книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

р -

IIX « * * ) -

е (*»*)|| =

II г0(<•*) - г (<**) |

и учитывая, что

в качестве t можно

взять £**, находим

||И О -

(<) ||<

-

Г ''I. t >

* * * ,

р « ) -

5„(0|| <

4 "Р. О

<** + г/е*.

Но теперь

можно выбрать

е, = ех (р/2, Z.) <

е0 так, что на отрез­

ке t e [f**,

t** -J-Z/ej ] будет

выполняться

неравенство (в силу

С

другой

стороны,

если < e [^**, ^**-Ь A,£i ] ,

то

II *

( 0 -

5 (*) \\<\\х (*) -

(О II + |50( 0

- 5 (*) |<

< р/2 +

т}/2 < '/3,

т.

е.

_

£** - j - Z,/e1 < £*.

Однако при 2 =

£** +

Z/et > ***

имеем

И* (*** н- Z/si) — 5(*** + Z/e,) II <

< ||X(/** + Z/et ) — £0 (t ** + Z/et ) |-f

+ ||So(<** + I/e1)-5(/**+Z/ei)||<

< p/2 + p/2 = p.

Это неравенство

противоречит (II. 1.18). Теорема доказана.

6.

Одним

из ограничительных условий

теоремы II.2 является

Отсюда

видно,

что решения

х (t) и £(£) при малом

з близки на

бесконечном

промежутке.

Однако

решение £(£) = 0 устой­

чиво, но не асимптотически.

7.

Доказанные выше теоремы об усреднении

очевидным об­

разом распространяются и на системы вида

X =

e X ( t , X ,

е).

(II. 1.19)

x = tX (t, х, у), у = гУ (t , х, у)

(II. 2.1>

X , (х, у) =

Hm ~

f X (t , х, у) dt.

(II. 2.2).

Тогда системе (П.2.1)

поставим

в

соответствие

частично

усред­

ненную систему

i =

eX0(t,rl),

:q = bY (t,

E, ?}).

(II.2.3)

Вторая схема частичного усреднения. Пусть заданная систе­

ма имеет вид (запись векторная)

х = е <

. * ) + е

* >

(11.2 .4)

j=i

k = p + 1

и пусть существуют пределы

lim

X . (t,

х ) dt = X

(х).

(11.2.5)

Т^ОО 1 •'

J

J

Тогда системе (II.2.4)

поставим

в

соответствие

частично

усред­

ненную систему

ё = 82 * д Д ) +

е 2

X „{t,

5).

(П.2.6)

;=1

ь=р+ 1

1

т

х, y ) d t

=

X t0 (х , у),

lim -у-Г Х х (t,

00

о

1

т

2 (t, л, у) dt =

К20(х, у).

Пш -~-f

Y

Т -* СО

*J

t =

eXi0 (z,

у{)

гХ 2 {t, 5,

fi),

у] =

е Y x (t,

5,

^ ) + е Г 20(Е,

?}).

л: =

вЛ (t,

л) f ( t , л),

(II.2.8)

где л: — /г-мерный вектор, f ( t ,

л)

— /я-мерная вектор-функция,

A(t, л) — функциональная

матрица

tiY^m с элементами

л).

Пусть существует предел

lim

A {t , л) dt

= Л0 (-к).

(II.2.9)

T-+OQ

* = еЛ0 (&)/(*, *).

(II.2.10)

Из этих уравнений методом итераций находим

и«(01 < 4 - с * 241' +

й .

iv

<

4 -

( ^

-

О-

Как и в теореме II. 1,

можно

показать,

что

(*(£),

у ( ^ ) ) е Д Х D 2

на отрезке

.

Поэтому, полагая

а =

2 ( l 2^

+ l ) " 1 min (р,

о),

получаем утверждение

теоремы.

Сформулируем теперь

теорему о

близости

решений

систем

(II.2.1) и (II.2.2) на бесконечном промежутке.

