книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

тогда

ъ

(*■ Ч) = тдёГ J

ГА &

ч °) -

Л1 (W dyi +

А ( А

По

где hx (£) — произвольная

функция.

Это

говорит о том, что по­

строение

асимптотического

разложения

(II.6.14) не однозначно.

Такое положение характерно для асимптотических теорий.

Выбор функции Д

может

быть выполнен по-разному. Будем

считать, что Д = 0. Из

второго уравнения

(II.6.17) находим

ъ г

B ^ =

- k S

У (5,

ч

0)

(&. п)

d -ц,

1

ч

ди>

•°i& п)

I

г а ,

ч о ) +

их

В х(£)

d~r\.

w (£)

Ж

По

Аналогичным

образом

рассматривается

система

(11.6.16)

при

k = 2, 3,...

и т.

д.

Системы с медленными и быстрыми

переменными примени­

тельно к задачам небесной механики исследовались

Е. А.

Гре-

бениковым

[21—25].

e J w

= F(~z < У’ о . -%- =

/ ( * ’ У’ 0 .

(II.7.1 >

где е >

0 — малый

параметр, z

и у — п-

и /я-мерные

векторы со­

ответственно. Для

системы

(II.7.1) поставим задачу

Коши

г (0,

в) = z°,

у ( 0 , е ) = у ° .

(П.7.2)

Обозначим

через

z(t,

в)

и

y ( t , в)

решение

задачи

(II.7 .1)—

(II.7.2)

на

отрезке

Полагая

в (II.7.1)

е =

0,

получаем

систему

F ( z , у, 0 = 0.

= / ( z’ У' f )

( I I . 7 . 3 )

У (0) = у0

которая

называется вырожденной.

При

исследовании систем

вида (И.7.1)

обычно решают сле­

дующие задачи:

\z{t, s),

у (t, г)}

1) найти условия, при которых решение

системы

(II.7.1) — (II.7.2) будет

стремиться

при

в - * 4 -0

к реше­

нию |z(t), у {t)\ вырожденной

системы (II.7.3);

раметру е решения (z ( t ,

г), у (О е)| с точностью 0 ( ел+1 ),

рав­

номерного

относительно

f e[ 0,

Г],

где п — любое целое

число.

Первая

задача была решена

А.

Н. Тихоновым [114], вторая—

III.

Система - ^ г = / ( ? ( у ,

0 . У. 0 . У (0) = У0 имеет единствен­

ное

решение

на отрезке

0 < ^ < 7 \

причем при

^ е [0, Т\

(у (О,

О 6 А гДе D — множество

внутренних точек области D.

Далее

потребуем, чтобы /(©( у,

0 .

У.

* ) 6 Lipy (у. D).

IV.

Система

вида

г*»/

4 f

= /Д

У. 4

т> ° .

(П.7.4)

где

у и /

рассматриваются

как

параметры,

принадлежащие об­

ласти

D,

называется

присоединенной.

Очевидно,

решение

тойчивой

по

Ляпунову равномерно

относительно (у,

t ) e D ,

т. е.

для любого

о >

0 существует 8 =

8 (а),

не зависящее

от (у,

t)eDr,

такое, что

если

2 ( 0 ) - ? (у,t)

< 8

(а ), ТО*}

zC O - ®(у, t)

<

а,

z (т) -> ф(у, t),

X

оо.

4 4

=

у», о),

г (0) = г°,

т > 0 ,

(II.7.S)

где 2°,

у0— величины,

входящие в условия (II.7.2).

Очевидно,

точкой

покоя системы

(II.7.5)

будет

точка

2г=ср(у°, 0).

Начальное значение z0

принадлежит области

влия-

л/

если решение задачи

(И.7.5)

удов­

ния точки покоя 2 = ф (у0, 0),

летворяет условиям:

1) z ( т)-*<р(у0, 0),

х->оо;

2) (z(t), у», o)eG,

- > 0 .

Теорема

11.14

(А.

Н. Тихонов).

При

выполнении

условий

I — V

найдется

такое

е0, что

при

0 < е < £ 0 решение

z ( t , s)v

у (t, в)

задачи (II.7.1) — (II.7.2)

существует

на отрезке 0

Это решение

единственно и удовлетворяет предельным равенствам.

limy(^, e) = y(t),

0

е-0

lim z { t ,

е) =

z{t) =

ср(у (^), t),

0 < £ < 7 \

е-0

Доказательство

этой теоремы

подробно

изложено

в [113], по­

обстоятельство, что решение

у (t, в )

стремится при в

0 к ре­

шению

у (t)

вырожденной

системы

равномерно

на

отрезке

0 < * <

1\ а решение z { t , в )

стремится при в

—>0

равномерно к

решению z ( t ) вырожденной системы лишь на отрезке

где

t*

> 0.

