книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Г,(*.

т) = /са (* - т) -

rt (*, t),

где Г и

— регулярные части

ядер Г и Г,, a

G — мгновенный

модуль сдвига,

К — мгновенный

модуль объемного

сжатия.

Тог­

да соотношения

(V.1.6)

можно

записать так:

t

x) e (z) dz,

S„ (

<

)

=

Getj2

(t)—J Г (t,

t

0

о (

<

)

=

(А

Г< 9 )

-

! ? ,

z)e( < (z)dz,

0

или, если

ядра

Г

и Г,

являются

ядрами разностного типа,

так:

- т) etj (х) dz

(V.1.8)

»(*)

=

х ) 0 ( х )dz

Следует иметь в виду,

что

во

многих

работах

для

ядер Г (t) и

r t (/) применяются

обозначения

Г (О =

2G/? (*),

Г, (t)

= KRt (t).

(V.1.9)

c ( t ) = K 6 (t)

- ‘j Rl ( t - z )b (z )d z .

Для ядер R (t) и R { (£)

0

сдвиговой и объемной релаксации

R(t) = A

R {* ) =

е

0 < а < 1,

(i-t- «>’

Я (*) = 2

С * * ' .

k=l

где R

и R t называются функциями сдвиговой

и

объемной ре

лаксации соответственно.

Учитывая последние обозначения, находим

si,( t ) =

\ R ( t - * ) d e

(х)

О

(V.1.10)

t

о(<) =

J & ( < - t ) r f e ( - )

при этом R (0 ) =

(2G,

/?i (0)

= ЛГ (для полимеров

2G и К

имеют

порядок 105 к Г jCM2).

Отметим следующие

свойства

функций

г ( 0 И

Г , ( * ) :

1)

функции

Г и

Г, определены для

всех

£ > 0 ;

упругой среды.

Пусть р = const — плотность среды, а.. — компо­

ненты тензора

напряжений,

F t — проекция

внешней массовой

силы, ut — перемещение в

направлении i

координатной оси

д'-и,

да. .

(V.1.11)

? ¥ -

i = 1 , 2 , 3 .

2

du-

И

\dxj ^ Ш7

£i j ~ e ij + - T B\j

о

I

+

t

s 22 +

дих

.

=

duо

.

du3

,.

u

+

g - з = d i

e =

s n

s

.13

t

f r ;- +

^

.

(V.1.12)

'ii

= Sti +

3V

" =

X

( °H +

a22 +

'.12)

t

t

sn — \ R ( t — x) detj (t),

° =

J Я, (/ -

*) M

(•=)

0

0

Заметим, что в последних двух

формулах

зависимость

величин

е.. и в от пространственных

координат x v

х 2,

х 3

не

указывает­

ся. Указана лишь их зависимость

от переменной т, по

которой

и вычисляются дифференциалы от e i}

и 0.

Из (V. 1.12) находим

°ч =

SU +

°\j = J

Я (t -

i ) d ( S.;. - ±

08,.) +

t _

t

+ J# i {t — x) dffiy = 1R

(t — t) dz.. +

о

0

Следовательно,

дс.. ~ л де,,

<М .

,

ггг = *< °> ж £ +

Я] (0)— 5-Я (0)

1— о. - -f-

дХ; I]

1

J

J

дв

„

Яг V - ' ) -----

-— о.. dx.

dXj

ч

Учитывая,

что

deij

_

1

дв

=

д

~

дх}

~

2 Д«* +

-а] Г div и

dxj

-т— div и,

dxj

находим

дх! ~

2

/?i (0) +

i ~ R ( 0 )

^ - div^ +

+ f

( * - ^ > Ч +

R,

( t - x ) + - L R ( t - x )

dx.

div и

dx.

Подставляя это

выражение

в (V. 1.11) и переходя

к

векторной

записи,

получаем

Р

+

4 - Я (°) Да + (fl. (°) + ■4 ^

(°)) Srad div и +

~b J l~2 ~R

(i — х) &и-\-

R[

( t - * ) +

- r K

grad div и

dx.

(V.1.13)

Введем

постоянные X и ц и

операторы X* и р.*:

^ = ~R{0),

Х = ^ , ( 0 ) - 4 - « ( 0 )

I

I

X*cp (t, x) =

—

R[ ( t - ^ ) - ~ R

( t - x )

cp(x,

x) dx =

t

0

L

_

-

1

r ,

( < - * ) - - K ( f - t )

cp(x,

x) dx

(V.1.14)

Тогда (V.1.13)

можно записать так:

д2и

|х) grad div и —

р — = pF + нАи + (X +

— р.*Ди — (X* + (х*) grad div и.

