книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

стоты No =

0.

Тогда соотношения

(V.3.11) показывают, что Д22<

< 0

при

Ь* =

-а* ~ а*

> b, а Ам <

0,

если

b <

b ** =

al° - X

X К^Г<тГ<

ПРИ b ** <

b <

b * А11

>

0

и Ап (^**) =

0-

Следо­

вательно,

согласно (V.3.12)

решение системы (V.3.9) будетасимп-

тотически устойчивым, если b

b **,

и

неограниченно

возра­

стающим, если b** <

b < &*. То

же

самое

можно

сказать о

решении

системы (V.3.9),

так

как

оно

пренебрежимо

мало от­

личается от решения усредненной системы (V.3.10).

Значение b = Ь**

критическое. Для критической скорости

V** найдем следующее

выражение:

V**

r 4D (т4— п4) (т- — п-) тп

(V.3.13)

8 В1Л(т4 +

п4)

Рассматривая упругую пластинку

(/?(^ )= 0, G ( t u t2,

t3) = 0),.

получаем

для

критической скорости выражение

1/* _

7:4 D (т4 —п4) (т2 — п~)

(V.3.14)

у '

—

16 в /3 тп

Из

(V.3.13)

и ^V.3.14) находим

V**

2т2п2

<

1.

V*

т4

+

п4

Подставляя (V.3.12) в (V.3.8), находим приближенное реше­

ние

системы (V.3.6):

ехр

г I

Ди Ах—

No \t

X

А =

di

exp

2s ( Дп Ay — —n~ No I t

*uA -

—

Mo

I/

sin j(/?i +

£An By) t

Co — 2^

In

^Дц Ay

c \

dy exp

2г

1

Д,,Д|-----o~No)t

. (V.3.15)

exp

£ I Доп Ao —

——— No I t

/ 2

V

X

^3—

2s [ Д22Ao ~ -L .N o

\t

Д00 Aо ——

No

2

S i n |(/^2 “1“ £A 22 ^ 2 ) t

^

^A 22 -^2

~~2

No

c3

— d 3exp ^2e

^Д22 A2—

N^j / j j

нелинейного упругого

члена

в законе напряжения-деформации ) ,

т. е. предположим, что связь

между напряжением и

деформа­

цией задается

в

виде

t

Е

V2

,

+

f a

i ] - \ R ( t

т) [ М х)

+ Л4 ( х)] dx>

ах 1 -

J

о

где, как и раньше,

, а\

= —

д2и (х , t)

вx {t)

z — ^ — .

Подставляя выражения для

ех ,

ох , М х

в

(V.3.2),

получаем

уравнение

д2иУ

д^а

^ д 2и fd 3ux2

дх 2)

dxi

дх 2 Idjc3

- j г <* •- м ш +

\ щ йд + ^ д а н +

,Ро^(ди_ _ v ди_] _ п .

(V.3.16)

^

с0 I

v

дх

1 ~

и ’

здесь D =

2Eh3

пластинки,

h — ее

толщина,

g ^

_ v2y — жесткость

1- /*\

R' (О

— некоторые

постоян­

1 (г) = ------ -в------- ядро релаксации, ц,

ные, зависящие от упругих и вязких

свойств материала

пла­

стинки, Е ,

v, р — мгновенный

модуль

упругости,

коэффициент

Пуассона и плотность

материала

пластинки

соответственно, р 0,

с 0 — давление

газа и скорость

звука

в

газе

на

бесконечности,

х — показатель

политропы газа.

Вводя безразмерные

величины

r = vt,

W = -jj-,

у =

Л

X,

Y

Dtz4

т

рлТ*

и полагая,

что

е

R( 0)

R (t)

3 (j./z2Tt4

3

Е ’ О <«>(*)

7Г(0)’ —Ъ

~

£Л’

е

для случая двухстороннего

обтекания

получаем

уравнение

воз­

мущенного движения

(V.3.16) в безразмерной форме:

d2w

- J

- еХ

d2w\2

dlw

'

j0 d2w ( d3w\2~

~дг2

ду2 J

дуi

ду2

ду3 J

* Этот пункт написан

Т. Кадырбековым.

