книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

2)

если R e ^ (x )< ;0 ,

то

функция

у ( х ,

t )

ограничена

при

| |-> оо,

где D t — оператор,

указанный

в задаче

1.

Найти

соот­

ветствующие ограничения

на функцию f x(л:,

t ).

Задача 3.' В области Q

найти условия

разрешимости

системы

L v k (х,

t)

=

hx(х,

t),

L v k+l (x,

t)

=

h2 (x, t) -f

v J O , 0) = v ° ,

k = 1, 2,

где v k (x,

t) — «-мерные

вектор-функции.

Задача 4. В области Q найти условия

разрешимости

системы

D t yk {x,

t) . = f x(x,

t\

D t yk+l(x ,

t ) = f 2(x,

t) +

дУк^ '

Ук (0,

0)

=

y°,

k =

1,

2,

где

уЛ--

«г-мерные вектор-функции.

3.

Перейдем

к разрешению этих

задач.

Введем

следующие

пространства. Через С" будем обозначать «-мерное

пространст­

во комплексных

функций от

вещественного

аргумента

х,

т.

е.

если f ( x )

е С",

то

/ i ( * f„(x) i )

/ (

■

*

) =

{

}

,

где

f t{x), i =

1, « — комплексные функции

вещественного аргу­

мента х.

Через

Z £=

Спх е*1 , i = 1,

« +

I

(

=

0)

будем обоз­

начать пространства, получающиеся из С" умножением элемен-

тов

пространства

Сх

на скалярный

множитель

е

1 ,

i —

= 1,

« -f 1 ( tn+x =

0),

т. е.

если

z. е Z.,

то

z . { x ,

t) =

=

л

(*)

е *

•

\/«£

У

Пусть далее

Z — прямая

сумма

пространства

Zf:

Z =

Z 20

@ Z 2® - * ’® z n+v Если z e Z,

то г =

{ z x,

z2, ..., £л+1}, где

^ —эле­

менты (векторы) из пространств Zr Размерность пространства Z

равна п (« +

1). Решение перечисленных

выше

задач

будем ис­

кать

в пространствах

Z

и

У, где

У

строится

так

же,

как

и

пространство

Z,

только

пространство

Y

имеет

размерность

т ( п - \ - 1).

Функцию z(x,

t ),

принадлежащую пространству

Определение.

Z и удовлетворяющую системе

(II.8.9),

назовем

элементарным

решением

системы

(II.8.9),

а

пространство

Z

— пространст­

A (t)

=

diag { tv . . . ,

tn)\

ег

=

( e 1 , ...,

e

n).

Вектор

z(x,

t) =

В (x) A (c(x)) e 1 -\-f(x),

как

вектор

прост­

ранства Z,

запишем

так:

z ( x ,

t) =

{ b l ( x ) c 1( x ) e \

...,

b n ( x ) c n( x ) e n , / ( * ) } ;

здесь

bt (л:) — вектор-столбцы матрицы В(х),

ct (л;) — компоненты

вектора с ( х ) , т. е. скалярные функции. Заметим, что эта

запись

носит

чисто символический

характер,

однако она

удобна для

дальнейшего.

вектор z(x,

t ) e Z

Вообще,

если нам задан

вида

z ( x ,

t)

=

{ f 1( x ) e 1,

...,

f n( x ) e n,

g (x)},

(II.8.11)

где

и

f t (x),

i =

i, n — /г-мерные

векторы,

то

этот

вектор

можно

записать так:

z(x,

t) =

F ( x ) е* +

g (х);

(II.8.12)

здесь

В (х)

— матрица,

столбцами

которой

являются

векторы

f t {x),

i — \, п.

Если

же задан

вектор

вида

(II.8.12),

то

его бу­

дем представлять в форме (Н.8.11).

Применение оператора L

к вектору z e Z

означает, что

Z ~ ( Z V

’

Z ti>

Z n + 1)

Lz =

( Lzv ...,

L z n,

L zn+j)..

Пусть zt = f t (x) e l eZp

i =

1,

n. Тогда,

очевидно,

D t zt = l [zl .

Отсюда следует, что оператор L

переводит любой

вектор

zi e Z i

в другой вектор того же пространства, так как

Lz. =

\ z t -

А0 zt =

( \ { x ) f i (х) — А0 ( x ) f t (х)) е 1 =

^ (х)

e

l eZr

Далее,

если

zn+1= f ( x ) e

Z n+1,

то

и

Lzn+l =

Л0 ( x ) f (х) =

= F ( x ) e Z n+v т. е.

оператор

L

переводит пространство Z

в себя.

Тем самым

установлено, что оператор L

отображает

простран­

ство Z в себя.

