книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

+

Ь

— т)

[Сх (х) Ух (т) + с2 (х) У2 (т) ]3 fl?x|

О

J

(V'.2.32>

С2 =

zDyx (t)

— h (Сх ух +

с2у2)3 +

г

+ Ш2 j R (t — х) [Сх (т) Ух (т) + С2 ( х )у 2 ( х ) ]

r f+x

о

+

b J R

(t — X) [ct (х) у,

(т) 4- с2 (х) у 2

(х)]3 ^xj

где

-1

D =

const.

Ух(*) У2 (t) — y2 (t)y l (t)

=

значениях

a f а = z(3, 0 <

[3 <

в (V.2.32)

можно

положить

Ух (* )

= 2

d k c o s

+ P)

^ У2 ( 0 = 2

d k s in

(^9 +

P)

— 0 0

—

0 0

He умаляя общности, в (V.2.32)

постоянную D

можно

считать

равной единице,

полагая при этом

Mi (0) = У2

Ух (°) = У2 (°) =

°-

Систему (V.2.32) будем решать

методом усреднения. Этой сис­

теме соответствует усредненная

система

i = — ~Y [ cl\£+ #2 rl — ^3rl( ri2 jr £2)+ tf4 £ (r? 4- ¥) ]

(V.2.33)'

71= ~T Iй2 * — a ' 72 — a * 73№ + ^ ~ a3 *

+

^2) ]

оо

-

0 ) 2 2dl

.

d , R c k

— oo

j .

(V.2.34)

Rsk= j R(s) sin (kB +

p) sds

>

0,

Rck

0

= J R (s) cos (kB +

p) sds >

0

X

о

Нетрудно заметить, что ряды в (V.2.34)

являются

сходящимися.

Интегрируя систему, находим решение уравнения (V.2.23):

T ( t ) ~ \

(t) ух (t) + 7j (*) у 2 (t)

=

а 0

______ Oi_________

X

— a.Qа4 exp (— eat t )

l x

exp

^ - )

2

d

k s i n { ( «

+

p—

^ - ) < +

J

—oo

+

' § 7 l n [ a i _ a o^4exP ( - £ai

*)] +

? o } ’

(V.2.35)

где a 0,

cp0 — произвольные

постоянные.

Полученное решение свидетельствует

о влиянии

вязких

чле­

нов на частоту и амплитуду колебаний.

Так

как а х > 0,

то,

сле­

довательно, решение (V.2.35) затухающее.

4.

Исследуем теперь

вынужденные колебания

вязко-упругого

стержня

под действием возмущающей силы

/ (t).

Связь

между

напряжением ах и деформацией ех примем в виде (V.2.20). Тогда

поперечные колебания прямолинейного вязко-упругого стержня,

сжатого

периодической продольной силой P (t ) ,

описываются ин-

тегро-дифференциальным уравнением

[146]

t

Г ' +

/?2(1 - 2 8 c o s 0 * ) T = e

- А Р +

ш2

о

т)

Т (т) d x

т) Р

( х ) d x

+/(<).

(V.2.36)

Пусть внешняя сила, действующая

на систему,

имеет

вид

/

(f) = a sin Xtf, а,

X = const.

(V.2.37)

Учитывая

(V.2.37)

и полагая Р (t)

=

Р 0+ в P^cos В1,

записываем

уравнение

(V.2.36)

в форме

Т" + р 2 т =

2о/72cos б t

Г - Л Р

+

ш2 j

R { t - x ) Т(т)йт +

+

Ь f

R (t - х )

Р

dx( х )

a

sin X/.

( V

. 2 . 3

8

Исследуем движение

системы

(V.2.38)

при р Ф X.