(V.1.15)

Уравнение

(V.1.15) — интегро-дифференциальное

уравнение с

ются из динамических уравнений теории упругости, если

в пос­

ледних

параметры Ляме

X и ц заменить

на операторы

X — X* и

И' — р-*,

определяемые по формулам (V. 1.14).

Пользуясь этим замечанием, из соответствующих

уравнений

колебаний упругих стержней, балок, плит,

оболочек

и т. д.

весьма легко получить

соответствующие

уравнения

колебаний

вязко-упругих стержней, балок, плит, оболочек

и т. д.

Напри­

мер, уравнение продольных колебаний стержня

имеет

вид

=

£ = 2 H 1 + v) = 2 G ( 1 + v),

,

О‘'Ll _ о

/11

\

0/1

[

\

Так как

2 о +

-') I1* ё

= (1

+

■') j г (< -

-')

ТО

о

д-и

г^д-и

,

ч

(*^//

ч д-и (х, т)

,

О

Воспользовавшись обозначением

(V.1.9),

получим

д~и

г-.

= Е

Необходимо отметить, что правило замены

констант Ляме

X

и fi, входящих в динамические

уравнения

теории

упругости,

на

операторы X — X* и |х — {х* распространяется и

на другие уравне­

ники и сопротивления материалов. Как правило,

в таких

зада­

чах

участвует мгновенный

модуль

Юнга

Е.

Например,

в

динамические уравнения

теории

оболочек

входит

цилиндричес­

кая

жесткость

D = T2( f - v r

£

= 2141 +

v) =

2 0 (1

+

V);

в уравнения балок и стержней входят изгибная

жесткость

E I,

жесткость на

растяжение Е Е

и т. д.

Учитывая,

что Е = 2\i (1 + v),

Е *

= 2fx* (1 +

v),

где v — коэф­

фициент Пуассона, который

можно

практически считать

посто­

янным, находим

Ev — £<р* = 2 ( 1

+

v) (jxcp — jxcp*) =

2 (1 + V) ’

А - (1 + V) (1 - 2v)

4.

К интегро-дифференциальным уравнениям

(V. 1.15),

описы­

вающим движение вязко-упругой среды, следует

присоединить

начальные и граничные условия. Начальные условия можно

за­

дать

в виде

Граничные

условия

могут

быть

заданы

различным

образом.

Например,

на границе

тела

заданы

только

перемещения

или

только

напряжения.

Возможен также случай,

когда

на одной

части границы заданы

перемещения,

на

другой — напряжения.

5.

Во

многих практических

задачах

исследование

системы

(V. 1.15)

может быть сведено

к исследованию интегро-дифферен-

методом прямых, либо методом Бубнова—Галеркина.

Например,

согласно

методу

Бубнова — Галеркина подбираем

функции

й (-ATj,

х 2, х 3) так, чтобы удовлетворялись соответствующие

граничные условия.

Затем полагаем

Подставляя (V. 1.17) в (V. 1.15) и выполняя интегрирование

по

соответствующей области изменения переменных х и х 2, -х3,

по­

Р FF = pF +

^ ~

£Р-*) Аи +

(х — s> *) grad div и +

-f ({а—

grad div гг.

(V. 1.18)

Уравнения

нелинейной теории

вязко-упругости.

Перейдем

к выводу нелинейных уравнений теории

вязко-упругости [40].

Согласно [41]

связь между

компонентами тензоров

напряжений

и деформации зададим

в виде

t

_

л

s.. =

s.. 4- s..,

1)

I) 1

*/’

Л

i ) d e ip

о

6 К -*),

(V.1.19)

z (t,

x))Q(x,

x)dx

л

t

А

х ),

z (х,

X, д:)) е.} (х, х) dx

su =

— J

(t — •с, б

где

о

2Г(Х, X, Х) = е тп(х, Х ) е тп(х, х) =

~

е 1\

“ Ь в 22 “ Ь

в 33

“ Ь

^ е 12 е 21

^ ^ 3 1

^13 ^ 2 3 б 32'

Уравнения движения

д 2и;

д з ,:

р

~SW~ =

л

<h_

-

_

dsu

° >i

6xt *

Sij, j

dXj

*

Так

как

преобразование

линейных

членов

было

выполнено

раньше,

то

преобразуем

нелинейные

члены

в

(V.1.20).

