книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

y ( t ) =

-*x(t,

y(t), y(t)\

(II.3.6)

у (0) =

JC (0) = ® (0).

(II.3.7)

Относительно

близости

решений систем

(П.3.1) и (II.3.6)

можно

доказать следующую простую лемму.

Лемма П.1. Пусть

функция X (t, и, и) определена и непрерыв­

на в области

Q\t^>> 0,

u e D x,

veD.,}

и пусть

в этой области:

1)

и, v)\l<M,

X

(t,

и, v ) e U p u v (K

Q);

2) функция ср(^) непрерывна на отрезке

—А < Д < 0 ;

3) решение у (t) системы (II.3.6)—(II.3.7)

определено

для

всех

и лежит

в области D t с некоторой

p-окрестностью*).

Тогда для

любых

^ > 0

и Z, >

0

можно указать такое

е0,

что

при е < 80 на отрезке

0 < t < Lz~x будет выполняться неравенство

Ц* -

у|| < еХ ( Р +

LM) Дг2и < Гг,

Р =

max

||? (t)

— у (t +

Д)||.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

||х (t) — у (t)JI <

sXjЩх (т) — у (х) |+ ||х (х — А) — у (т)||} dx <

о

t

д

< еХ J II* (х) — У (х)||dx 4- sXj jjx (х — А) — у (х)|| dx +

*

о

о

t

+ £Х J \\х(х — А) — х (х) 4- х (х) — у (х) |dx <

д

t

<

гкР\ -j- гкЬМ\ 4" 2гХ J

jjx (х) — у (х) Jj dx.

о

Следовательно,

\\х (t) -

у

(t)ll < гХ (Р 4-

LM) А,2-

.

(II.3.8)

Лемма доказана.

Заметим,

что суть

доказанной

леммы

заключается в следую­

щем: если решения систем

(П.3.1) и (II.3.6)

определены

на от­

резке 0 < t < Lt~x ,

то для

их

близости

на

указанном

отрезке

справедлива

оценка

(II.3.8).

Так как

(II.3.6) — система

обыкновенных

дифференциальных

уравнений,

то на

нее распространяются доказанные ранее теоре­

мы об усреднении.

также возможны

В системах с

запаздывающим аргументом

различные

схемы

частичного

усреднения.

х = гХ (t, х , х), х (0) = .x0.

(II.4.1)

x = f ( t , x , e \

(II.4.2)

f ( t , х, B) = e X ( t , x , f ( t ,

£))•

Первая схема усреднения. Пусть

существует предел

1

т

у)

dt =

Х 01 (х, у).

(II.4.3)

Т-*•«О

Г X (t ,

»/

о

Тогда системе (Н.4.1) ставится в соответствие

усредненная

сис­

тема

вида

U eA -»,

(«,

г ). ЦО) = х 0.

(II.4.4)

Вторая схема усреднения. Пусть существует предел

1

т

0) d t

— Х 02 (л').

(II.4.5)

Пт - у f X (t , * ,

Г~оо

0

Тогда системе (Н.4.1) ставится в соответствие

усредненная

сис­

тема

i =

e*o2(S),

5 (0) = JC0-

(И.4.6),

*)

Случай неоднозначной

разрешимости

системы

(II.4.1)

относительно

z = * Х (t, z, 0), г (0)

=

* 0,

(II.4.7)

которая очевидным образом получается из (II.4.1).

Лемма II.2. Пусть функция X (t, х, у)

определена

и непре­

рывна в области

Q { £ > 0, x e D u

yeD 2],

0 eD2

и пусть в этой области:

1) |\X(t, х , у)| <714, X (t , х, у)

6Lip,

y(X, Q);

2)

система (II.4.1) имеет единственное решение, удовлетворя­

ющее

начальному условию

х(0) = * 0> х 0еD x\

3)

решение системы (II.4.7) определено для всех

^ > 0

и

ле­

жит в области D x с

некоторой р-окрестностью.

