книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

du

~dt

(III.6.2)

Пусть, например, существует предел

тг

t

1

® (t, п)

\ сI' F (t, s, и) ds

dt — ^ (и).

о

ветствие систему дифференциальных

уравнений

= * “'(&), 5(0) =

е/(0).

(Ш.6.3)

Заметим, что к уравнениям

вида

(III.6.1) приводятся различ­

ные интегральные уравнения, например,

уравнения вида

t

- ер(t) =

F ( t )

+

s J K{t,

s)

« (s) ds.

0

Действительно, полагая

и =

v — /’,

находим

t

и =

s f (t)

3- e j AT {t,

s ) и (s) ds,

0

tty

г ,*

л

¥ - 0

-

л .

6 * . НГ

О6*1.' (М

О )

^

W

= s l (<■

+ =

J — ^-----5г----------

§

=

S

« ,

* .

•dQ (f,s, <p(s),MO)

ds.

т . О

+

j

dt

системах

интегральных

уравнений [131].

Рассмотрим систему

t

и (t)

— s j

® [t,

s,

a (s)j ds.

(Ш.6.4)

0

'IycTb

существует

предел

lim

rf (t,

s, и) els — cp0 (C u).

(III.6.5)

T-*co

Системе

(Ш.6.4) поставим

в соответствие

усредненную систему

t

ш (*) =

е j

9о (*» ш ($)) ds.

(III.6.6)

6

Теорема III.13. Пусть

функция ф (t , s, и) определена и непре­

рывна

в

области

Q { t > 0 ,

s > О,

и е Л с ^ }

и пусть

в этой

области:

1)

<р(t, s, и) е Lipu (К Q);

2)

в каждой точке

n e D

равномерно

относительно

t

сущест­

вует предел (III.6.5),

причем

I ®0 (t , и) |< м ,

«0 (С и) е Lipu (ji, Q);

3)

решение u>(£), to (0)

=

и (0)

усредненного

уравнения (III.6.6)

определено для всех

и

лежит

в

области

О с

некоторой

о-окрестностыо.

0 и L >

Тогда для любых

>

0 можно указать такое

s0>что при

£ < з0

на

отрезке

0 < t < Lz~l будет

выполняться

неравенство

\\li{t) — U>(t) |< 7 ].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

II ( t ) — w ( t ) = г J {

® ( С S, U ( S ) ) — <? ( t , S, (В ( s ) ) J +

[ ? (C s,

ш(s)) — Ъ (С

(Д)

afs.

Следовательно,

t

П ( t ) —

to ( ^ )

II

<

e l

и (s) — to (s) |ds -J-

!l t

©( C

+ £ I J

S ,

to

( S ) )

-

<fo

(III.6.7)

0 .

зок 0.< t < Z,s-1 на /я

равных

частей

точками

*о =

0,

*2 =

^

- ........ *„, =

Т -

I1меем

t

Vl-\

cu (s)) ds <

S

[ 6

( * ,

S, U (5)) flfs

=

г

V

|‘ -ь

(Z, s,

0

т —1

t i-1-l

<

V

f

[б (*,

5, ш (S))

—

(Т, S, со (*,))] ds

£=0

*.

m - 1 <j+i

д

г

V

1'

<]*(*, s,

Ш( t ^ d s

i= 0

Очевидно,

что

£j + 1

т - \

1)

£

2

f

[

s,

CO (S)) — 6 ( Z

s,

(O (^ )j j c/S

i=0

£.

тп—1

£^_li

m —1

:i+1

-

1

'Ц*. s- “m- , ) rfs

<

sup

-Ф - p ,

% +

f)<-<Lm

V е

/

/и —1

ф I < *+ -!!£

) +

ф (*L,

SUp " Ф - p ,

<»,

*

2

a.

sm

’

* / 1

VEW2

«

0^T<Z./77/

\

/£= 1

Ф (*,<»)

= - j - j

6 {t,

S, со) fl?S

Теперь (III.6.7) примет

вид

t

- |и (t) — со

(t) |< а + еХ 11| и (5) — a) (s) /I ds.

о

Следовательно,

|u(t) — ш (t) |J < a e'L .

(III.6.8)

Можно

показать,

что х (t) £ D на отрезке 0 < t<Lz~l . Поэтому,

полагая в

(III.6.8)

a < i e ~ )L

min (р,

у), получаем

утверждение

теоремы.

зависит от t, т.