Введем

теперь сопряженные пространства

Z*

и Z*:

Z\ = Cnx e - * ^

z* =

z ; ® - - - ®

z ; +1,

i = Т 7 л ,

ф

ф

запишем

так:

Элемент z t пространства

Z t

z ] = { f a (*)

е ~‘‘

>- .

}.

п

п

( Zi< Z\ ) = 2

ZU (X) Z,k (x) = 2 f u

( x ) f it(x),

v

я-f-l'

A=1

k=l

< z , Z*> =

2

( zr z *), z i^ Zv z* e Z * ,

z e Z, z * e Z*.

i=l

v

1

(Здесь штрих — символ

транспонирования. Производная от

мат­

рицы А ( х ) будет обозначена

через А (л:)). Как и выше,

можно

показать, что оператор L* отображает пространство Z*

в

себя.

Напомним, что ядром (нуль-пространством) оператора

L

в Z

называется множество

векторов z e Z ,

которые оператор

L

ото­

бражает в нуль, т. е.

Lz = 0.

Очевидно,

что

нуль-пространство

оператора

L имеет структуру

z(x, t) =

В ( х ) еА ^]с(х ) =

В (х) А (с (х)) е\

где В (х)

— матрица,

столбцы

bt (x),

i = \ , n

которой—собствен­

ные векторы матрицы Л0(;с);

с (л:) — произвольный вектор.

В принятой нами записи вектор z ( x ,

t) запишется так:

z (х, t) = { b x (х)

сх{ х ) е 1, ..., b п (х)

сп { х ) е п, о}.

(II.8.13)

п

z ( x , t ) =

2

ci (x)m i {x,

t),

где

i=l

m l (x ,

t) =

{ b x(x)

e x, 0,

...,

o},

m z (x,

t) =

{o,

b 2( x ) e \

G, . . . , o},

0 = { ° ,

, 0, Ьп ( х ) е * п ,о\.

Чтобы

убедиться,

что оператор

L переводит вектор (II.8.13)

в нуль,

достаточно

применить

его к каждой компоненте

b t (х) ct (х ) е 1 вектора г (х;, t).

Имеем

т. е. действительно, Lz = 0.

Так как матрица (# -1(а:))

состоит из

собственных

векторов

матрицы (Л0 (л:))', то

нуль-пространство

оператора

L *

имеет

структуру

z (a, t)

= (В~\х))' e~k{i)с {х) =

( В - 1{ х ) ) ' А ( с { х ) ) е ~ г.

Запишем этот вектор как элемент пространства

Z*:

z (х,

t) = { сх(а ) Ь* (а ) е~*\ ...,

Сп (x)b\ (л) е

*п ,

о},

где

Ь\ (а) — вектор-столбцы

матрицы

( Я -1

( а: ) ) ,

а с. { х ) е ~ * 1 г

i =

1, /г — скалярные множители.

Очевидно, этот вектор

можно

записать

так:

п

z* (а ,

^ ) = 2

ci ( x ) m *iix > 0;

г = 1

здесь

т\ (х,

t) =

\b\ (а)

0, ...,

0},

Щ (a ,

t) =

{О,

b\ (а)

е

0, ... ,

о},

т*п {х,

/)=

{О, ..., О,

Ьп { х ) е

о}.

Наконец, заметим, что элемент AeZ

называется

ортогональным

к подпространству Ж * CIZ*, если для

каждого

элемента

т * еМ *

справедливо

равенство

<А,

т * >

= 0 .

значения матрицы А0 (а)

Теорема

11.16. Если

собственные

различны, отличны от нуля

и h { (x, t ) e Z ,

то для

разрешимости

задачи 1 в Z необходимо и

достаточно,

чтобы

правая

часть

системы (II.8.9) была ортогональна к

ядру

оператора Z,*,

т. е.

<

hx(a , t ), т*(х, t) >

= 0,

i

=

1, я,

где т\ (a ,

t ) е Ker L* с;

Z*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

вектор h, (х,

t)

имеет

структуру

К (*, *) = { К (х ) А

•••. М х ) A

/(■*)}»

где ^ (а) — вектор-столбцы матрицы Н ( х ) .

Тогда задача

заклю­

чается в том, чтобы найти решение уравнения

Dfz — A0( x ) z =

Н { х ) е

+ f { x ) .

(И.8.14>

Будем искать решение этого уравнения

в виде

г (a , t) = B ( x ) e A{t)v { х ) ~

A~l { x ) f ( x ) + D { x ) e \

(11.8.15)

где

В (х) — матрица

из

собственных

векторов

матрицы

А0 (х ).