Тогда

для

любых

^ > 0

и L > 0 можно указать

такое

е0,

что

при е < е0

на

отрезке 0 < t

< Z,s-1 будет выполняться

неравенство

|ре (*) -

г (t) ||< е \ M e L < у\.

(II.4.8)

(II.4.1)

и (II.4.7) определены на отрезке 0 < £ <

Ls-1 ,

то

на этом

отрезке

для

близости

решений

систем

справедлива

оценка

(II.4.8).

Система (II.4.7) — система дифференциальных

уравнений,

разрешенная относительно

производной, и на нее

распространя­

ются теоремы об усреднении, доказанные выше.

Следует

отметить,

что

в системах вида

(II.4.1),

как и в

сис­

темах,

разрешенных

относительно

производной,

возможны

раз­

личные

схемы

частичного

усреднения,

аналогичные схемам,

опи­

санным

в §

2.

Наконец,

заметим, что если задана

система

дифференциаль­

Рассмотрим

систему

х =

гХ (t , X, s) =

t X x(t , x)

-f г2Х 2(t , x) -|--------b

+

zmX m (t,X, e).

(II.5.1)

Выполним в (II.5.1)

замену

x =

%-J-

(t , I) -f-

(^» £) -b ■* *

(II.5.2)

i =

a X l C,) +

s2X 2 ( Z ) + . - . .

(II.5.3)

Задача заключается в подборе функций

Х к и uk

таким образом,

чтобы решение системы (II.5.3) согласно (II.5.2)

как угодно точ­

но аппроксимировало

решение

системы

(II.5.1)

на отрезке по­

но изучен случай, когда правая часть системы (II.5.1)

представ­

ляет собой периодическую функцию t. В этом

случае

имеются

различные варианты построения разложения (II.5.2).

Ряд (II.5.2)

является асимптотическим.

Нет

необходимости в

том,

чтобы этот ряд непременно сходился.

Однако важно,

чтобы

отрезок этого

ряда, полученный отбрасыванием в (II.5.2)

всех

слагаемых, начиная с некоторого, достаточно хорошо

аппрокси­

мировал решение системы (II.5.1) при s-*0

с учетом того,

что в

(II.5.2) S — решение системы (II.5.3).

1.

После предварительных замечаний перейдем

к определе­

нию

функций

Xk, uk .

Подставляя

(П.5.2)

в (II.5.1) и учитывая

(II.5.3),

находим

a +

x Al) = X ( (t, S),

(П.5.4)

+ х ,

(5) =

X , (<, 5) + -д§ - и, -

^

X i

(Н.5.5)

Вообще,

—

du.(t, 5) .

() + F „ ,

(11.5.6)

dt

+

XAX> = X A t ,

где F k — известная

функция от

uv

и2,...,

uk_x ;

Х к_г и их

частных производных до

k

— 1

порядка, а также от t и I, причем

р

_г»

р

___диг ~у

-'м-

г 1 — и,

г 2

—

~щ~

Определим функции

X . ,

и.

:

-Y,(E) =

Н т ф

i)dt,

T-*°°

6

t

_

и, (t,

Е) = j

[Xt (t,

E) —

(;)] dt

+ <?, (I);

0

—

1

T

5) + F, (t,

E)] dt,

x 2(4) =

lim -y-j [ЛЦ*,

t

__

«2 (t, E) =

j

[X 2 (t,

E)

F 2(t,

E) — X , (E) ] dt +

f2 (E),

X t (E) -

М т ф f

[* »

(t ,

E) +

F t (t , E)] dt,

Uk (t, S) =

j* [ * ft (f, 5)

+ ^

(*,

5) -

(*)] dt + cpft (I);

0

здесь функции

rf k ,

k =

\,2,...

произвольны.

Задача обоснования

высших

приближений заключается в до­

цией t, эта задача решается довольно просто [78].

В общем

случае эта задача является достаточно сложной.

Рассмотрим

некоторые случаи ее решения.

2. Рассмотрим задачу Коши [142]

= sZ (т, z), z { 0,

г) =

z°,

(II.5.7)

где z, Z — /г-мерные вектор-функции,

е >

0 — малый

параметр,

Пусть существует предел

lim - ^ - f Z

(х, z ) dx = Z ( z ) .