Это

связано

с тем, что

при

t =

0,

как

правило,

т, у

*) Заметим,

что

решение z

присоединенной системы

(II.7.4) — функция от

и t.

Однако здесь

зависимость от параметров

у и t не указывается.

z ( t ) не

может

служить

приближением

для

решения

z ( t , г).

В этом

случае

говорят,

что

в окрестности точки

t =

О

имеется

зона

пограничного

слоя. Естественно поставить вопрос о возмож­

ности

построения

равномерного на всем

отрезке

O ^ t - ^ T

при­

ближения как для

у (t, е ) , так и для

z (t,

г),

и более того,

найти

асимптотическое разложение

функций у (t,

е)

и z ( t y е)

по малому

параметру е, равномерное относительно ^е[0,

Т].

Один из таких алгоритмов был

разработан А. Б. Васильевой.

Асимптотика А. Б. Васильевой

При построении

асимптотики

предполагаются

выполненными

более сильные требования, чем в теореме

А. Н. Тихонова, а

именно:

F (z, у, t)

и f ( z , у, t)

(п +

I.

Функции

считаются

2)

раза

дифференцируемыми по всем аргументам в области G.

II. Требования II, III и V

теоремы

А.

Н.

Тихонова

остаются

без изменений.

III. Требование

IV об

асимптотической

устойчивости

равно­

А (<) =/- , О о (*),

о .

det \FZ(t) - X Е] =

0.

Требуется выполнение условий

R e \ (t) < 0 , 0 < * < 7 \

i = T T n .

Введем обозначения

х =

\ у ) '

Т = ^ -

Асимптотическое разложение решения задачи (II.7.1)

— (II.7.2)

согласно А. В.

Васильевой

ищется в следующем виде

[15]:

x ( t , e) =

x ( t ,

s ) - f Пх(х,

е),

(II.7.6)

где

_

_

__

_

х (t , е) = л:0 (£) -j- £

( 0

+ ••• + 8* Xk (t) + ••ч

(II.7.7)

П х (т,

е)

= ГГ0 х ^х) -}- еТТх (х) -j- . . . -|-

х (т) -j- ... . (II.7.8)

Подставляя

(II.7.6) в (II.7.1),

находим

Правые части уравнений

(II.7.9)

запишем в форме

F = F

+ IIF,

/ = / + П / .

только для функции

F):

F ( z + T l z ,

у + Пу,

t )

=

F(~z(t,

е), у it,

е),

0

+

+

[F ( z (те,

e) +

Tlz(x,

e),

у (те, s)

+ Пу (т,

e), те)

—

— F ( z (те,

e), у (те,

е),

те)] = F +

П/\

Учитывая (II.7.6), представляем теперь F и П/7 в виде рядов по

степеням

е:

1)

F = F ( J z ( t ,

е),

у (t,

г), t )

=

F ( z 0{t) — sz i(t)

- f ••• +

-f

eft

(t) -f

■

У0 ( 0

£ Ух[t)

+

.. •+

£* yk (t)

"f

••,

t)

=

=

F(~z0 (t), y0 (t),

* ) 4 - е | Л ( 0

M O

4-^'>(*))'i(*)]

+

4 - ... 4 -

£*

(*)

^ ( 0

+

(О У* ( 0

+ F k ( 0

]

+ •••!=

— F 0 4~ £ F\ 4~ •••4~ £

k ~r ... '•>

(II.7.10)

здесь

матрицы

Fy V) =

d F l

\

dyj

)

вычисляются

в точке

|zQ{t),

yQ(t),

tfj,

a

F k (t)

— известные

век-

тор-функции,

выражающиеся через функции

z ^ t ),

У*(0.

* =

0,

k — I;

2 )

T I F = F ( г

( т е ,

г )

4 - П

г (

т ,

е ) ,

у

( т е ,

е )

ф - Н у

— /7 ( ^ ( т е ,

е),

у (те, е),

те)

=

F ( z 0 (x,

г)

4- е z t (те) 4-

... - f

в* z k ( т е )+

+

... 4 - П0г ( т )

4- eHj z (т )

4-

...

4-

е* П Л z (т)

4- . . . ,

Уо (х£) +

£ У1 (Т£) +

••• +

£* yk(Х£) +

... 4- П0 у (т) - f

е п ху (т) 4-

+

\е.FZ

( '

с )

^

£

(Fхy) ( т+)

П у 1(

х

)

+

(

х

)

]

+

. .

. - }

-

+

ek [Fz

(

х

)

I

I

ft г

( Fyx ) ( x +)

I

I

ft

у

( GkX ) + (

x

)

]

+

.