(*

,

ч

f d4w

QГ / d2ay\2

(Цда

0 дd2,<w f d3w \ 2

d i -{-

J ш

И г + 2 S9-2 ( (}уЗ

£o^

/2

dw

р 0х

Ve3

dw

(V.3.17)

co

tJ

У p Dh

dr

co

D~3

= 0,

dy

/

n\

/

\

d2a> (r, 0)

d2w (г, тс)

„

w (r, 0) =

w (r,

7t) =

---- зЬ М = ----^ f — =

0.

(V.3.18)

(ty2

(?y2

w (г, у) =['о1 (г) sin пу -f- v 2 (г) sin ту.

(V.3.19)

Vi +

a ]v 1 -f bv2

- в к

-г- а\ v\ +

a ^ v ^ l

+ № , , } + 1

T

- f

s j

to ( r

—

4

j^a2v1 +

p a\ ^

+

—

^2

dt

v2 +

a 2v 2 — b v x

— e X

^

U.2 V2

2

^2

+

+ N v2J

+ 8

j

Ш( r — t)

Q'2^2

Р (

4

^2 ®2

2

^1^2^1^2

d i

а х =

я4, а 2 =

гпА,

b =

4 mnp0 xV l3

(m 2 — п2) ЬтЛ с0'

TV = E&l.

/2

Я2 У рDh *

Со

Положив е =

0

в системе

(V.3.20),

найдем

решение вырож­

денной системы;

применив

метод

вариации

произвольных по­

стоянных, приведем систему

(V.3.20)

к стандартному виду:

{ К а2 К

_ 2aJ _

“ »■ “ 2а» )] ^ +

+ [а я (2ая! + Зая а2) — а т®2 (3“т +

2а» 7-2)] 71 I +

+ [<*„« (2йя, + За» ) -

а ш “3 (Зйт + Ч . ) ] 4 7Л+

+ К -

^ ) 1%п } + ря [1 J a ‘ W

а т ~

-

а п ) «4, -

К

-

а т“2) 4 -

ТГ [а п“2 К -

2 а т)

~

а ш (?т -

2ап) ] <

-

" Г К

(2а«

+

За»”2) ~

- а ш (Зйш+

24

“2 ) 0,2

/2т /п

3

а (2<2/п+ Зал ) —

Т

3,3 ( З ат +

2 а п)

Атг 4

4“ ( Йл

^

) 4 } dx +

+

^

sin рп г ( - Сп1sin рп г +

сп2cos р п г )

еХ COS р п

Г

а п ' ( а п - 2а™)

ат(а т — 2ап')

х

Сл 2 = - 4 р п [ 1 - а Н Ь ) ]

т \ т

п j

X

<

, +

[ а „ (2 а т

+

За„

а2] _ ^

а2 (З а „

+

2 а п а2)] / ; /„

+

+ [ а „ * ( 2 а т + За„ ) - а т " 3 (З ат + 2 а „ ) ] 1т / 2 +

+ к -

* у . 1 -

/ • ( - . ) { ( « . -

-

4 ) «4. ~

{ а п ~ а т “2) 4

Г {[ <4 “2 ( а п - 2ат ) ~

~

4

( а т -

2 а п )

] <

+

[ й„ (2 4 > +

За„

“2) -

а т =>2 ( з а т +

+

2x1п 7'"2)] !li 4

+

\а па (2ат +

34

) —

'•'2(3ат +

+ 2 ап )] 4, 4 + ( а» — 4 , а4) }}л —

-

sjV c o s р

/

( - с

я1

sinp n r +

сп2 c o s p nг )

(V.3.21)

где а п = п\

а т = т\

/4 =

сы cos />, г + с ш sinр к г,

а {&) =

0-2— &\

-VI

- 1 ,

0 < а ( * ) < 1 ,

если

О <

b <

6* =

*

*

(т, п = 1,2;

п ф т \

k = \ , 2).

