книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

ч

г ? >

. (t,.

Д)

'liji ( \

) d \

+

4 h J i

V ’

t

t

+ Я

Г'5 Ь ,(^ ’ V

%

К

л

(

\

)

• (V.I.21)

0

0

Подставляя (V.1.21) в уравнения

и учитывая,

что

д а ;

д и ;

2s..

= -т-------(-

’

ч

dxj

1

dxt

0x (t)

= Е

х )

( x

) . f l f x

(V.2.1)

Если материал

обладает

малой вязкостью,

то

интеграл

t

t

t

о

0

причем для

упрощения R будем вновь обозначать через /?. Тог­

да (V.2.1)

примет

вид

(*)

-

Е

М О

- х )

tx (x)rfx

]

(V.2.2)

Подставляя (V.2.2)

в уравнения

д2и _ дох

(V.2.3)

— д х '

находим

t

д 2и

г,

д2и

t j p

( i - t )

^

Ф ^

- d t

(V.2.4)

дх 2

здесь р — плотность стержня; и ( х ,

t)

— перемещение.

Зададим граничные и начальные условия:

и { х ,

t )

ди

= 0, U (Ху t)

ди

= A (x h

(V.2.5)

дх

= / (* ) .

dt

х=0

х=1

t=О

*=о

где

/ — длина стержня.

Будем искать решение уравнения (V.2.4), удовлетворяющее

граничным

условиям

задачи, в виде

оо

т„(<) sin

и (.к,

t)

= 2

(V.2.6)

ft=l

Подставляя (V.2.6) в (V.2.4), получаем

для

определения

функ­

ции

Tk(t)

уравнение

t

К

+

а \ Тн =

s<4

j’ Ж *

-

t) Tt (т) dx,

k =

1, 2........

(V.2.7)

0

CO

( 2 * - l ) , / jE_

ft

2/

|/

P

‘

Опустив для

простоты записи

индексы

в

(V.2.7),

запишем урав­

нение (V.2.7)

в форме

t

r ' +

co2r

7'(x)flfx.

(V.2.

= e(o2j / ? ( / — т)

о

Заменив

переменные по формулам

Т (/) =

cos ш/

с2 sin ct/,

Т (/) =

(о ( —Ci sin<o/ +

с2cos о)/),

приведем

уравнение

(V.2.8) к стандартному виду

г

с \ — — £u) sin

J R (t — T) [ (x) cos wx-f- c Q(x) sin (oxjdx

i

^

. (V.2.9)

t

C2 = £(1) COS 0)t 'JR (t — x) [ C1 (x) cos on -f-

C2 (x) sin (OxjVx

Усредняя систему (V.2.9) согласно

второй схеме усреднения,

„находим

R s =

j R(s) sin usds >

0,

..

о

1

Rc =

oo

( ^ •

j

(s) cos cosflfs >

0.

оо

,,, .

(2k—-\)Kx

oo

'"ktsk*

и (х,

t) =

У i k (t) sin '

2(

« ■ 2 ‘

-

k=\

ft=l

о

(

1

WkRck \

о

1

£0)k^ck\

( 2 k - l )кх

1

X cik cos

1

—

2

to

sin

2l

’

где

-

• ■

(V.2.11)

°

2 Г V ,

ч .

(2Л - 1) те* ,

С\ь — ~ Г ) Л <*) sin

----- dx,

C2k ~

£MkRsk

2аь

с‘*

°ki

eco

а* ="«>* —

2

d2u _ p

d2a

d2u (x , t)

^~dW ~ ^

dx2

"1> t — x2, t

d2u (x , Tj)

du (x, т2) du (x, т3)

- е т Ш

0 ( *

dx2

дл:

~b

0 0 0

ди (x, tx)

d2u (x,

t2) du, (x , t3)

. d a

(x, tx)

du (x, z2)

d2a (x, t3)

d'zld’z2dx3.

dx

dx2

dx

‘

dx

'

dx

dx 2

(V.2.13)

Примем

граничные и начальные

условия

для

уравнения (V.2.13)

летворяющее

граничным условиям задачи,

в

виде

и (х , t ) =

Т .Х

(V.2.14)

Т (t) sin 2j".