Подставляя (II.8.15) в (II.8.14), получаем

уравнение для

опреде­

ления матрицы D (x ):

D (х) А (X (х))

-

Л0 (х) D (х) = Н (х ).

(II.8.16)

Пусть D (х)

= В (х) D 0(x). Тогда

(II.8.16)

примет вид

АГ„ (* )

=

D0 (х ) Л ( Цх )) -

Л ( Ц х ) ) О 0 (х)

= B~l (х) Н ( х ) . (II.8.17)

Очевидно,

диагональные элементы

ти

матрицы

М 0(х)

равны

нулю, а недиагональные имеют

вид

т.^ = ( Х^ (х)

— Х£ (х)) d tj (х)

( d tj (х) — элементы матрицы D0 (х)).

Следовательно, для разрешимости уравнения (II.8.17) необхо­

димо и

достаточно,

чтобы

диагональные

элементы

матрицы

В ~ х (х) Н (х )

были равны нулю, т. е.

п

2

hki м

b *ik(•*) =

( hi (*)>

ь\(•*)) =

°.

*=1

'

*

где

ht {x),

b*. ( х ) — вектор-столбцы

матриц

И ( х )

и

( В _1(х)У

•соответственно.

оператора L *,

Элементы

ядра

как

отмечалось

выше,

имеют

вид

( 5 -1 (х))

e~K(t)c ( x ) ,

т. е.

в нашей

записи

{ сг (х) Ь\ (х) е~г\ ...,

сп{х)

Ь*п(х )е~*п , о}.

Введем

векторы:

т\ (х, t) = {b\ (х) e~*i, 0,

,

0},

т*2 (х,

t)= {0 ,

Ь\ (х)

ё~1\

0, ...,

0J,

т*п {х, t) =

{ о ,

.О., . Ьп, (х) е *п, о )

Тогда

< g x(*,

t),

т* (х,

t ) >

=

( h. (х), b\ (x)j =

0.

Так

как

< /(х),

/тгГ (х,

£)>

=

0,

то окончательно

получаем

< hx(х, t ), т* (х, t) > = 0.

При этом диагональные элементы d H

матрицы D 0 (х )

остаются

не

определенными.

Их

можно

задать

произвольно,

например,

положить

du = 0,

i =

1,

п. Выбор диагональных элементов отра­

< f x{ x , t ) ,

y ] ( x , t ) > = 0,

i = \ , m ,

где

у* е Ker D*t с

Y*.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть задача 2

разрешима в

простран­

стве

Y. Тогда уравнение (II.8.10) должно

иметь

решение

вида

y =

B { x ) e * + g ( x ) ;

у ( 0 , 0 )

= / .

(II.8.18)

Следовательно,

должно

выполняться тождество

^ У = Л ( ^

*)•

(И.8.19)

Вектор у , как

вектор пространства

Y, запишем

так:

у (х , t)

= { b x{ x ) e \ ...,

Ьп( х ) е п , # (* )};

здесь

b t (x), i ~ 1,

п — вектор-столбцы

матрицы

В {х ).

Применив к каждой компоненте этого вектора оператор

D t ,

получим вектор из

пространства

Y

{ М * ) \ С * )

е \ ...,

Ьп{х)\п (х)

е п, О},

(II.8.20)

который в обычной записи будет иметь

вид

D ty = В (.х) Л (х)) е .

/ = (0,

..., 0, с.{х)\, i — 1, т,

Д1.8.21)

п раз

где с1(х),

, ст(х) — т

линейно независимых

векторов прост­

ранства

С“ .

Л (*. t) = И (х) е* +

{х), < / р у*. > = 0, i = 1, т.

Имеем

у = с, {x)A~\l (л:)) е* + g {х) £ Y,

где g (х) — произвольная

вектор-функция.

Начальные

условия

у (0, 0) = у0 удовлетворяются за счет выбора величины g (0).

Теперь рассмотрим задачу 3. Для удобства введем обозначе­

ние vk = ср.

Теорема

11.18.

Если hi (x,

t)e'Z,

i =

1,

2,

то в

пространстве

элементарных решений

Z однозначно

разрешима

следующая

задача:

L? (х, t)

=

h { (х,

t),

ср(0,

0)

=

ср0,

(II.8.22)

< h { ( x ,t ) ,

т*

(х,

t ) >

=

0,

(П.8.23)

<^Ь;(х, t

)

+

0 ,

m \ ( x , t ) y

=

0,

т. s Кег Z.* с

z",

(II.8.24)

т. е. однозначно разрешима задача 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

задача (II.8.20)—

(И.8.21) имеет решение

ср(х,

t) =

В (х) A (v (л;)) е

+

D (х) с

~

g (х) 6 Z,

(II.8.25)

причем значение произвольной функции v(x) при

х = 0

будет

однозначно определено из начального условия

ср(0,

0) = с р ° .

