книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

IIX (*, л ', у') - X ( t ,

х", у") II < X Ц\х' -

*"11 + Цу ' — У"Ц),

II ср (*,;&

* ')

— 9 (t , 5, *")

|<

(*, s) |* ' — х'%

|X {t, х,

у)

II < М,

X =

const,

М — const,

t

х

- j-

dx J

[i (t, s ) ds^O,

t

00;

о

0

2)

решения

x{t)

и \{t)

(E(0) =

* ( 0 ))

лежат

в области D пр

О < t < Z,e 1 .

0 < t

Тогда

на отрезке

< Z,e_1 справедлива следующая оценка:

\\x{t) -

\(0|| <

Ш Ь Ь ( г ) е и+Ще\

(LII.2.13)

где

о

( в )=

s

u p

^

0x

f i

p0j( 0 , =

- j “ j

dz j j i

( т s, ) ds,

о

0

8 (e) ->

0 ,

e -► 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из (III.2.11)

и (III.2.12)

находим

x (t) — Z(t) =

t г

т

,s, x(s)) ds) —

e j

X (

x , *

( x ) ,

9j

( x

-

x

l

x, £(x), j> (x ,

s ,i(s))d s

j

+

+

+

,

£(x),|<p( t,

s, i ( s ) ) d s

j

-

E(x), j 7 {z,s,i(x))ds

dx.

Следовательно,

t

t

\\x (t) -

£ (/) II <

eX jll x (t) - £ (x) |tfx +

sX jrfx x

X jV (x, s)|J *

(5) — £(s)|| ds +

0

+

ejXt /

xj V

( x ,s )

|| E

( S )

— 5 C O l l d s .

Так как на отрезке

.0

< t

< Is

1

II £(«) — £ Mil < M

Is -

х/ < Л11,

Лемма доказана.

е на отрезке О < t <

Итак, при достаточно малом

Z,e-1 реше­

ния систем (III.2.11) и (Ш .2.12)

как угодно близки.

Но система

довательно, к ней можно

применять обычные методы усреднения.

Лемма III. 2.

Пусть функции X (t, х,

у)

и <р(2, s, х)

опреде­

лены

и непрерывны в области Q( £ > - 0 ,

0, x £ D ( ^ R n , уе/??}

и пусть в этой области:

1)

X ( t , х, y ) e L i p x у (к,

Q),

|-X*|х(^, х,

у)\\<М,

¥ (*, s,

JO eLip^K *, s),Q );

х|1- (х, s)ds < ф(tf)£2,

ф (О ->0, t

оо;

3)

решения *(£ ) и Е(^)

(Ц 0) =

х ( 0 ) =

x 0eD ) систем

(II 1.2.1)

и (III.2.12) лежат в области D

при 0 < t < Z,e-1 .

Тогда на отрезке 0 < t

< Ze-1

справедлива следующая

оценка:

||xU )-i=(i)||«XA% (e)

<>+»,),

Фо(е)

sup X2

0<т<£

Если

в условии

2) второе

неравенство заменить на условие

t

X

s)ds < с21а ,

Jflfx Jjs — х| [х (т,

0 < а < 2,

о

о .

то

II * ( * ) — &(*) II < Ш с 2е2' V £(1+4

Доказательство

аналогично

доказательству

предыдущей

лем­

мы [5].

ф(t , х) =

s, х) ds

о

являются

периодическими функциями t. Тогда, полагая я = 1 и

учитывая

соответствующую оценку

близости решений исходной

(a)

) ds

d x (a)

ds

Полученное выражение для

t

jcp (*, s, x ( s ) ) ds

0

следует теперь подставить в исходное уравнение

(111.2.1) и вы­

полнить соответствующие

вычисления.

Такой

путь

обоснования

нашей схемы усреднения

рассматривался в

[16].

