книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

-

/

ч n

1

(1 - rt2)-1

Ь п ( T> a ) =

[ a n ( T’

+

a n

a ) P n

-

3 л ( S ^)

J

0)2 (x) m (l)

-

/

1

(1

~ «2)-1

c n ( T>a )

~

[ P/I (T>a )

+

(T>ft) Q n "I-

q)2 (x) M(x)

3.

Рассмотрим

теперь

систему

интегро - дифференциальны

уравнений

х = s X

{ty х) +

е f

Y [t,

s,

х (s)) ds.

(III.7.16)

6

Будем аппроксимировать

решение

x

(t )

уравнения (III.7.16) вы­

ражением

x

=

z и \

iio {t, \) -\ •■•,

(III.7.17)

где £ (^) определяется из

уравнения

Ь г Ф ,

(;)

4- в2 Ф2 (ЮН------•

(III.7.18)

Определим теперь функции Ф/;,

к к . 11одставим (III.7.17)

в (III.7.16)

и учтем (III.7.18). Имеем

Ф1

Ш +

Ф2 (5)

+

ди{

+ ^2- | !- ф , ш +

^ - й“2 +

~ дГ

I

=

* X ( t ,

г ) + 6

\' Y(t, S , l ( s ) ) d s

f £ 2

i £ | i L и, (<, ?) +

г д У (t,s, £ (s ))

«1

(5,

t(s))fl(s

(III.7.19)

+ *2J ------—ft--------

Приравнивая

в

(III.7.19)

коэффициенты

при одинаковых

степенях

г,

получаем

следующие

формулы

для

опредетения

функции

и

Ф

"

Llk '

к ’

Т

1

1)

Ф, (;) =

1нп-И|ЛГ(<Д) +

.?<*, 5)|

Т-ОО

I

ux (t, 5) = J

[X (Т, S) +

Z,

(Т,

5) -

Ф, (S) ] ^

■;

(III.7.20)

Z,

Г*,5) =

I у (t, s,

;) ds

т,

1

2) Ф 2 & «= lim

j

дХ ¥ ,ъ)- и { (t, £) +

Т-*°°

(J I

’

+ г 2(т, I) -

д " ' £ Л )

Ф,

(?) - Фг (?) J л

Z ( < J

г ) =

j

щ ( s > г )

. .

Z, (t, ?) =

(

Y (t, s, ?) ds, Z2 (t, ?) = f d r i -С?- u, (s, ?) ds.

■

*y

«

U'V

§ 8. Усреднение дифференциально-операторных уравнений

Естественным

обобщением интегро-дифференциальных урав­

исследования

таких уравнений с учетом работ [139, 140].

1. Пусть Е

и Е х— банаховы пространства. Абстрактные функ­

начим значение функции х (•)

в

точке t. Введем

следующие

пространства: С (s, L , Е ) — банахово

пространство непрерывных

функций, определенных на числовом

отрезке [0, Ь г ~ х ]

, со значе­

ниями в Е и с нормой

| *(-)| c(.,i,.)=

т а х , 1 И <)||,.

l* ( - ) | c ( S, £l = s,ue

|я w

i k

■

t>о

1

1

Вместо С ( 1 , 1 , £ ) будем писать

С (L,

Е).

Для

подмножества D

пространства Е обозначим через

C ( S , D )

и С (s,

L ,

D)

подмножества

функций

из

С (S, Е)

и С (г, L, Е)

со­

ответственно, принимающих значения в D.

Пусть

А — нелинейный

оператор,

отображающий

С (L,

Е)

в

С (Z,,

Функцию

у (•) е С (L, Е х),

являющуюся образом

функ­

ции х (

•

)

Се

(L, Е)

при

отображении

А ,

естественно

обозначить

через

(Ах (•))(•)• Если х (•) =

х =

const,

то ее образ естественно

записать

в виде

( А х ) ( - ) .

Для

упрощения

вместо (Ля: (•))(•)

и

(Лл*)(.) будем писать Ах (•)(•) и

Л л '(- ).

В

соответствии

с

этим запись

Л *

(*:)(•)

следует

понимать_так

же,

как

выражение

(Л л '(т))(.),

т.