Подставив (V.2.14)

в (V.2.13), получим для определения функции

T(t)

уравнение

Р

t

t tt

Г ' +

«)2Г = е

ш J # ( * — 'О П х) Л + а Щ

G(^— xlt £ — т2, t —х3)Х

L

О

0 0 0

X

т(xt) Т (т2) Г ( х 3) dxxd i2dxz

(V.2.15)

где

• = | / т ( * >

“ - Н М

Введя новые

переменные по формулам

Т (t ) = Ct COS (at + C2 Sin (at,

T

(t ) = a) (— cxsin cot + c2cos (at),

приведем

уравнение (V.2.15)

к стандартному виду

е sin a>t

t

С0‘ J R (t — х) [ct (х) cos (ОТ -f C2(x) sin cot] X

c i =

-

i

t

t

*Clt

t — T2t

t ~ X z) [C1 (x1)cO S0)X1

- f

0

0 0

+

C 2 ( X

i )

Sin c o T j ] •

( t 2 ) COS c o t 2

- j - C 2

( x

2 )

sin a n 2 ]

X

X

[^i (x3) cos (ot3 -j- c2(x3) sin C1) X 3 ]

dxxdx2dxz

_

£ COS (lit

2

l

(V.2.16)

— x) [<4(x) COS COT

C2(t) sin cot]dx 4-

c2 =

a)

(0‘ J # l *

/11

+

h J J J

G (t — t15

t — t2,

* — T3)

(tj) cos cotj -f

0 0 0

-j-c2 ( x , ) Sin C D X j ]

. [ c t ( x 2) C 0 S

0 ) X 2 -

f c2(x2) Sin C 0 T 2 ]

( x 3) c o s C 0 X 3

+

+

c 2 (хз) sin an3] dxxdx2dxz

Усредняя

систему (V.2.16) согласно второй схеме, находим

* ~

2ш

со

+ ш2# ^

+ а М ?

+

*12) +

a 2'-l(E2+

’l2)

, (V.2.17 )

£

со

ш2/?^

+

a2S (Е2 +

?l2) -

a, ”l(E2 +

Ч2)

Г1= 2ш~

2/?сЕ -

где

h

h

0>\—

( 3а

4

"

ai)t" f " а2 =

( а 4 "ДЬ6 4 -

Л 8

) ,

“4“

“4~

о о

ОО

R s =

J

#

(s) sin cosds >

О,

Rc =

^ R (S) cos coscfs >

0 ,

0

0 0

0 0

0 0

a z =

j

j

j

G (sb

, 2f „ ) sin со

(st 4- s2 — s3)

d stds2ds3,

0

0

0

CO

0 0

M

a k =

и

0

I

G ^s"

S2'

cos ш ^S1 ^

s* ~~ S3^dsids2ds3t

0

0

а ь ~III G *S1’

S2’

sin 10

~^S3~

dslds*ds*'

0

0

0

oo oo oo

a &~

J I

j* G (Sl’

S2’

S3 ) C O S (0 ( S 2 +

s 3 — sjdsidszds^

0

0

0

oo oo

oo

07 =

I11G ^Su

S2’

SinW(Sl

S3 _

Sz)

^ 1 ^ 3 ,

0

0

0

oo oo

oo

cos (o (Si -f- s3 — s2)ds^ds2d s3.

0

0

0

Решение системы (V.2.17) имеет вид

H i)

= a *

1/

------тгл exp

\

z

)

у

R s ^ —a { a^e\p[—t(»Rstj

J

Xcos |

^ In

U)2^

-

a { a\ exp ( — ^ R s t)

j

+

<p0|;

(V.2.18>

rl (t) =

Rs0)2

t(jiRst \

exp |-------o— l X

= « o | / - R s w‘2 —

a\ exp

( — eu>Rs t )

(

-

{

Eu>Rct

a 2

“X

- a i a l exP ( - EU)^S 0

j + To } ■

— 2 ~ + W l ]n

где a 0, cp0 — произвольные

постоянные,

определяемые из началь­

вать решением

/??0>2

£0>Rs t ‘

U (X, t)

exp -

а» | / ‘ R s <*2 -

a ^a\

e x p ( — w

X

2R s t )

£(dRc \

a2

0) 4 “

aia0exP { - ^

R s i )

X COS ^|to------ — 1t — 2^ In

— (Pojsin-^-.

(V.2.19>

° A t ) = E

( £* + т 4 ) - £ j R (t - z) X

X

(х) + kel(x) dx

(V.2.20)

E I

+ р (t) ^ \ + т Ц | = . ( - Зт.£7,

дх2 цд *3

4 3kEIA R (t - *)

пд2и (х , t)

i d2и (x,

т) \ 2

, ( d2u (x, t)

diu (x, t)

dx

0

dx 2

^ dx3

J

^

dx2

dx4

чения стержня; 7 = е^,

^ = const.

Решение уравнения (V.2.21), удовлетворяющее граничным

условиям задачи, будем

искать

в виде

и ( х ,

t) =

TZX

(V.2.22)

Т {t) sin " у ,

тде

/ — длина стержня.