Заметим, что условия,

которые при этом

приходится накла­

дывать на правую часть

рассматриваемого

уравнения, вызваны,

пытаться

считать л: постоянным под знаком

интеграла.

Это ин­

туитивное предположение сразу приводит к

описанной выше

схеме усреднения.

Системе (III.2.1)

И. Обоснование второй схемы усреднения.

поставим

в соответствие

систему

усредненных

уравнений [113,

123,

127,

128]

где

5 = В*о2 («.

(III.2.14)

т

llm

- ~ г ^ X

(С х, <р2 (Z

*)) dt,

(III.2.15)

Ъ (Z X) = jcp (t, s, x ) d s .

(III.2.16)

и пусть в этой области:

1)

функции

X (t,

х, у)

и ср(С 5, х)

удовлетворяют условию

Липшица

х", у")||<ЧНх' -

Л \ + Ну ' - у"|||,

X(t, х',

II f

(t , s, х') — ср (t, s,

x")Jj <

(I (/,

s)|| x' — *"||;

2)

— jdx

j[x ( X ,

s) ds

0, t

-> + oo, X = const;

|* 02 (х)Ц <

M,

ЦХ02 (X') - Х о2 (х")Ц < VИдс' -

х %

v = const, М = const;

4)

решение £=!•(£),

E(0) =

x :(0 )e D

усредненного

уравнения

(III.2.14) определено для всех

0 и лежит в области

D с не­

которой р-окрестностью;

5)

вдоль траектории £ (t )

2

0, t -> oo;

t

6)

функция ср2 (^ х)

удовлетворяет условию Липшица

|®2 (*> * ')

— ?2 (*, -*")|| <

Р |I-V' — Х'Ц.

Тогда

для любых

т ] > 0

и L

можно

указать такое

е0,

что при

s < е0

на отрезке

будет

выполняться

неравенство

8 -2 1 7

ИЗ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

x ( t ) — l{t) =

е J

J^A^x,

*

( т ) . § ? ( * >

s > x ( s ) ) d s

—

S ( x ) , J < p

( t ,

s , l (s))ds j +

X^z,

S(x),

| с р ( т , s,

l(s))ds j —

— X

5 (x), J

cp(x, s,

5 (x)) ds j

-f

+

X ^x,

5 (x), J

cp(x, s, 5 (x)) ds j

— X 02 0

CO)

flfx.

Следовательно,

I I *

—

S

, |

<

e

X j |

|

j c ( x

) - S

( x )

| | ^ x +

/

T

+

eX j*dx jV

( x ,

s)|( *

(s) — £ (s) |ds +

eXjflfx j{x ( x , S,)/| l (s) —

о

0

о

0

— 5 X*) |ds + el^dx

J <p( x ,

5 ,

\( x ) ) ds

+

4 -

e j

X l x , 5 ( x ) , J < p ( x ,

5 ,

5 ( x ) ) d s

j

—

X o2 (

l

( x ) )

flfx||.

0

Пусть a >

0

любое.

Тогда, как и в предыдущей теореме, можно

показать,

что

при достаточно

малом е на отрезке

будет выполняться

неравенство

j

^

х

( х, )J,

<5р (х,

s,

5

(^))

ds j — Х 02 (

5 (

х

) J) d

x JI <

а.

Поэтому

l l

*

—SII <

еХ jll *

(х) —

(Sт )| |dx 4-

а

4

-

( е )

4 -

0

f

т

4- XMLb(t) 4- sX jdx J{x (x, s) Hx(s) — E(s)J|ds,

о

0

где

o ( e ) =

su p x [x 0 ( ~ ], 3 ( e )

0 , £ - > 0 ,

0<x<A

{а(х, s) ds,

' I I

Нч>(*) =

М х)=

I

1 (е) = sup i F

7 (е)

0, е -> О,

t

оо

F ( t ) = - ^ ^ d x j* ? (т, s, I (х)) ds

Из этого неравенства на отрезке 0

Заходим

\\х (<) - Ц П II < (а + Х7 (е) + ХЛШ (в) ) еи * ы\

ОтсюдаНи следует утверждение

теоремы.