е.

это

образ

функции л:(-)

= л ;( т ),

где х (т) —

значение функции * ( • )

в

фиксированной

точке

т;

Лл (•)(/)■—

значение функции у (0) =

(Л.х(-)) (•)

в точке

t.

Определение. Оператор Л называется

оператором

типа Воль-

терра, если значение функции

у (•) =

Ах (•) (•) в

точке

t

зави­

сит от значений функции х (•) лишь

при т

<[93].

Для

того

чтобы подчеркнуть,

что

оператор

Л

определен на

С (L. Е ),

иногда

будем

снабжать

его

индексом

L, при фиксиро­

ванном L оператор,

определенный

на

С (г,

L, Е), — индексом е.

Аналогичные обозначения примем для операторов

Л : С (S, Е) -

С (S,

Е х) и В : С

(s, А,

Е) -

С (е. L,

Ех).

2.

Методом сжимающих отображений можно доказать теоремы

существования и единственности

задачи

Коши

для

следующих

дифференциально-операторных

уравнений

с

малым

параметром

з

[ 1

4 0

[ :

1)

=

Ах (•)(/)),

АТ (0)

=

JC0,

(Ш.8.1)

где / (t, х, у) —- абстрактная функция, /: S x E x E t -> Е\А : С (5, Е) —

— С {S, Е х) — оператор

типа Вольтерра;

2)

Xd

P - = * f

Л, л-(•)(*)),

х ( О ) = х 0 -

(III.8.2)

здесъ J - . S X . E X

Е х - Е ,

Л£ : С(е, L, Е) -

С ($,

L,

Е\),

L

-

фикси­

рованное

положительное

число.

Приведем эти теоремы без доказательства.

Теорема III.15. Пусть:

1)

функция/ (*,

л-, у)

определена,

непрерывна

по t,

ограни­

чена

и

удовлетворяет

условию

Липшица

в

области

2

=

{tfeS,

II *

-

*0 ||. <

Ус£,1)•

||/(<,

у )|u

1|/(</. •*'.

>

Л |

|

<

<

X( IА' —A" IU +11 у' —у" [|£, 1;

Тогда

для любых

s > 0, О < L <

Lt] существует

единственное

решение задачи (III.S. 1) на отрезке [0,

Ls~l J,

где

L0 — положитель­

ное число,

удовлетворяющее условиям M L 0 ~^b, к (1 -f- a)Lu <. 1.

Теорема

111.16.Пусть:

1)

функция

/ (t,

л', у) определена,

непрерывна

по t,

ограни­

чена

и

удовлетворяет условию

Липшица

в

области 12 =

(tfeS,

\\х —хЛе

y,sEi).

•||/(<,д:.у)||£ <.-И, ||/(/,*\у')-/(*,л-",у''))|£ <

<

'■I II х'—х" ||£ +

11У — у" ||£i);

2)

оператор

Д

удовлетворяет

условию

Липшица

на

шаре

В г пространства С (s,

L , Е) для 0

<

s < е0:

Д =

{ *

(•) е С (s, L, Е),

|Л- (•) -

x 0\it LtE< b ,

л

л-1

Д -*_,(■) И

<

у р ,

( ■ ■ ) ( ■

)|

ML < b ,

л (1

-f u) L

< 1.

Тогда для

любого 0 < е <

е0

задача

(III.8.2) имеет единствен­

ное решение

в шаре В е .

1 т

(t, х, A x ( t ) ) d t

= f 0 (x).

(III.8.3)

Urn -у- j* f

Наряду с задачей

(III.8.1)

рассмотрим усредненную

задачу

^

=

*/»(«(<)), « ( 0) =

.<„

(III.8.4)

(III.8.1)

и (III.8.4).

Теорема III. 17.