Заменив пере­

менные по формулам

Т (t) = pi cos pt

c2sinpt -j-

p2a

sin I t

,

(V.2.39)

a\

Tr (t) =

p

^ cos

( — Ci sin pt + c2cos pt) -f- ■ 2 _

приведем

уравнение

(V.2.38)

к стандартному

виду

с,

=

— —lnpt (25/?2 cos Bt (cxcos p t -{-c^smpt -f^sinXtf) —

t

— h (Ci cos pt - f c2sinp t

d sin At)3 +

-j-

to2

| R

(t — x)

[cj (x) cos /7x - f c2 (x) sin p '

-\-d sin Xx ]

d x +

6

t

+

b | R (t — x)

[cj (x) cos/7x -|- c2 (x)

sin /7x -f- d sin Xt ]3д? x

,

( V

. 2 . 4

0

'

=

£ COS pt

c2sin pt +

d sin U) —

C

----- -— %p2cos Bt (Ci cos pt +

2

p

t

— h (ct cos pt -f c2sin p t -f- d sin X£)3 +

+

Ш2

j

(t — x ) \cx ( x )COS /7Х -j- C2 ( x

)sin /7Х

d sin X x ]

J x-f

0

t

+

b | R (t — x)

(x) cos / 7x -f Co (x)

sin p~ +

d sin Xx]3 d i

где

a

d =

'

—

Систему

(V.2.40)

будем

решать

методом

усреднения. Этой сис­

теме

при

0 = 2/7,

р

X,

-^-Х,

ЗХ соответствует усредненная

сис­

тема

-

-f [ь3г+ (ь-ь) У1- ь хУ1(гпг2) + ь2e (г,2-н2))

Ч\=

- у - [(^4 +

8) 5 — &3 Ч —

b-> -Ц( т

+

S2) —

,

(V.2.41)

-

b x\w

+

щ

где

3 b d *

3/?rfg

3 b d °-

Ьз =

*2* , +

2p* Я , . Ь4 - *

Я

е +

2p*

R c -

2/?2

Легко

проверить,

что

точка

? =

^ = 0

является

единственным

положением

равновесия

системы

(V.2.41),

и это

положение при

* < К

2

+

2

будет

асимптотически

устойчивым.

Отсюда

следует,

Ьг

что

Т (t)

= d sin kt

при

о <

b4 -f b3 будет

асимптотически

устойчивым.

Системе (V.2.40)

при 0

2р, р =/=X, ЗХ,

X будет соответство­

вать

усредненная

система

'

г =

-

Ц -

[ь3 ? +

*4 -п -

*,

г, (’i2 +

г ) +

ь ,

г (V +

£2)]

(V.2.42)

'■п= ^[ьлЬгг,- ь,т)(^ + ») _ ь, 5

+

г*)]

T ( t )

Ctr

s p b 3 t

X

ехР;

Ь3 — Ь2 а 0 еХР ( - гР Ъъ

Ь

)

X

sin {( Р —

Ь 3

~

Ь 2 а 0 е Х Р ( ~ £^ з 0

■+

-Ь 9о ) "Ь d

sin ^-t)

(V.2.43)

где а 0, ср0 — произвольные постоянные.

Заметим, что Ь3> 0, поэтому

при

t-+co решение уравнения

13-217

193

Известно, что флаттер

представляет собой

явление,

при

ко­

тором тонкостенные

элементы конструкций (стержни,

пластины

и оболочки), обтекаемые

потоком

газа, при определенных

кри­

тических

скоростях

приходят в колебательное движение с

ин­

тенсивно

нарастающими

амплитудами.

Различают изгибно-крутильный и панельный флаттеры.

Панельный флаттер начали изучать с 1947

г.

после

открытия

А. А. Ильюшиным

закона

плоских сечений

в

аэродинамике

больших

сверхзвуковых

скоростей

[37].

ниях

пластинки

бесконечной

ширины,

движущейся в

газе

с большой сверхзвуковой

скоростью V [141].

Введем

в плоско­

сти пластинки ось координат ох,

направление

которой

совпадает

с направлением движения.

имеет

вид

Как

известно

[91],

уравнение равновесия пластинки

д х 2

'

ду2

дхду

(V.3.1)

где q — интенсивность

нагрузки,

распределенной по

верхней

поверхности пластинки,

М х ,

М у —

изгибающие

моменты,

д х 2 = ~ У'

(V.3.2)

0

( t -

v t

- v

t -

h)

^ ( Ti) £Д s

) e ( тз)

3

0

0

0

где

{i) =

— z

^

(w (x,

t) — прогиб

пластинки).

Заметим,

что в случае отсутствия нелинейного вязкого члена,

т. е.