Теорема II.4.

Пусть функции X ( t y х , у)

и

Y(t, х , у) опреде­

лены в области

Q { t ^

0,

x € Dt, ycD2}

и пусть

в этой области:

\) X и Y непрерывны по t, а по х

и у

удовлетворяют усло­

вию Липшица с некоторой константой X;'

2) равномерно относительно {х, y ) e D i X D 2 и ^ > 0 существует

предел

1

*лт

у) d t

=

Х 0(х, у),

lim ~y

\ X ( t , x ,

Т-* ОО 1

J

а функция Х 0( х , у)

ограничена;

-г\(0) =

3) решение {?(*),

?}(/)}, £(0) =

л:(0),

у (0)

частично ус­

редненной системы

(II.2.3)

определено

для

всех

и

отстоит

от границы области

D x X

D 2

на расстоянии

р > 0 при

ее[0, а],

равномерно относительно ее [0, о].

Тогда для

любого 0 < 3 < р можно

указать

такое е0,

что при

е < е0

для всех t^>0

будут выполняться неравенства

lt(0 _ — ^ (*)|| <

||у (0

— 'п(*)||< 8*

Доказательство аналогично доказательству теоремы II.2.

3.

Обоснование

второй

схемы частичного

усреднения.

Теорема

II.5.

Пусть

функции Xj

(t,

х ),

X k (t, х),

j = \, р;

k — p-\- 1,

q

системы

(II.2.4)

определены

в

области

Q { £ > 0*

х eD}

и пусть

в этой

области:

1)

функции

Xj

и X k

непрерывны по t ,

а по л: удовлетворяют

условию Липшица с константой X;

2)

в каждой точке

x e D

существуют

пределы (II.2.5);

3)

функции

(.к)

ограничены

и

удовлетворяют

условию

ределено для всех

0 и

отстоит от границы области D на

расстоянии р > 0 при £€ [0,

о], а = const.

34 ’

^

И*)-*(*)|<а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

X (О — Е (<) = г j ( 2 [Xt (х, * <х))- Xt (x, |(x))] +

o

j —\

+ 2

a : ( t ) ) —

(X, & M ) ] 1 * .

на отрезке 0 < t

Lt~l будет выполняться неравенство

t р

j 2

[Xj (t, %(if)) - Xja (E (t)) 1 d t < a,

0 j=\

F 1 (t,

* ) =

2

х )

•*)• р г (<• х) =

k=p+i

;= i

Теорема

II.6.

Пусть функции Ft (t,x)

и F2 (t, х ) определены

в области Q { t^ > 0,

x e D }

и пусть в этой области:

1)

Fx и F2 непрерывны

по t, а по х

удовлетворяют

условию

Липшица с константой X;

2)

равномерно относительно x e D и t

О существует

предел

. /+7’

lim-j-

Г Fx (t, х) dt = F10 (х),

г-*» 1

4

Оценим каждое слагаемое в отдельности:

/2

А (х, Щ / (х, 5) dt

<

<

е

Л 1

j

X

(

т ) | | *

( т

) dx;—

$

( х ) | [

о

|[Л(т,

Е ) - л о ) ] / е .

£ ) *

<

еЖ *£

(/),

Г Д е ^ ( 0 - ^ 0

ПР И t ^

со ;

значит,

е ^ ( < )

=

xg (т/е) ->

0

при £ - > 0 ,

Тб [О, Ц ,

т. е. существует

некоторое

£0 >

0,такое, что при £ < е0

eMtg {t) <

а

—( асколь

угодно

малое

фиксированное

число);

j

А (т, *)

[ / ( т ,

* ) — / ( т ,

&)]дГт

<

еМjV (х) ||* ( X

)— 5 (х)11 dx,

о

о

Итак,

t

||* (О — 5 (*) ||<

еЖ *£ (*)

+

Ш j

[X (т) +

р (т)] |* (т) —

t

о

—Ч Х)| К Т <

— \(т)|| dx.