Пусть:

непрерывна по t, ограничена и удов­

1) /(/, х, у) определена,

летворяет условию Липшица

в области 12

— { teS, х е Р ^ Е , уе/^} :

||/(<. +

у)||£ < ж ,

||/(<, А-',

/ ) - / ( < ,

X " ,

У ')||г< М |и '- - *" ||е +

+ II у - У" к

I •

2)

оператор

А

удовлетворяет на

С(5,

Л)

условию Липшица

вида

|A y, (•)(<) -

Av2 (•) (О |£i < !А(t) |-Y, ( • ) - * ,

(•) |s, £,

teS

с функцией и. (/?),

такой,

что

1

т

0

при Г ->

оо,

(J. (t)

<

у;

~Y ( I1 (t) dt

6

3)

в каждой

точке x eD

существует предел (III.8.3);

4)

решение

«(•) задачи

(III.8.4)

при

0 лежит

в

области

Л с некоторой р-окрестностью.

Тогда для любых yj >

О,

Z, > 0

можно

указать

такое е0, что

при 0 < е < з0

на

отрезке

[0, Z,e_1 J

будет

выполняться нера­

венство

|*

(*) — и ( 0

Не <

Ч-

.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего

заметим,

что

функция

/о (х)

удовлетворяет в области Л

условию

Липшица

с

той же

оператор

Ае ,

определенный на C(e, L,

Е)

и удовлетворяющий

условию

АЛ (.)О Т —АЛ (.)(г)|£|< !Ч «

е,

L, Е ’

te

О, Le

Оператор

А

будем также

обозначать символом

А.

Для оценки \\x(t) — u(t)\lE запишем

x {t) — u (t) =

в f [/(-,

х(т),

Ах (•) (х))

- / о ( « ( т))]

=

t

6

=

« ( [ / ( * .

л *

(•)('))

“ (т). Л и ( - ) М ) ] * +

/ ( ' ,

и (-),

А« (•)(-))

—/ ( т.

« О ) . Л и (■')(■')

dz +

/(•=,

« ('),

Л и ( . ) ( т ) ) - / 0(Н(Т))

(III.8.5)

||е

^ ( • ) ( х) ) - / ( * . и(*), Ли(-)(т))]дГт

<

=

sX j

||x (т) — и (т) |£ Л +

ХЛ \x (- ) — u(-)\t L £ o(e),

0

где 8 (г) -* 0

при г -»■ О.

в (III.8.5)

имеем

Для

второго слагаемого

/ ( Ч « ( х ), А и ( - ) (х )) — / ( х , « ( т ) , ' Л « ( х ) (х))

* ! ! « <

о

< sX j |Ли(-)(е) — А и ( t) (x)||£ i*

< е Х j

(л(х)|и(-) — a ( % t L E d z <

< г л j

|х ( х )

(

| «

( • ) |.(

£

+

| й

( х )

|£ )

r f x 8< ( е2 е) Х.

| и (

Для

решений х ( - ),

« ( - ) е С ( г ,

В , Z:) справедливы неравенства

I X ( •)

-^0 1е,

Е ^

|** ( ‘ )

-*0 fs. L, Е ^

Обозначим

ф(х,

a ) = f ( x ,

и, Аи (х)) —/0 (и).

Функция удовлет­

воряет в D условию Липшица

;|фЧ и') -

ф (х,

и") ||£ < [2Х +

Xji(x)]

|«' -

«"||1Я'

Разобьем отрезок»

[0,

Ьг 1 ]

на т

равных частей

точками

.-1

<„ = 0, / , = ^ т ,

. . . . t„ = L z - ' .

Пусть

=

и ( ^

j.

Предположим,

что

*ft+1]

для некото­

рого

0 < k < т — 1.

Тогда

t

Л -1 *1 + 1

И,)] dx +

s

|б(х,

«(x))afx||£ <e|| ^

j

[Ф(Ч й(т)) — ф (**,

1=0

л - 1

*1+1

+

j [Ф(х, И

( х ) ) - ф

( х ,

«

л ) ]

^ | | Фf

+( Ч £^|) 2^ +

j

*л

*=о

*1

+

j

Ф ( х .

и л ) ^ х ^ 1 + ^ 2 ’

*л

пг-1

*1 + 1

Л*1< £ 2

I [2Х+ ^ ( Х)]||И(Х) ~ Й1|MX<

1=0

1£

1 0 -2 1 7

145

<

Ш

£

2

Lt -1

eKLM,

m

+

L ~^ —

j

H ( x ) d x

=

a(/7 7, e ) .