С

— г =

{

Р

{ Ь )в( С..+

|

С >

2

)

+ +

т

+ (

Д „ А

+

л

о

}

«

„

+

- f

{(b)1

( -4

,

к tm+

2

) )

+ f « „

+ Тля( b )

( С + С')]—А п„А п } ■’»)

Сг =-- г {(*—РЛл) [ "и (*) ( Ci + Сг) + Т„„ (*)( С +

+

+

С

)

]

-

С

д { Ья) я ( *

) ?

Я 1

)

+

пп W Т

(

В .+

N+)

}41п2

]

(п, т — 1, 2;

а ф т )

(V.3.22)

здесь

введены

обозначения:

Ч

аат (пЗат (

+2 л

тЩЧ ]

+

*

32V

_

/

*л

_

°пп'и>—

8рп [1 — а2 (Ь) ]

т

(h\ —

3

( а2 — а2

а4 (6)^

Д

(Ь )

а

— а

а2 (6)

. (V.3.23)

— —1__ Т.___ML

= — 5____ Ш____—

'пп\и>

\bpn [\—^ ( b ) \ ,

nn^uf

[1 — а2 (6) ]

Ап =

J (о (5) cos р п sds >

О,

В п =

J о) (s) sinр п sds >

0

+

1 п

а л Я

*

( ® )

(

(

C

l2

+

С

г

4rii

—

2

п (

)

С

+

С

)

\

____ __

- K n ( b ) A ny

M - ^

[ \

n (b)B n +

N ] i n2

(я, /я = 1, 2,

п ф т )

(V.3.24)

Легко

видеть,

что для

любого

г^> 0

имеются

интегралы систе­

мы (V.3.24)

С

+

С =

(

С +

^п2 )еХР { “

8 [Лл«^ В

п +

r }

^

(V.3.25)

Cl + С2 =

( Cl + С2)еХР {~ 8 [^ г п т Ф ) В т +

Щ

Г}

Следовательно,

используя

(V.3.25),

решение

системы

(V.3.24)

можно

представить

в виде

Кх (г ) =

[ С cos 0 +

4

Sin О] exp ( -

гп г )

'

(V.3.26)

е,й (г) = [ -

С

sin G + l° 2cos О] exp (— 8яг )

]

где

G -

Inn

(

С

+ С

)

+

пп (Ь) (

X+^л2

~ X J b y B ~ ^ N ~

Дгага (*) Bm + N

W ( £ ,

+ $

)

Г4

,

-

A

-

(b)B n + N

е

Х Р

\|

п -( Ь £) В »[

+

N ]

'

•

}

+

+

'»„<»)(& + € 2)

гл

"

Дmm'

),B( m*

+ N

e

x

P

l _

e

[

i

m i Vm ]

(

r

*

l ) +B

m +

+ -^m ( b ) A a r

6 = £, А„л (Ь ) B n + N

п

(

^°t;- (у, у =

1,

2)

— произвольные

постоянные,

определяемые из

начальных

условий j.

Из решений (V.3.26) видно, что оно будет асимптотически

устойчивым

при любых

начальных

условиях,

если

только

Д

{р)

>

N

1, 2),

и неограниченно

возрастающим,

если

-----б— (я =

Д ь х -

В i,

\

N

N

Соотношения

(V.3.23)

показывают,

что

Д22 (b ) >

—

при

Ь < Ъ *\

Дц(&)> —

при b <

( а 2 -

а х) =

-у^*-

Ъ*

где

а ( 0 - < а < ;

1) — корень многочлена

{ах— а2а2)2

_

TV^

clx—{—л2с^2

(1 _

а2)2

—

- Щ J

1+а2

Так как Дп (b ) = 0 при b =

6 * :: =

Я2—й х

У а ха 2 <

6*,

то

для

критической скорости флаттера пластинки находим

Vкр =

ас0 D%z (m4 — и4) (m2 — л2)

4(1 + а2)

"*-13 т п

ванию

ряда нелинейных задач

теории вязко-упругости [80—85].