а +

М

f [ X

(х) +

(Ух)]|| *

(х)

о

На основании леммы

Гронуолла— Веллмана имеем

<

< о. exp [ttM (Cj +

с2))

а ехр {/.Ж

-f

с2)\.

Выбирая

а <

vjexp {— LM(cx+

с2) } »

получаем

| |

* ( *—) \(£)|| < у\

при te [О,

L e~ 1 ] для

сколь угодно малого тд,

если £ <

е0, L ^ > 0—

произвольное положительное число. Теорема доказана.

В следующей теореме

откажемся

от условия

ограниченности

функций f ( t ,

*);

более того,

среднее

от

этой

функции может

не существовать.

Теорема II.8. Пусть функции A(tyх)

и f ( t ,

*)

определены в

области Q { t ^ 0 ,

xeD]

и пусть

в этой

области:

1)

функция

A(t,

х)

непрерывна

по /,

а по i

удовлетворяе

условию Липшица

где

||A(t, x ' ) - A ( t ,

х")\\ < Х (/) Ц *'- * " 1 1 ,

t

( т dx) <

;ct

{с =

J

X

const);

о

лено

для всех

^ > 0

и лежит

вместе

с некоторой р-окрестностью

в области D, a f ( t ,

£(£))

монотонна

по t.

Тогда для

любых ^ >

0 и L >

0

можно

указать

такое е0,

что

при 0 < Х > о

на отрезке

0 < t f < Z l n £ _fe, где

& <

1/р£, будет вы­

полняться неравенство

||*(*)-5(*)||< Ъ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

в теореме 11.7,

находим

t

x ( t ) - % ( t )

=

z | [Л ( х , - * ) / К

х) — А(х,

*)/(х , 5) +

0

+ А ( х,

x ) f { t, £) — Л(х,

5)/(х,

S)+ Л(х,

$)/(х,

&) —

" А ,

(*)/(*.

5)]rfx,

||^(0 — М0||

А ~b h +

h-

Пользуясь условиями теоремы, оценим каждое

слагаемое в от­

дельности:

/, = е |

[ Л ( г ,

л ; ) / ( т ,

Е )

-

Л

(

т , < Е ) / ( х , Е )

о

< e a e ^ J X (х) Ц * (х) — ? (х) Ц d x;

о

/

[ Л ( Х .

Е ) / ( т ,

Е )

-

Л „

( Е ) / ( т ,

Е ) ] < *

О

<

<

tg(£),

где g

(t) -> 0 при *

оо;

А =

f

[Л(т, 1)/(х,

х ) —А (х, |)/(х, |)] d i

<

<

2аеЖ| Л х

= ^

_

1).

Итак,

получаем

||* (<) -

Е (0 || <

» tg

(<) ер' + 2~

( / ' -

1)

+

||jc (<) - S (0|| < «

+

- 1) 1

-k

* g { t ) L z

Ins

+ - J ~ e

------

,a.cU l ~ Lk? lnE

Нш?

In e = 0,

Е-*-0

x ( t ) = s X (t,

x(t), jc(/ — Д)),

(II.3.1)

x ( t ) = <?(t),

/б[— А,

0].

(II.3.2)

В системах

вида

(II.3.1), вообще

говоря,

можно

рассматривать

две схемы

усреднения.

Первая схема усреднения.

Пусть существует предел

г

1

Т

\ X {t, х , y ) d t = X ot(x, у).

lim -т-

Т -»оо 1

6

i = t X 0, (;(*), $ ( < -

А)),

(II.3.3.)

?(<) = ? (« ,

<s[--X,

о].

(II.3.4)

Вторая схема усреднения.

Пусть

существует

предел

1

т

=

Х 02 (*).

Пт -у-

Г X (t, х , л:) dt

i = вХ02 (5 (<)), 5(0) = ? (0).

(П.3.5)