Ясно,

что а (/я,

s) — О

при m

со,

Пусть

Ф

(*,

и )

=

-J-

f [/(x,

И,

-Аи(т)) —/о (и)]

dx

Ф0 (e,

й) =

sup хф — , и .

0<т<£

\

/

Легко

видеть,

что для

фиксированных

т,

k,

i,

ut \ i = 1 ,

m — 1 ;

k =

0,

m — 1

Ф

д

« , 1 - о . Ф

/

(k

+

1L)

uk

-+0,

Ф0 (e,

й*)

- * 0

При

0.

zm

-,

Тогда

*-i

4 +1

1> ( *+ , чке)

/Г2< е V

j

4> ( Ч

« , )

*

*

j

i=

0

m—1

*i+l

Ш—1

<s2

j

Ф ( x ,

Й . )

flfx

£

+ e2

J

* ('. «гЛ

di

+

i = 0

0

i=l

‘ т —1

+ е

I ' И Ч

"* ) Л

< е

2

<,+1 ф (<(+!’

"<)

+

m—1

L i=o

' т —1

+ Ф 0 ( £> u k ) < ^

2 Ф 1 */ + ! ’

И / ) +

г = 1

i=0

ш—1

+

max

Ф (г,

и

) = F {m ,

г),

+ 2 ф ( ^

“<)

0 < к < т - 1

'

'

f=i

F (/7г,

е)

0 ,

е -+

0 .

Следовательно,

II ■ * (/) —

« ( О

||£

<

( ^ 1

X ( - ) - U ( - )

\tiL,E +

+ 2XI|M(-)|i £>£) S ( s ) + a(m,

е) + F (m , е) +

+

еХ j |л: (т) — й ( х )

||£ dx =

а

+

еХ

f |*

(х) — й ( х )

|£ dx.

о

о

Используя лемму

Гронуолла—Веллмана,

окончательно получаем

||х (t) — u(t) ||<

a e tlt <

a e XL.

Выбирая

т и в такими,

что

а < e ~ XL min

(р,

т;), получаем

ут­

верждение теоремы.

Покажем, что при достаточно малом в решение задачи

(III.8.1)

определено и не покидает области D на всем

отрезке

[О,

Ls- 1 ].

Действительно, в силу условий теоремы решение задачи

(111.8.1)

существует

для

te [0,

Де-1

],

где

L x

определяется

из

условий M L { < р, X (1 +

р.)Д <

1. Так как х 0 находится внутри D,

то

на некотором

отрезке [О,

Т*]

решение

х ( - )

будет

лежать

внутри D. Выберем

a < e ~ XL min (р/2,

yj/2); тогда всюду на

[О, Т*]

будем

иметь

(t) — и (t) ||£ <

Если

Г*

< L yz~l ,

то

на

[О,

L {e~l ]

в силу

непрерывности решений

.*:(•),

и ( - ) найдется

точка Г,

в которой р/2 < |x{t) — и (Z)||£ < р, т.

е.

при

t = T

ре­

шение х(*) еще

не

покинуло

D.

Значит,

Те [О,

Т*]

и j|x:(Z)—

-и(/)|/ Е < р /2,

т.

е.

Т*

> L { в-1 .

При достаточно малом в решение х ( - ) лежит

в D

с р/2-ок-

рестностью. В самом деле, для а <

e~XL min (р/2,

tj/2) и л:, таких,

что

| | (/) — х\\Е <

имеем \\u(t) — .*J|£ < § x (t) — u(t) \Е

-f

<р. Используя это замечание, методом сжимающих ото­

бражений можно показать, что решение .*(•) задачи (III.8.1)

продол­

жаемо на отрезок [Z^e-1, (Z,t-|-Z,2) в-1],

где L 2—положительное чис­

ло,

удовлетворяющее

условиям М Ь 2 < р/2, X (1 +

jx) L 2 <

1.