. .

=

=

П / + П / + . . . +

П ^ + . . . ;

(II.7.11)

здесь

матрицы F z (

x

)

и F y ( x )

вычисляютсяв точке U

o

(

0 )

+

I T

0 2 : ( x

y0 (0)

-f- П0у (

x ) 0),

а вектор-функции

Gk (

x ) выражаются

через

функции П£л:(х),

i =

0,

k — 1.

Таким образом, систему (II.7.9)

можно

представить так:

+

^

= ?

+ п ^ ' е^

+ ^

г

= £/ +

еП/-

("-7-12>

Подставляя в эти уравнения разложения (II.7.8)

и

(П.7.10) —

(II.7.11)

и приравнивая

коэффициенты

при

одинаковых степенях

е (причем отдельно зависящие от t

и от х), находим

0 =

F 0 =

F ( z 0 (t),

у0 (t),

<),

-Щ

р -

= / 0= / ( 2 0 (О;

(Н.7.13)

=

П0F = F

(

г

0

( 0+) П„г,

у

0(0) + П„у, 0

) -

- F { z o ( 0 ) ,

J„(0),

0)

(II.7.14)

^п0у _ Q

=

F * =

Fz (t) z k + F y (t) yh + F„ (t)

(II.7.15)

4 е

г=

Л =

Л

« )

* *

+

7

,

<<) у ,

+

Л

(<>

dx

. (II.7.16)

= пk-l f

dx

С

помощью уравнений (II.7.13) — (II.7.16)

можно последовательно

определить функции y^t),

z t (t), П; у и Пt z,

если

присоединить

к ним определенные начальные условия.

Для

этого

рассмотрим

равенства

г 0 (0) Т" еz x(0)

-j- ... -f- П0 z (0)-f-

ent z (0)

4-

... =

z

,

Уо (0) +

£ У\ (0) +

•••+

П0 у (0) -f- ent у (0) +

... =

у .

(II.7.17)

Отсюда

получаем

i 0 (0)

+

П0.z (0) = 2°, у„ (0)

+

П„у (0) =

у0.

(Н.7.17')

5 —217

65

Уо(0) = уо, П0 у (0) =

0,

П0z (0) = z° — z 0 (0).

(П.7.18)

Следовательно, согласно (Н.7.14),

п о У ( ^ ) = 0 ,

х > 0 .

Далее

^ f = F (z 0 (0) + П02,

у0,

0), г »(0) = «р ( у0, 0).

(11.7.19)

ледней

положить

z =

z (0) + П z. Точкой

покоя системы (II.7.19)

является

асимптотически

устойчивая

точка

n oz = 0 , а

начальное

значение

n oz(0) = z° — z0(0) принадлежит области

влияния

этой

точки. Поэтому n oz(x)-> 0

при х -> оо.

Далее

имеем

zt (0) +

n tz (0) = 0,

у х(0) + П,у (0) = 0.

(II.7.20)

Из

(II.7.15) находим

т

(т) =

n oyt (0) +

J

П0f ( s ) d s .

о

Так

как

предполагается,

что

пограничные

функции

стремятся

к нулю

при х-*со,

то

из

этого

равенства

получаем

оо

П1У (0) = -

J П0/ ( s ) d s ,

т. е.

о

оо

оо

П!У(т) =

—

у х (0) =

(5)ds.

f П0/ (s) ds,

J п0/

х

0

Затем

полагаем

(0) =

— z x(0).

Для

нахождения

функций

П *У М ,

zft(*),

Пk z ( t ) ,

k = 2 ,

3, ...

используем следующие дополнительные условия:

оо

У *(°) = J K k_ l f (s)ds,

n ft z(0) =

— zk (0),

о

п *

-

У х ) (

-0 ,

х

о о .

При этих

условиях

члены

асимптотического

ряда

(II.7.8)

будут

определены.

При

выполнении условий

Теорема 11.15. (А. Б. Васильева).

I—V найдутся постоянные

е0> 0 и с >

0,

такие, что при 0 < е < е а

отрезке

единственно

и удовлетворяет

неравенству

II х ( ( ,

* ) - X n (t,

е)!||

i 6 [О,

Т\,

где

п

*„ (< , о = 2

t * p t (<) +

n ^ ( o l .

ft= 0

L

J

Доказательство

этой теоремы весьма

подробно

изложено в

работе [15].

Заметим, что рассмотренная

методика

построения

асимптоти­

§ 8. Метод возмущений С. А. Ломова

для сингулярных задач

В этом параграфе излагается метод

возмущений, развитый

ний различного типа сингулярных задач (обыкновенные

диффе­

ренциальные уравнения, уравнения

в частных производных, ин­

тегро-дифференциальные уравнения). Мы

изложим

эту

теорию

для систем

линейных

дифференциальных

уравнений

с

малым

параметром

при производной.