Теорема III. 6. Пусть функции X (t, х,

у) и ср(t, s,

х) опреде-

лены дИ ^ непреры вны в области

Q [t^>> 0, s

О, х 6 D d

R n, уб/?? }

II Л- (t,

Х', у') -

*(< ,

X", y")ll<

M

i l•*' -

х "

| + ||/ - у "| | } ,

|<рIt, s ,x ' ) — <f

(t , s , л")

| | < | 1 (<, s)

IIX' — *"||;

2) - f |

*

s) ds

-* 0, t -» оо,

X =

const;

3)

в каждой точке xeZX существует предел (III.2.15)

и

I:

|*02 (х) II <

Ж , IIХ 02 (X') - Л-02 (У ') II <

VIU' -

[У'Ц ,

v = const, М = const;

4)

решение £ =

£(£), £(0) =

лс(0 )е D усредненного уравнения

(111.2.14) определено для всех

и лежит

в области

D с не­

которой р-окрестностью;

5) вдоль траектории S(£)

\

? (х, s, £ (х)) ds - * 0 , t

оо.

t

Тогда для любых

?] > 0 и L >

0 можно указать такое е0,

что при

е < е0

на отрезке

0

будет выполняться

неравенство

х — гХ

х, j* 9 {t, s, х (s) )

ds j

(III.2.17)

систему дифференциальных

уравнений

k = e x ( t ,

S, Jc? ( t , s M t ) ) d s

(III.2.18)

Относительно близости

решений

этих систем

может

быть уста­

новлена следующая

лемма.

X (t , х,

у)

и <?(t, s,

х)

опреде­

Лемма

III.

3.

Пусть функции

лены

и непрерывны

в

области

Q{t^> 0,

0, x e D ,

у е $ п ] и

пусть в этой области:

1)

X (t, х, у) е Lip,. у (К Q),

l\X, (t, х , у ) I; </И,

<р(i< S. х) е Lipx (|i (t, s),

Q);

t

t

t

т

2)

jd x jV (x ,

s ) d s ^ c t , jafx J[x(x, s) |x — s\ ds <

t2^x {t),

0

0

0

0

t

C =

const,

^i(^)->0,

t

oo;

oo

3)

J^X

| cp

( x , 5 ,

5 (t)) flfs

<

%

(*). ^2 (*)

0,

^ O O ;

4)

решение l =

£ (0)

= x ( 0 ) e D

системы

(III.2.18)

опреде­

лено

для

всех

^

0

и лежит в области

D с

некоторой р-окрест-

ностью.

для

любых ^ > 0

и L > 0 можно указать в0, такое, что

Тогда

при е < е0 на отрезке

будет

выполняться

неравен­

ство

X — £ == е j

х(х), |<р (х, s, x ( s ) ) ds^j —

- * ( ^ , Ц х ) , j c p ( x , S, Ц 8 ) ) ^ s j +

+

х ( т ,

S(x), jcp(x, S, S(s) ^ S ^ J— Лг(х, Е(х), Jcp(x, S, &(x))fl?S

J +

+

< x Y x ,

SCO, J < p K 5, S(0) d s

j — A"^x, \ (x), j < p ( x , s, S(x)) ds j

d~.

Следовательно.

л: — S j | < e X j

|UC0 — &(т)|| +

jy.(x, s)

\\x (s) — I (s) |ds dx-\-

-f eX j

dx jjx (x,

s)

jjt (s)

— £(t) |ds +

£X

j

dx j

cp(x, s, £(t)) ds

O O

О

I т

Отсюда

на отрезке

0 <;

находим

II * -

Е I K

Xft, (ОМ + ф2(s)]eu+uc,

где

'М £) =

sup т-J),

X ,

^,fe)

=

SUpx^2

—

,

0<x<Z.