Имеем

Аа1

t

ае■ * +

t

Г

д (e/с»)

f e ^

2

e J - ^ - d i .

*l

J

дв

dx.

'

J

dz

mn dx,

n

1

Так как

2 em„

dxi

=

e mn f u m

+

и

)

mn

mn \

m, n

1

n, m)> i

TO

(Kemn^mn

®)»

, i =

j

д У

6. ! * +

l

9

+

« ».„1 )

Итак,

0

0

, i

f

a

y

J

e

^ x

+

f

e

^

L

.)gdx,

( и

J

d0

• 1

dz

mn \

m, ni

r

n,mt ) ’

4,;= “ \ e 4

дв

dxj

'

dz

mn

dxj

j dx

Далее,

так

как

то

Ui,Н

ЛUV

Uj , i j

— ®,i'

Я § А = 1 - т К + - г ® . ) Л -

0

y

о

Следовательно,

- 1 % - (■ч + 4 - е. i) * - 1

4 r 9.

-

0

'

0

t

— \е..^г~е

(и

m,

nj

-. и4

n.mj

\dx.

J

4 d z

m n\

'

)

Составим теперь

выражение

12-217

177

Уравнения движения

примут

вид

р fttt — j =

s tj' j-\ -

о t -\- J Qtd t,

4

'

о

или в векторной записи —

ри = p F -{ - (р. — р.*) А и +

[(X — X*) +

t

-}- (р. — р.*)] grad div и +

J Qdx,

о

где X и [1 - постоянные Ляме,

X*

и

р.* — операторы,

введенные

выше,

Q =

(Qi>

Qz-> Q3}-

Преобразуем выражение для

Qr

Имеем

д (0/ С * >

+ 4 - R

R

ки

—

,

dR*

дв

*

—

i

'lJ

д в

Q,y +

О

2

Заметим,

что

е . . 0

, )

= £ .. в

1

. ---- г—

, Г

Далее

ч

I/

,

3

е тп (

тй , nj

п, Ит)

)

Втп^

3

^т, ^rtj

Ит])л ,

— гтп

( Um, п) +

Un. mj)

3 "

/ *

Следовательно,

Qi — —

+

<Э0Я*

dR*

+

дв

дв

eij 0 j

4 -

+ “**)]+т

(V*. - V*)-

Учитывая,

что

4 - ее , 4 - { e , R

*

- М А Л = 4 - е ^ - е „ о

3

>J дг \ h

ч

*/

3

дг

Ь , J

_ _ | _ 0 2

( д К * ,

1

дг )

*’

[

дг

"+■

з

находим

« . = — 5 - ^ л “« - - Г Л*

д (ОК*)

1

dlk-jf д

|

дЬ

T - w e +

2 е2« ,

2 е2дА^\е

е / 2 eW j_ _ д#*

1

3

дг 1

9

дг J •t '

1j >J у 3

дг

д0

— -т—(

в,

R

— 8,.6/С) е

( и

. 4 - и

Л.

дг V

i]

\

tj

\)

тп\

т, р]\

п, mj) ’

Вводя обозначения

D

__

1

П

^ (® ^*)

1

д/?* д

|

2 Q2 Ж *

|

2

Д 2 < ^ *

К *1 — ~к“ К*

я?)

ч---- Ж-0

I

~т~и ~Ж~ "Г -о~° “ДГ-

5 ' ' *

д0

3

д0 ~ 1

3 ~

дг 1

9 w дг

п

_ dR%

2 q

д/?#

*\*2 —

“

--------- У

дг

получаем

дЬ

Qt

2

^*Дмг

^.1®, i

^ ,2efyQ,y

— г— ( е, R

*

— 8 .б/С ) в ( и

. 4- и

Л.

дг V

I]

ij

*)

гпп\

т, П] 1

rt.mj)

Итак, искомые уравнения движения будут иметь вид

ри = p F 4- р&и 4-

4- Iх) grad div и — |х*Д« — (X* -f jx*) grad div и —

— j |-^-#*A«4-#*igraddivM4-

где

: i

_

oH

^*2 £

; Q i,

Q } = e ,

дг

i

'tj

—

- f / c ) 08 s

l u

-(- и

X

гих наполнений,

в соотношениях (V. 1.19) естественно возникают

малые параметры

за счет того, что

t

J 4

dx < К ( 0 ) max |6(4) I,

0<t<*