1.

Формализм построения асимптотики по С. А.

Ломову сос

тоит

в следующем. Изучается задача

£ ez' =

A0 (a ) z +

Д (А') у +

h, (a ),

z (0,

е) =

г° 1

\У' =

A 2 (x ) z +

Аг (л)у +

/?2 ( а ),

у (0,

е) =

у 0 J

при

£

-f 0. Здесь 2

и у — векторы

размерности

п и т

соответ­

ственно,

матрицы At (а) и векторы hk (а) предполагаются диффе­

г

Л (*)

Л, (А)

/г, (а)\

и =

А (А, г) =

h (а , в) =

У

еА2(х) вА3(а )

eh2 (х)1

запишем (II.8.1)

в виде одного уравнения

L zu (а ,

е) =

ей' — A (a , в) и =

й (а , б),

и (О, £) = и°. (II.8.2)

=

0

=

s),

i = U n

(H.8.3)

и

рассмотрим

некоторую

„расширенную1 функцию

и(х,

t, s),

t = * ( t v ..., tn) y обладающую свойством

«(*>

s)| и = ь

(х в)==и{х,

в),

(Н.8.4)

т. е. сужение функции и ( х ,

t, в)

при

условии

(II.8.3)

должно

совпадать с и ( х , г)-решением задачи (II.8.2).

Дифференцируя соотношение (Н.8.4), находим

а ' (* . г) = | т + - r D <“ • D <= 2 М *>

г = 1

Тогда для

определения функции

гг(х,

t,

в)

естественно

поста­

вить следующую задачу:

L'U =

-\-Dtu — Л (х, в) а =

/г(л",

е),

w (0, 0,

в) = гг0.

(II.8.5)

Задача

по определению функции

а (х,

в) из (II.8.5) являет­

ся

уже регулярной

по в при

в -> 0,

так

как

при

в =

О

задача,

получающаяся из (II.8.5), разрешима.

Однако при в -> 0

в наших

условиях

|tt |-> оо,

т. е. сингулярность

по в перешла в сингуляр­

ность по t. Поэтому задачу (II.8.5)

необходимо

решать

во

всем

пространстве переменных

t.

Учитывая это замечание, будем искать решение (II.8.5)

в ви­

де обычного формального ряда теории возмущений:

и ( х , t,

в) =

2

(•*’

*) =

UQ(*» 0

+ Ш\(* . о

+

(II.8.6)

i= 0

u.(x,

t) = {Zt {x,

t),

yt (x,

t)}

L zq==Dt z0 - А0 (х) z0 = h{ (х) +

Л, (*) у0,

z0 (0, 0) = z°

Dt У0

=

°.

Уо (°> °)

= У°

, (II.8.7)

а для функций z k (х,

/),

yk (х,

t ),

k > 1

—

Lzk = Д (х) yk -

дг

f Zh, 0f 0) = 0

Dt Ук ^ A (x ) z k-i +

Л (*) Ук- 1 - ~ ^ Г + И к - М \

уA° . 0) =

(II.8.8)

°

_

(Л2 (л:),

A = 1

к

иtk (X) t ) 2 )

£ iif (л:,

t) -f- £

^k+i

i=О

^к+\

^

У*-И

^)}

при

е) является

формальным

асимптотическим решени­

и гк (•*» £) — U t k ( * ’

£) It t =ф£ ( х , г) •

Задача

1. В области

ф | 0 < л :< я ,

|^|< оо,

£ = 1 ,л |

опре­

делить функцию z ( x , t ) = [ z x{x,

t),

..., z n(x, £)}

из условий

1)

L z ( x , t) =

D tz — A^(x)z =

hx{x,

/),

z(0, 0)

=

z°;

(II.8.9)

2)

если

все R e X ^ X O ,

то z ( x ,

t)

ограничена

при

|-►°°

Здесь

D t = M * )

^

■" К (*)

t =

( t v

...,

tny

a \ (x )%•••»

^a (x) — простой

спектр

матрицы A0(x)

(все

корни

Xt (л:) различны и ни один из них не равен нулю).

Найти

соот­

ветствующие ограничения на функцию hx (х, t).

___

Задача

2. В области

Q | 0 < * < a ,

|^|<оо,

i — 1, nj

опре­

делить функцию

у ( * ,

^) =

( (-дс, t),

...,

ут (х, t)}

из условий

1)

D ty(x, t ) = f l (x,

t);

у ( 0 ,0 )

=

/ ;

(II.8.10)