при G =

0,

эта

задача

была рассмотрена в работе

[76].

X

d*

‘

d2a> (лг,

x ,)

d2I0 (X, To)

d2w (x, x3) ‘

dx2

dx3

dx”

dx2

*

д -w

0

dw

dw \

(V.3.3)

=

- v - ~ w +

2

V 6x

~dT) ’

здесь

D =

2Eh3

ix =

2/zp,

В =

P<:'~

A)

3

(1 -

v2) ’

где

p — плотность

материала

пластинки,

2h — ее

толщина, Ро и

с0 — давление

газа

и

скорость

звука

в

газе

на

бесконечности,

'/— показатель

политропы

газа,

R {t),

Г 3

=

-3^

—

функции

релаксации.

Введем

безразмерные

величины

х

Т

для

которых

сохраним

прежние

обозначения

х, w ,

t, R { t ) y

Г 3 (t ,, t2,

Jf3).

Тогда

уравнение

(V.3.3) можно записать в виде

d*w

,

d2w

dw

,

dw

dx*

+

- dtЖ2 -

SJT +

2N * ~ dt

d2

d2w (x, x,)

+

Ш

г -<‘

^

^

^3) dx 3

dx2

X

0 0 0

d2w (x , t2)

diw (x, x3)

(V.3.4)

X

dx2

dx3

где

TV, =

2В VP

TV,

BP

*

D

V &

Рассмотрим случай, когда коэффициент демпфирования

TV2 — ве­

личина порядка е (дТ2 =

eTV2

).

Положим

# ( t ) =

SCO, (*),

г з =

eu>3 (/„

*2,

*3),

где е >

0 — малый параметр,

а со, и ш3—интегрируемые функции.

Решение уравнения (V.3.4) будем искать методом Бубнова —

Галеркина, полагая, что края пластинки

шарнирно оперты:

w (a-, t ) = /, (^) sin п ъ х +

/2 (£) sin т~х (т >

п).

(V.3.5)

Подставляя

выражение

(V.3.5)

в уравнение

(V.3.4),

раскры­

вая подынтегральное выражение в

тройном интеграле,

умножая

полученное

выражение

поочередно

на sin /гтсл: Hsin/wux и интег­

рируя

по х

в пределах

от 0

до

1,

получаем

А

(О + а х / ,

{t)

+

b f2 {t)

=

е а хj (Bj (t — x

) /

(j t ) ax +

t

t

t

(*

r*

r*

+ x j

j

) шз p

-

xi .

.

t -

\

)

[3ai / i

Ы Л

( t2 ) x

0

0

0

X /i(t3) +

2a xa 2f 2(t,)/2 (t2)/,(t3) 4- 2a xa 2f 2 (x,) /, (x2)

x

X f 2( -c3

)

+

a xa2

2f 2( t 2 )

/

, (

/x 2, )(

x 3 )dxxdx2dxz]

-

el\2f[

(t)

(V.3.6)

f 2 ( 0 - 4A ( 0 + « 2 /2 (0 = £«2 j 4 (* - 0 / 2 (0 dx 4-

t

t

t

0

+

f i T

Шз^

— xu *

- z2, t ~

Ts) [2 a ,a 2/ 2 ( х ,) /, (x2) X

0 0 0

X / i (хз) H- 2a ,<22>/ i ( x ,) /2 (x2) / ,

(x3)

4“ 2a xa 2f x (xi ) / i

(T2)X

X /2 ( T3) +

^«2 /2 ( Xl)/2 ( Тг)/2 ( Тз)] dxxdx2dx3

8 TV2/2 (t )

|

где

«1 = ( ^ ) 4, «2 = {тъ)\ b = ^ ^ _

Положим в системе

(V.3.6)

e =

0.