При

этом решение .*:(•)

на

всем

отрезке

[О, (Д +

L 2) в-1 J лежит

в D

с р/2 окрестностью.

Продолжая рассуждать так же, получаем что решение задачи

(111.8.1)

определено

для

всех

te [0,

Z.s_1 ]

и

не

покидает

обла­

сти

D.

4.

Для задачи

(III.8.2)

усредненное

уравнение построим сле­

дующим образом: пусть существует предел (по норме простран­

ства Е),

не зависящий

от а,

0 < а < 1,

aLe~ 1

lim ТЛ

J

/(Z,

A £ X (t)'jdt =

f i (x).

(III.8.6)

s-°

0

Усредненная задача

имеет вид

=

Ф (и (<)).

«(0) =

*0.

(III.8.7)

Теорема III.18. Пусть:

1) /(Z,

х, у) определена,

непрерывна по t,

ограничена и удов­

летворяет условию Липшица в области 2 =

{ tes,

x e D а Е .

у еЕ х\ :

1|Ж •*.

\\f(t,x', y ' ) - f ( t ,

х", у") |£ < X 1 1|х' -

х" ||г +

+ ||/ — у "| У ;

2)

оператор

А.

при

0 < s < e 0

удовлетворяет

на

С(е,

L,

D)

условию Липшица

х , (•) (t) -

At x 2 ( - )(t) |£

<

I

i, £ . fc[0,1л~'\

с функцией (x£

(t),

такой, что

u ~ l

- j - J

p CO flfr -►0 при e -> 0,

ц£

(x) < p;

0

3)

для

всех

x eD существует предел (III.8.6);

4)

решение

задачи (III.8.7)

при t ^ O

лежит

в D с некоторой

р-окрестностью.

Тогда

для

всякого

tj >

0

можно

указать

такое

e i < e 0i

чт0

при 0

< s < з,

на

отрезке

[О,

Z,s-1

]

будет

выполняться

нера­

венство

||Л'(0

-u{t)\\E <ri\

здесь

L — фиксированное положительное

число,

удовлетворяю­

щее условиям

ML < р,

А(1 + р) L <

1.

Схема

усреднения

задачи

(III.8.2)

включает

в

себя

схемы

усреднения обыкновенных

дифференциальных

уравнений,

урав­

А * ( • ) ( * ) = f <р(*, 's

x { i ) ) d x

0

задачи (III.8.1). Однако

и других, а также схему усреднения

усреднения. Пусть

существует предел (по норме пространства Е)

lim

1

т

- -

Cf(t, х, y ) d t = f 0 (x, у).

т—

о’

дующие усредненные задачи:

= е/о ( и (t),

А и ( - ) (*)),

к (0) =

Xq,

^ p - = = z f o ( u { t ) ,

А « (• )(*)),

и(Р) =

х 0.

В настоящем параграфе

будут исследованы

уравнения вида

t

а + ах +

— f

(t)

+ el j

ft (t,

s) x ( s )

ds.

о

1. Рассмотрим сначала интегро-дифференциальное уравнение

типа

t

х -\- ш2а =

\ R {t — s) x (s) ds

J

(IV.1.1)

A (0) =

X 0, X (0) = A 0

где

e >

0 — малый параметр, X и со — постоянные.

Полагая в интегральном члене уравнения

(IV.1.1)

t — s = а,

записываем это уравнение

так:

t

X -f- со2а =

г\ ^ R ( o ) x ( t - a ) d a .

(IV.1.2)

Полагая

о

X — CLCOS ф,

А =

— <2со Sin ф,

ф=

со£ -f <р,

a

cos

ф — CLrf sin ф=

О,

приводим уравнение (IV. 1.2)

к стандартному виду

а ~

—

а

sin (со£ +

<р)

*

—

j* R (о) a (t — a) cos (со (t —a )+ rf (t — a)) da,

‘о

9

^—

t

(j а a) (t — а )COS ( с о (t —

=

cos ( с о *

+

с рR)

а )

+

о

+ <р(t — а ) )

da

а0cos ср0 =

а 0,

aQsin <p0 =

—

a0= a (0), cp0 =

(0)

(IV. 1.3)