает,

что асимптотическое разложение, содержащее

заданное

число

членов, о д н о з н а ч н о

о п р е д е л е н о .

Однако

одна и та же

функция может

иметь асимптотические

разложения

по

разным

неэквивалентным

асимптотическим

последовательностям.

Напри­

мер, разложив функцию sin

2 г при в -> 0 по неэквивалентным,

асимптотическим

последовательностям

? „ ( * ) = in (1

+ »*), М £) =

( 3 + 2.2

)

>

получим согласно формулам

(1.2.15)

sin 2 в =

2 In (1 +

в) -f In (1

+ в2)

— 2 In (1

+ в 3)

-f

Н. Н. Боголюбова.

Теоремы

о близости решений на конечном

и бесконечном

промежутках

Напомним некоторые определения.

1.

Пусть задана функция / (t). Средним значением этой функ­

ции

называется величина

г

Пт

J/(0 dt.

Т * со т

Среднее

значение

функции / (^)

обозначается по-разному, на­

пример,

/ или M t [/} и т . д. (В

обозначении М ( {/} индекс t

т

УИ( | / ]= 7 = Н т ф | } ( t ) d t .

(11. 1. 1 )

/(<>=

2

|^ О

| |Ч--- + |

-------y k n со

У

1

п п

где k { , , ... , k n — целые

числа, P

j

— постоянные;

шр ш2,

,

о я — фиксированные

вещественные

числа,

удовлетворяющие

ус­

ловию

К % + k 2 “г Н--------Ьk n шл ^

0

при любых целых

, ... ,

k n, не равных

одновременно

нулю.

условно-периодической функции.

Функция / (t) называется почти-периодической,

если она не­

прерывна на всей вещественной оси и для каждого

в > 0 можно

указать такое число / = /

(в) > О,

что в каждом интервале

длины

I найдется хотя бы одно

число

т, для которого

будет

выпол­

няться неравенство

Можно

показать далее, что

Т + а (?)

М { / ( * ) } = Н ш 4-

f

(Н.1.3)

?-о о 1

,)

а ( ? )

Полагая

здесь а (Т)

=

— Т,

находим

о

?

М {/ (t) }

=

lim - i-

(* f { t )

dt — lim -4- ^/ (£) dt.

?-*•oo

,)

?-*-oo ■*

.J

- ?

0

Пусть / ( 0 ,— почти-периодическая

функция. Тогда при любом

вещественном X определена

функция

2-217

У Т сс . пуб.т

'

-> «rvm.’c

17

В общей теории почти-периодических

функций показывается,

что

множество значений

X,

при которых

а (X) ф 0, не более

чем счет­

но, т. е. либо конечно, либо счетно.

Числа Xj, Х2,

... ,

X

,

удовлетворяющие условию а ( \ )

ф 0,

k — \, 2, . . . ,

называют

показателями Фурье функции f ( t ) ,

а

числа Ak = а ( Xft ) — коэф­

фициентами Фурье этой функции.

Таким

образом,

почти-периодической функции f

{t)

можно

поставить

в соответствие

ряд Фурье

2

*

е а » t

л=о!

п

Этот ряд

можно записать и

так:

2

а„ cos ( \

* +

h

) ■

/ 2=0

Если

среднее от / (£)

не

равно

нулю,

то -можно считать,

что

Х0= 0 ,

т.

е.

ствительных чисел (Xj, ... , ап называется

линейно независимым,

если не существует соотношение вида

r i ai

Г2 а2 “Ь ' ‘ * ~Ь г п ал =

л = 1 , 2 ,...

с рациональными,

не равными одновременно нулю числами

Если показатели

Фурье

почти-периодической функции ли­

нейно

независимы,

то

ряд Фурье

для этой функции

сходится

абсолютно.

2.

Перейдем

теперь к усреднению

систем дифференциальных

уравнений. Рассмотрим систему вида

х

=

е X

(t, х),

х

(0) =

х 0,

(Н.1.4)

где е >

0 — малый

параметр,

х =

{х х, ... ,

х п} — /г-мерный вектор.