Б. И.

Моргунов исследовал

стационарные резонансные ре­

ЛИТЕРАТУРА

1.

Б а й н о в

Д.

Д.

Об усреднении в некоторых системах обыкновенных

дифференциальных уравнений, „Математически весник“, 1968, т. 5, № 1.

2.

Б а р б а шин Е.

А.

Введение

в теорию

устойчивости,

М.,

„Наука",

3.

1967.

X.

Об

одном свойстве

системы

нелинейных

интегро-диффе-

Б е г н а е в

ренциальных уравнений стандартного вида,

„Изв.

АН УзССР“, сер.

физ’-мат., 1970,

№ 6.

4. Б е г н а е в

X.

Об

одном свойстве интегро-дифференциальных уравнений

5.

типа Фредгольма

стандартного вида,

ДАН УзССР, 1971, № 2.

Б е г н а е в

X. .

Ф и л а т о в

А. Н.

Об

одном

свойстве интегро-диффе­

ренциальных уравнений, ДАН УзССР,

1970, №

12.

трубы при

6. Б е г н а е в

X. ,

Э ш м а т о в

X.

Колебания

вязко-упругой

протекании через нее жидкости, Труды ордена Трудового

Красного Зна­

мени Института кибернетики с ВЦ АН УзССР,

„Еопросы

вычислитель­

7.

ной и прикладной

математики", вып. 16, Ташкент, 1973.

Б о г о л ю б о в

Н.

Н.

О некоторых статистических методах в математи­

ческой физике, Киев, Изд во АН

УССР,

1945.

механике, Сб.

8. Б о г о л ю б о в

Н.

Н.

Теория

возмущения в нелинейной

9.

трудов ин-та строит, механ. АН УССР,

№ 4,

Киев, 1950.

приб­

Б о г о л ю б о в

Н.

Н., З у б а р е в

Д. Н. Метод асимптотического

лижения для систем с быстро вращающейся

фазой и его

применение к

10.

движению заряженных частиц в магнитном поле, УМЖ. 1955. № 7.

Б о г о л ю б о в

Н.

Н., М и т р о п о л ь с к и й

Ю. А. Асимптотические

методы в теории нелинейных колебаний, М .,

„Наука",

1963.

11.

Б о л о т и н

В.

В.

Динамическая

устойчивость

упругих

систем,

М .,

12.

ГИТТЛ,

1956.

В а с и л ь е в а

А. Б. ,

Ф е д о р ю к

М.

В.

Асимпто­

Б у т у з о в

В. Ф. ,

тические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений,

В кн. „Итоги науки. Математический анализ,

1967", М.,

ВИНИТИ АН

СССР, 1969.

13.

Б ы к о в

Я. В.

О некоторых задачах теории

интегро дифференциальных

14.

уравнений, Фрунзе, изд. Кирг. гос. ун-та, 1957.

дифференциальных урав­

В а с и л ь е в а

А.

Б.

Асимптотические методы

нений с малым параметром при старшей производной, В кн.

„Пятая лет­

15.

няя математическая школа", Киев, „Наукова

думка",

1968.

разложения

В а с и л ь е в а

А.

Б.

Б у т у з о в

В. Ф. Асимптотические

16.

решений сингулярно Еозмущенных уравнений,

М., „Наука",

1973.

интегро-

В а х а б о в

Г.

К вопросу

обоснования

метода

усреднения

для

17.

дифференциальных уравнений, УМЖ, т. 21, вып. 6, 1969.

точек

у ин­

В е д ь Ю.

А. Достаточные признаки

отсутствия особенных

тегро-дифференциальных уравнений, В сб.

„Исследования

по

интегро-

дифференциальным

уравнениям

в Киргизии",

вып. 3,

Фрунзе,

Изд-во-

18.

„Илим",

1965.

Метод

осреднения

в

теории

нелинейных

колебаний,.

В о л о с о в

В. М.

В кн. „Механика

в

СССР

за

50 лет",

т.

I, М.,

„Наука",

1968.

14-217

209