Имеем

X

( 0

+

a , / , ( / ) +

* /,(< )

=

0

'

(V.3.7)

fl

( 0

+

a 2f 2(t)

— b f x {t)

- 0

Характеристическое

уравнение

вырожденной

системы

(V.3.7)

имеет

корни

а

■а,

]/(

а0 — а,

— ь 2

к ,

- ( -

S ,,2

+

( Л , л = 1 ,

2)

Общее

решение

системы

(V.3.7)

при

b <

=*=

имеет вид

/ 1

=

Oi cosp xt +

c 12 sinpit +

a (b) [c2x cos p 2t +

^22 sin p 2t\

(V.3.8)

/ 2

=

а (6) [ctl cosp xt -f

cx2 sinp yt\~r c21 cosp 2i -f c22 sinp 2t

здесь

c.j — произвольные постоянные,

Pk=

v

a (b) =z~ ]

/

?

^

r ;

г = аг- а 1 = _ ^ . 0 < а < 1 ; 0 < 6 < S*.

Решение

системы

(V.3.6)

при

е Ф 0

будем

искать

в виде

(V.3.8), полагая, что

c.j — неизвестные

функции

времени. Для

определения

этих функций

получаем уравнения

с,г = ^ Т ^ Г , [ Л (<) -

(01

где через

(^) и

Z7., (^)

обозначены

правые

стороны

системы

(V.3.6).

Система

(V.3.9)

имеет стандартный

вид, поэтому

ее

решение

можно искать методом усреднения.

Системе (V.3.9)

будет

соответствовать усредненная система

дп Л -

2

"^11^1 ^12 +

%11

X

Х (^ п +

S?2)

+

d 2 &12 ( Vn +

^2)

*12 = +

£ — \ A

£п +

( АПД -----jp /V2)

S12 — d'2 Ъ11

X

?’21=

Л 22 А ---- 2 ~ ^

2 ) ^21 + ^ 22В 2

^22 +

~Ь А

^21 (

’21

A ;jj)

А А ^22 ( ’21

А ^

— £

Л22 В 1 ’21

"Ь I

А А -----О" А>

)

^99 ~

9

2

I

’22

__ Н

£

( £2 _L А

'\

Л- Н

5 Г i2 _1_ ?2 \

w4

’21

^

’21

1 ’22 I

1

.3’221 ’21

’22 )

где введены

следующие

обозначения:

^

0.'лО.“ — (X|

—Я2

(V.3.11)

11

=

2 р \ ( \ - * )

;

22

2/72 ( 1 - а 2 )

*

СО

оо

А . =

f со (^) sin /7f

Я. =

Гto (/) cos р- tdt

( / = 1 , 2 ),

о

3 (

а4 а] — а ?)

6

А

—

3 2 ^ Г Г ^

[3A l l

4'

А>21 Т" А ,22 4~ А 2 2 ],

3 ( а4

а?)

А

=

32jPt (1 _а-)

[ A l l “Ь A

21

“Г А 12 4"

3А 2 2 ] «

d 3 =

3 ^g4

“

" 2)

А 4 З -|- А :Ш +

З Л 444 ],

32р

” (1 _

*2) — [ 2^433 +

3 (

а 4 a J — а 2)

А зи],

А

=

32/?2 (1 — 2-') ~

13 А зЗ +

А й з 4" А з 4

+

OOODOO

А п =

j"j*

(« 1, и2, и3) cosр {и { cos/7^2 cosp xu3d u xd u 2du3,

06

0

0 0

0 0

0 0

A n —

j ' J J

w)3 («i,

«о, и3) sin/?!«! cosPiU., cos p xu3d u xd u 2diiz,

A 43 =

j J J

o>3 (иь H2, h3) cos p 2 uxsin p 2 и2 cos p 2uzd u xd u 2duZi

600

o e c o c o

Л444. =

J J J

io3 ( H lt и 2 , и 3) sinp 2u xsin / ? 2и 2 sinp 2uzduxdu2d u z.

000

Интегрируя (V.3.10),

находим

exp

/

1

~

\

e |

An-^i — ~2'

N2

J t

«п

X

с, —

ехр

2е

I А ц Д~2~— N2 \t

/

2 ^2

Xsm\c2^-z^nBxt ——■In

Аи А —

^ h 2 ) c i — d i exp X

X sin | £4 -(- t^22B2t —

In

A22-A

2~^2 1^3

^22

X

X cos 1^4 -j"

In A>->A>

2 ^2

ГЗ

— d 3exp

2e ( Д22А ------- N2 )f

2 i V 2