(II.5.8)

r-°° d

Выполним в системе (II.5.7) замену

z = \-\- sих(х,

?) -j- b2u2(х, <;)-}-•••,

(II.5.9)

§■ = *!(%), 1(0, е ) _ г ° .

(II.5.10)

^ = Z ( r

,

i - ) - Z « ( , S] )=,

с, (5),

(И.5.11)

тё = %

-

«2 |,=о =

"2 «).

(П.5,12)

J k

5Z

д а ь_, _

1

d’Z *dZ

di

Uk-i

dZ

“b ~2l

Jjp" 2

Ui U'k -l- 1 “b

дх

i=l

* - 3 ft - 3

i=1 ;'=1

+

1

dft_1 Z

ft- 1

I

/C4

(11.5.13)

(Ar — 1)!

ag -1

U l

’

Uk |x=0 —■Ck (^ )’

где сг (£)

(i = 1, 2,

3,...) — произвольные

функции.

Предположим,

что

решение

задачи

(II.5.10)

нам

известно.

Ясно, что это

решение — некоторая

функция

от

„медленного“

времени

ex = t,

т. е.

g = <p(ex) = ?(*).

(II.5.14)

Из уравнения

(II.5.11) имеем

Я,(т,

Е) =

J [ Z (s,

E )-Z (E )]d s + c,(E).

(11.5.1Г)

о

Считая сх(Е) известной функцией, подставим

их{т, Е) в зада­

чу (П.5.12):

[Z(s,

l ) - Z ( i ) ] d s - I

dZ (s, E )

dZ

dsZ(Z) +

dz

dZ

О

О

+ ^ - C, ( ? ) - c ; ( f ) 2 ( E ) ,

(11.5.12')

Преобразуем

последнее

слагаемое

в

правой

части

уравнения

(И.5.12'):

'

~у ,*ч

_ dc^

_1_

_££1

_££1^

С! \ Ч ^ \Ч

— ~2f

*

'£dx

— ~db' ~dt

~ ~ d t

'

Учитывая

(II.5.14),

заметим,

что правая часть системы (11.5.12')

есть некоторая функция от двух переменных:

т и t =

ет.

Вводя

обозначение

ф| К * ) =

ж Я 2

(*• ^ ) - Z ( X ) ] d s -

о

d Z (s , Е )

dZ

d s Z (Е),

dZ

dZ

запишем последнюю систему (II.5.12') в виде

дидх2 =

<wк

t) + Щ - ъ -

-ь (t) -

~

с х —

dc-%

.

//\

OZ

(

(11.5.12")

ж

-

ь

ю ~

ж

с'‘

Здесь и далее чертой сверху обозначено

среднее

по

перемен­

ной т от

соответствующих

функций.

Существование

средних

значений, которые встречаются, предполагаем.

Функцию сх (?) найдем из

условия равенства нулю выражения

в квадратных

скобках, т.

е.

dcx

=

+.•(<)

(11.5.15)

dt

при условии

сх(0) = 0,

а из системы (П.5.12")

получаем

т

т

х

?i (*, «) =

j

[b ($,

О — Ь (<)]ds +

d z .

м

a z o

I

d£

“

дГ

Q

О

Предположим,

что,

продолжая подобные выкладки, мы нашли

Uk — ®*-i (х> ^

(О»

где ck (t) — пока произвольная

функция.

Считая ck (t) известной»

подставляем

uk {т,

Е)

в уравнение

для определения

uk+l (т, £):

duk+l

_

dZ

dZ

'дсь —

dz

Ж ^ - -1 к S) + ж сk ( t ) — ^ Z ( % ) +

,

1

д-Z

ft-i

ft—2

ft—2

+ —

d3Z

+

2!

д&

2

“ i u k - i

‘ drzз 2

2

UJ

‘

3!

i=l

i=l

;=1

+

••4

1

dkZ

k

k\

--- b ил

V

z

<5>-

d-k

1

Введя

обозначения

»к

ft У/г-1 (Т’

"Ь 2!

d$2 ^

<=1

,

1

d3Z

ft- 2

ft—2

.