4. Пусть в (III.6.4) функция ср не

е.

t

и (t) =

в \ o ( s ,u (s)) ds.

(III.6.9)

о

и {t)

= £

F^t, и (t), J

© (t, s, a (s))

d s j .

5.

В интегральных уравнениях,

как и

в

дифференциальных,

можно

рассматривать

частичное усреднение. Пусть, например,

система

(III.6.4) имеет вид

t

t

и (t ) = в f

cpt (t, s,

a (s)] ds

-j- г | cpо [t,

s,

и (s)) ds (III.6.10)

6

0

и пусть

существует

предел

1

т

Нш

С

(t , s, и) ds =

ср10 (t,

и)

-jr-

с?!

Г^со

1

о

(относительно среднего с?2 по

s

никаких

предположений

не де­

лаем). Тогда системе (III.6.10)

поставим

в

соответствие частично

усредненную систему

t

t

'

w

(t)

=

г j

<pt0 (t, w (s)) ds +

e J cp2 [i, s, w

(s)) ds .

о

о

Пусть

система

(III.6.4)

имеет

вид

t

'

/

и (t)

=

г J

9j

s , и (s), v (s)) ds,

v (t) =

s J

<p2 [i, s, и (s),

v (5 )) ds

6

0

(III.6.11)

и пусть существует

предел

г

lim

1

j

©! (t, s,

и, v)

ds — ®io (*,

v)

Г - о о

0

(относительно

существования

среднего

от

©2 по 5

никаких

пред­

положений не делаем). Тогда

системе (111.G. 11)

поставим в соот­

ветствие

частично

усредненную

систему

t

t

l(t)

= г J

©10 (t,

£

(s ),

7} (s)) ds,

rt (i ) =

£ J

cp2 (t,

s, l (5),

7] (s)) ds.

6

0

Теоремы

о

частичном

усреднении

доказываются

так

же,

как и

предыдущая теорема.

6. Усреднение в системах вида (III.6.10) рассматривалось

также

в работе

[54]

в

предположении,

что <р10 = 0. Б

этой

же

работе

нелинейных интегральных уравнений

вида

x ( t )

(III.6.12)

и наряду с ней систему

функциональных уравнений

у {t)

=

t F ( t , y , ’b { t , y ) )

(Ш.6.13)

^ (*,

у) = j ? (t, S,

у) ds

6

Термин „замораживание"

употребляется здесь в том смысле, что

в интегральном члене в (III.6.12) x ( s )

заморожена (фиксирована)

при s — t.

ft z= £.Д (ft) -j- 6^ -A2 (ft) •••,

ф = X + &Bi (а) + e2 £ 2 (ft) H------

.

(III.7.3)

Л 1 , В г , их, ..., Д (ft), Д ( a ) ,

(ft, ф).

А

^ И,

ft, =

2 X Д sin ф +

2ftXB, cos ф +

*фз

+ / (ftcos ф, — ftX sin 6) +

t

4- Jш(t

— t) cp (ft

(x) cos ф (~),

— Ха(x) sin ф(т)^£. (III.7.4)

2+ [ а «

'

Го (а , Ф )

= «о ( л )

( а cos) ft ф

+

(ft)

sin п ф ]

П —1

'. (III.7.5)

оо

? о ( Яф ),

= Т о ( Я ) +

2 [

Cп0 SФ +

Ьп ( а

)S i n п ф ]

п= 1

Подставим (III.7.5) в (Ш.7.4).

Так как

a

(t) меняется медленно, то

за знак интеграла.

Поскольку

t

ф =

Фо * ТЫ + г j [ Ь \ ( f t ) + •d••t b]

о

j

t

°°

«> (t - Ч Ъ (<*.

’Н

-10 (а)Р«+ 2 { [ И „ ( а )Рп - -

О

/1=1

-

8„ (“ ) <?„] cos «

'Н - [

(а) ?„ + 8„ (а) />„ ] sin п Ь ] ,

р 0 =

f

ш (s) ds,

р п =

|

со (s) cos ns ds,

О

о

q n =

j

со

(s) sin

</s,

/г =

1,2, ... .

6

Теперь уравнение (III.7.4) примет вид

Xй^-^rr + Mj j

=

2аЛ,

sin б +

2a). A cos 6 +

а0 (a) +

oo

00

+

^L [ « „ ( a j e o s / i

^ +

U a ) s in /^

]

+

7o(a ) / V ‘

^

( [

T„

( a ) p n -

/2=1

«*=1

-

8д (a)

qn ] cos n <? +

[ 7„ («) 9n + Зд (а)/?д ] sin n 6

j .