Подставив (V.2.22) в (V.2.21),

получим

для

определения функции

Т (t)

уравнение

Т" + р 2(\ - 2 8

cos 0/)' Т =

—АР +

t

t

+ 0)2 ^R{t-x)T(x)dx-\-

b f R ( t - x ) T 3(x)dx

. (V.2.23)

о

о

<о =

t ) Y e^ " - V

1 ___ о =

______ Ei___•

Р, = ( — I Eb

Pi

2 (Р п -Р 0у

2

h =

31,4-

kE/x

* =

3 - г Am

Р (t)

= P 0 + ePt cos Bt.

,

Тогда уравнение (V.2.23)

имеет вид

г

. .

t

х) Т ( х )dx

Т" -f- р 2Т = е

2 Тр2о cos Bt —'АР +

«)2j

R (t -

+

ОV

+

А

R ( t ~ x ) T 3{x)dx

(V.2.24)

Решение

уравнения (V.2.24) будем

искать в виде

T ( t ) = Cl cos pt -f c2sin pt

1

(V.2.25)

T

(t) = p ( — c 1 sinpt +

c2 cospt)

J

Подставляя (V.2.25) в (V.2.24)

и разрешая эту систему

относи­

тельно

и с2 ,

находим следующую систему интегро-дифферен-

циальных

уравнений стандартного вида:

г

esinpt {

ч

сх = ------ - — J 2 рЧ cos Bt(ci cos pt -f-c2 sin p t)—

t

— h{cxcos p t +

c2 sinp t f

-f <JU2 j* R (t — x) [ct (x) COS px +

0

t

+

C2 (x) sin/7x] dx +

b J

R (t — x)

(x) cos px -f

+ c2 (x) sin/?xj3dx

.(V.2.26)

5 = - 2 £

v2 R s Е 4- (V R c — Ъ)г} — Ьг У] (rf +

Е2) 4-

?

2

4- Ь2 Е

(^2 4 - 12)

•

£/?

, (V.2.27>

(4 2 / ? с 4 - 8) 5 — V2 / ? 5 7]— ^2 Т](Т]2 4 - Е2) —

^ =

т

-

Ьх Е

(7J2 + %2)

где

—

; R s = J

/?с (s)

sin /?sds >

0,

/?с = j # (s) cosp sd s >

0;

P

о

о

,

ЗЛ

3J

p

,

_

36 p

•

— "4^2

4

^

2

—

„2

4p2

Легко проверить,

что

точка

£ =

tj =

0

является единственными

положением

равновесия

системы

(V.2.27) и это положение

при

S2 <

v4

4- R 2 j

будет

асимптотически устойчивым.

Системе (V.2.26) при 0 4= 2р

будет

соответствовать усреднен­

ная

система

I =

гр

E2)4 -

-

V2# ,E 4 -V 2/ ? ^ - ^ 7 j( 7 J2 +

решение

которой имеет вид

$(*) =

« о | /

------;—

3---- 1 ------- ^ г —

г-ехр

'ч*2 Rs *

X

R S ~

b 2

а0 еХР ( -

*

)

(

е р у 2

£

0 . .

Г о

X Sin |-------- 2---- +-2*Tl n l

V R° ~

- M o

exp ( -

e/>v2R j )

j+

<p0 J ;

V2 /?

exp

e/?v2 /? t

f[ {t) = а,'о у

■ R s

- b2 a 0 exP (

-

* )

—

X

BP ^ R s

(

zpyl R

t

b

г

2

ГЛ

,

2

X c o s ------ —----h 2^ In [ ^

Rs

~ b 2

a ° X

X

exp

( — e/?v2 R s t) j +

cp0j ,

Т (t) » а 0

v*R,

/

z p * R s

t\

, Rs -

b2 а0 еХР ( - £^v2 R S 1

)

e x p -------- о—

x

X

sin if to —

EjPV2 R

2

l t +

2*7l n X

X

[ v2# f -

M o exp (-e/pv2 R

J

) ] +

9o |.

(V.2.29)

Полученное

решение свидетельствует о влиянии нелинейных чле­

нов на амплитуду и частоту колебаний.

Так как

zp>2R s > О, то

•согласно (V.2.29)

при

t-+ оо Т (t )

0,

т.

е.

в рассматриваемом

■случае общее решение

уравнения

(V.2.29) получается

затухаю­

щим. Итак,

если на

шарнирно опертый

вязко-упругий

стержень

Теперь будем исследовать уравнение (V.2.23).

При в = 0 это

уравнение вырождается в известное уравнение Матье [73]

Г' +

р 2 (1 - 2 8 cos B t ) T = 0.

(V.2.30)

Решение уравнения (V.2.23) будем искать в виде

Т (t) =

с х у х {t)

+

с,

у 2 (О

(V.2.31)

Т ( 0 =

сх у\ (t)

+

с2

у' (t)