1

0<x<Z.

\ 6

/

^ (s)-> 0 ,

е +

0, / =

1,2.

занные в предыдущей главе.

Усредним систему

(III.2.18). Имеем

i = eX02(l),

(III.2.19)

где

,

т

Х 02 (х) = Нш у - j X ( t, х, Y (t, s, х) ds

\dt.

(III.2.20)

о

'

Введем обозначение

Теорема III.7.

Пусть

функции

X {t,

х, у) и

s, х) опре­

делены и непрерывны в

области

Q { t >

0, s > 0,

xeD, yeRn } и

пусть в этой области:

1)

X ( t ,

х,

у) е Lip^ у (X,

Q),

|X ( t y х,

у)||<АГ,

оо

<?{t,

s,

jfJeLip^ ({«.(/,

s),

Q),

0

s)ds <

const;

t

x

2)

| dx j* jx (x,

s) ds < r f ,

c =

const,

t

X

j

dx J

у (x,

s) IX -

s I flfs <

(*), <j> (£)

0,

t

oo;

0

0

f

I oo

Ы 0 -*“0,

3)

J

*

J ? ( 4 5,

$ (x)) tfs

oo;

4)

в каждой

точке области D

существует

предел

(III.2.20),

причем

Л-02 (х) е Lip, (V, D), |Х а2 (х) |< N ;

5)

решение

Е(£),

£ (0) =

х; (0)

=

x 0eD

усредненной

системы

определено для

всех

t >

0

и лежит

в области

D

с

р-окрестно-

стью.

ч\>

Тогда для любых

0 и Z. >

0

можно

указать

такое е0, что

при s <

е0

на отрезке

0<;£< Х £-1

будет выполняться

неравенство

x =

eX ^t,

х,

j R (t, s) х (t — s) ds

j .

Соответствующая

усредненная

система имеет вид

<; =

вХ02($),

Х 02 (х) = lim

Г X

ft,

х,

ф(t) х ) dt, ф(t) =

? R { t , s) ds.

г -oe

о

oo

t

Т

1) j |R (t, s) j! d s < const,

J

dz j I R (x, x — s) ||ds < c*;

0

0

0

t

t

2) j

dx J |

s) Лsds <

(t), tyx{t)->0, t - > с о ;

Х-Л— &Х

х,

<Pi {t, Sj, x (Si)^ d s x, ... ,

t

t

t

(III.2.21)

H

-

l

0

M

* ’

S1........

S“ ’ *

K

) ........ •*C( V

) ) rfSl -

d s m

0 0

v

'

Выполним усреднение этой системы

следующим

образом. Пусть

t

| ?i (t,

su

z1)dsl =

^

(/,

zt\

о

f

f

I

I

‘*‘ 1 ^ m

Sl ’

S2’ “ •’

^1» Z2’

’

^m) ^ S1*•*^ S m

0

0

0

— t/n

Z±’ ZV *'• ’ Zm)'

Предположим, что существует среднее

i

т

х ,

ф4 (*,

х), ... ,

фот(*, x,...,x))dt =

^Г0(х). (Ш.2.22)

lim — ^X(t,

г -«

0

i = eX о (5).

(III.2.23)

будут близки. Предварительно

введем

следующие обозначения.

Через s{k) (аналогично

через

z{k)) будем обозначать совокупность

величин s

s , ...,

sk, т. е. s(ft)=

( s4,

s2, ... , sft),

k = \ , m . Вместо

подробной

записи

s4, ...

,

...

,

)

будем сокращенно

писать

s(k),

z(k)y Далее

обозначим

s<i

= (

s i* S2’

*

sj - v

S’

sj + 1* •••

»

)»

k = 1, m,

j

=

1,

л,

= flfs4rfs2 ... dsj_ldsj+ l ...

,

7 = 1 ,

A.