(III.7.6)

Будем искать решение этого уравнения в виде

щ (а, 4)

=

b0 (а)

+

V

[ Ьп (а) cos «

б -j-

( л )

sin п 6].

( III.7 .7 )

/2=2

Подставляя

(III.7.7)

в (III.7.6), находим

А (а) =

(Pi (л) +

7i (а ) Я\ +

(а ) Р\)

)

В 1 ( а )=

^

(а1

^

р 1

8l

<?0

г.

/ л \ __ й0 ( а )“Г /

’ о Т(оа)

r

(III.7.8)

ь „ ( а ) =

[ !,„(а ) 4

<а ) Л, ~ 8* (а )

]

( ! - «

2) '

х 2

св (“ ) =

[?«(“ )+ ■ (» (“ ) 9» T

8/ . ^ ) ^ ]

( 1 - « г)_ 1 >“2

Заметим,

что если в уравнении (Ш.7.1)

отсутствует интеграль­

ный

член, то

формулы

(III.7.8)

переходят

в соответствующие

d_

, чd x

b k ( t ) x - =

г/ (-, X, x)

+

~di

t

+ £

) K (r — s) cp ( t, x (s),

X (s) ) ds,

(III.7.9)

6

х = a cos б -f е

(-, а, б) - I - s2 и2 (т, а, б) 4- - ••;

(Ш.7.10)

—

_

&Д (х,

а ) +

£2 Л 2 (х, а , )

+

•••

(III.7.11)

±а

=

ю(т) +

г В,

(х, а) +

г2 В,

(х, «)+•■•

,

опреде­

Подставляя (Ш.7.10) в (III.7.9) и учитывая (111.7.11), для

ления функций

В х и

//.,

получаем

ли2 (х) т (х)

О- И!

= / 0

(". U,

?) +

2/Л (х) Ш(х) Д sin

б +

d [rn (г) О) (х) j

4- 2т (х) ш (х) а В х cos ^ 4-

di

a sin б 4

f K ( t

-

s) ?

(x, a,

M<ts,

(III.7.12)

где

^

[ an(x, a)

cos n б 4-

(",

a)

sin n 6]

Ad

/2=1

<'

(III.7.13)

?o (”»a, <]>) =

<p(x, a

cos 6, — a o>sin б) =

^

(x, a) 4

oo

-7 ^

[ «д(t, a) cos n 6 4-

(т, a) sin л 6

J

/2=1

Как и выше, подучаем

б

—

G -

f

( т ) ^ г

cl£)

4J ~

[• 7 •ц •с!~~](г

s

о

d’b

. , , rff)

t

со

f K { t — s) 9o (',

a, '^) ~

To (x>a) ro +

2 [ a«<x’ a ) ^ ~

6

n—i

(*, a)

Q„ ] COS /I (a) * +

0) +

fO

2 [ ~$n ( x ’ a

)Pn +

rJn ( X ’

a ) Q « ]

s пi n И + 0 ) ’

/2=1

где

oo

oo

rQ= \ К (г) d z , р п =

^ К

(z) cos n^zdz,

о

0

' 2 { [ 7й(т.а)/7я

I ?л (-,а )

Q„ ] cos /г^ + [? я (т, а)/?я +

п= 1

+

—

rf Г т (х) ш (х)|

(III.7.14)

*„ (х, a) Q„ ] sin яб J 4- a sin ф—

^ ------ --.

Решение уравнения

(III.7.14) будем искать в

виде

оо

«1 (х,а ,б ) =

Ь0(х, а) +

2 [

\

(т, a)

cos яб

сп (х, a) sin яб]

. (III.7.15)

/2= 2

Подставляя

(III.7.15)

в (III.7.14), получаем

Ь„ (т, а)

=

. °о(х.а) ± 1о(Д°)'-о

0 '

'

т (х) ш (х)

?i (Ti а ) +

—

_

Л

d \т (х) (о (х)1

(т, о) p i + а, (х, a) Qj -f- а — I------ ------- !

А (*, а) =

2ш (х) ш (х)

ах

и /_ ,,\ __

а\С11' а) +

?*| ( “. а) Q[ — ai (х> я ) Р\

° 1 П,а)

-

2 ^ (4 « F ) ----------------- ’