Пусть ,и(0)

= ‘О0.

Учитывая,

что

h2 (x, t) +

= [В {х) A (v{x)) + В ( х ) Л ( о ( х ))] е * +

= {[^ 1

^ 01 ( * > + b l ( X ) V'l ( * ) + < * [

(X) J r F 21 ( * ) ] е *Х» •••

••• ’

\b n (■*) Vn ( х ) + Ь п ( * ) и п ( Х ) +

d n (х) +

+

+ F n, bt ) — 0, i — 1, n.

где

Л0 (л-) о' + А, (х)

v + f ( x ) =

0,

(Н.8.26)

Aq(л:)

= d ia g j^ j,

b x j,

..., ^

^я)}*

Л ,(х )

=

diag{(*;

,

ft') ........(*1,

**)}■

/ { a v

К ) \

/(•*) =

VK

a a r

i =

Г

1, «-вектор-столбцы

матрицы D

(д:) + /^ (д:). Напом­

ним,

что

здесь

Ь. (х) — собственные

вектор-матрицы

А0(х), а

Ь* (х) — собственные

вектор-матрицы

(Л 0(х)) .

Так как ^bt (х),

Ь*(х)^=£ 0,

то

|А0(л')|=£0

и

уравнение

(П.8.26) однозначно разрешимо при задании начального

условия

v (0)

= v°, т. е. решение

(II.8.25)

однозначно

определено.

Единственность

этого

решения

устанавливается

следующим

образом.

Пусть <pt

и <р2 — Два решения задачи (II.8.22) — (II.8.24).

Тогда функция ф=

ср, — ср2 будет

удовлетворять

условиям

L ’h (х ,

t) — 0,

6(0,

0) =

0,

:пг, т (л\ t) > = 0,

i = 1, п.

Отсюда следует,

что

Ф(*, t) =

В (*) Л (v(x)) е\

А0 (х) v

-f А,

(*)

v =

О,

v (0)

= О,

т. е.

ф(х,

t) = 0.

Теорема

доказана.

Исследуем задачу 4. В этом случае справедлива

следующая

теорема

[67].

Теорема 11.19. Если f t {x,

t ) e Y ,

i =

1, 2,

то

в

пространстве

элементарных решений Y однозначно разрешима задача

Dt Ук (■*»

О =

Л (х » *).

Уи (°* °) = У°»

(И.8.27)

< / i(^ ,

0*

у!

(*>

t ) > = 0 ,

(II.8.28)

=

0.

г =

1,

т\

у* е Ker

с: К*,

(II.8.29)

> 1 /

yk (x, t) = B

( x ) e

+ g ( x ) ,

(II.8.30)

где произвольная функция g ( x )

при

ас = 0 должна

удовлетво­

Полагая теперь

/ 2 (Ху t) = с2 ( х )е * + g 2

(х),

получаем

\ Л + -£г> У* / = \ с 2 (х)е* +

s2(х) + в (•*)е*+

g'(x), у]/ =

= \ М г {х) е г -f- g W +

у ] У = 0у

1, т ,

М х ( ас) = с2{х) - f В'(х).

Следовательно,

g' (х) + g 2 (*)

= 0 , g (0)

= g°

ностью до

членов,

содержащих

е ^

и

являющихся

сужением

элементов

пространства Z X Y при

tt =

<j>r

Далее

в

работе

[67] устанавливается

оценка (в

некоторой

норме)

||

U(АС, е )

tl&k(АС, е) || -^.

£.й+1

*1 {X, е)

+

1=1

Рассмотрим вопрос о построении

приближенных решений

дифференциальных уравнений,

содержащих

малый

параметр, с

помощью итераций (последовательных приближений)

или

рядов,

опираясь на методы и идеи А.

М. Ляпунова. Основная

исполь­

зуемая нами идея Ляпуонва — применение

для

доказательства

сходимости строящихся приближений или рядов

мажорирующих

функциональных уравнений, которые

мы называем

именем Ля­

где /

=

... , / я

) и и = ( uv ..., ип) — векторы, е — положи­

тельный параметр.

Векторная

функция f (и, е )

определена

при

« > 0 ,

е ^ О , непрерывна по е ,

непрерывно дифференцируема

по

и в этой области и принадлежит классу положительных,

моно­

тонно возрастающих, нелинейных и выпуклых

функций

и

при

этом

/(О,

0) = 0,

0) =

0, / (0, г) + 0 при е ф 0.

(11.9.2)