,

1i

a*z

й

^ й -i

i=1

;=i

d£‘ft

wi

dt

перепишем

последнюю систему в виде

диь ,,

—

I dZ

dZ\

ь *> -

ф* <*)

+

(-гг ~

з г ) с * « )

-

Л

d;

k

VftW

•

Оборвем ряд (II.5.9) на втором члене, т. е.

рассмотрим вто­

рое приближение к решению задачи (II.5.7)

z 2 О, £) = £ + e«t (т, 5)

(II.5.16)

и докажем, что

при определенных ограничениях на правую часть

системы (II.5.7)

справедлива оценка [142]

| |2-z2||<ce2,

(II.5.17)

где z — точное

решение задачи (II.5.7), а с — некоторая положи­

тельная постоянная.

на

в области Q fx>-0,

z e D a R n }

и пусть в этой

области:

1) функция Z (х, z) ограничена вместе с производной по вто­

рой

переменной г;

2) среднее значение (II.5.8) существует,

причем,

предельное

соотношение (II.5.8) выполняется

равномерно

по второй перемен­

ной

и

настолько

быстро,

чтобы

удовлетворялось

неравенство

jxa (х)| < М для

некоторой

положительной

постоянной

М,

где

а(х) — бесконечно

малая

величина

при х

оо,

удовлетворяющая

условию

т

j [ Z ( s , 5 ) - Z ( 5 ) ] r f s < x a ( x ) ;

О

3) существует некоторая положительная постоянная

М х,

та-

кая, что

при (х,

8)eD

справедливо

неравенство

t

dZ ( s ,

8)

dZ '

c '

ds/l <

М х.

J

dk

di

-J

0

Тогда

для 0 < х <

Ь -1

и EeQ справедлива оценка (II.5.17).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставляя

(И.5.16)

в

систему

(II.5.7),

получаем

„невязку"

r ( t,

i ) = ^ \ % - u , - ^ z ( u \

0Z

I

-у-

подсчитана в некоторой точке (х, 8*)eQj.

Для получения необходимой оценки (II.5.17)

достаточно

до­

казать

в

рассматриваемой

области

ограниченность

функций

щ (х,

5),

—

-

2(5).

Из

равенств

(II.5 .И')

и (II.5.15)

имеем

т

SX f

dZ (v) dv

и,(х, S) =

Ж

_

(s) ds,

j [ Z ( s ,

5) — Z (5)] ds + j" e

ниченность функции ф»! (х,

I),

а значит, и <];(£).

Но так как ет</,,

то ограниченность функции

(т, £) доказана.

Теперь найдем

Т

I 12(5)

ds Z (I) -Т

О

ЕТ____

ет

j*—— {v) d v ___

+

(

0

Щ- (t) % (s) ds,

0

t . e. из условий теоремы

следует

ограниченность

(£ ). Тео­

рема

доказана.

3.

Рассмотрим

еще

один способ обоснования высших прибли­

жений для уравнений в стандартной форме [32]:

~

= eX (t,

х),

*е [0, Le~l ].

(II.5.18)

Произведем в системе

(II.5.18)

замену

х — У *Т ш \(^» У) +

ь и 2 (t, у) + • ••+

uk (t , у) (II.5.19)

так, чтобы новое уравнение имело вид

% = г Г 0 (У) +

е2 У, (У) + ■■■+*■* У „-1 (у) +

**+1

у , (<. у. *)•

ди 2

дХ

_ ди1

y

Ух (У),

Ж

d y Ui

ду

__

дХ

,

1

д2Х

<f2

dui

у

ди2 у

у

( л,\

dt ~

ду

w2

"Г

2!

' ду*

1

dy

1

d / o

7

2

d u t _dZ

.

1

W

r1i-2

+

Ж — ~dyUi-i

'

2!

* dya

2 d Ui

4 - 2 1 7

'49