книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

ческого ожидания некоторой заданной суммарной функции Потерь \У2, зависящей от входных и выходных сигналов объ­ екта и задающих воздействий

30

оценки качества процессов (критерий связан с выходной пе­ ременной на границе, с распределением переменных в прост­ ранстве и т. д.);

б) Неполнота информации об объекте; в) Сложность динамики и наличие чистого или транс­

портного запаздывания, в результате чего алгоритмы уп­ равления также оказываются сложными (особенно при нали­ чии случайных помех), включают операторы запаздывания и, как правило, более пригодны для реализации на ЦВМ. С дру­ гой стороны, учет распределенности иногда позволяет из­ влечь дополнительную информацию и получить качественно новые эффекты.

Решение задач управления стохастическими объектами представляет значительные трудности и существенно зависит от объема априорных сведений. Если условные плотности P(qKSI *kssuks) известны точно, имеем дело с задачей стоха­ стического (неадаптивного) управления. При неполной инфор­ мации о P(qKS\*KS,uKS) и P(yKS|K«s) необходимо в процессе работы системы накапливать недостающую информацию, т. е появляются черты адаптации. Управление, при котором од­ новременно с выработкой управляющих воздействий для при­ ведения объекта к требуемому режиму в управляющем уст­ ройстве (УУ) протекает процесс восстановления или уточ­ нения условных плотностей вероятности (или условных мо­ ментов, характеризующих связь входных и выходных пере­ менных объекта), будем называть дуальным [В. 15].

Возможны различные теоретические подходы в зависимо­ сти от способа априорного задания и восстановления услов­ ных плотностей, из которых выделим два.

I. Параметризация задачи. P{qKS I xks,WkS) задается ана­ литическим выражением с точностью до неизвестных пара­ метров ц:

P { R k s I x t f S 'U ics) P o i ^ K S I x KS>li l ^ K s ) >

где P0 — известная функция своих аргументов.

Задача восстановления P(g*s|.) сводится к оценке векто­ ра параметров ц. В байесовой постановке приходим к форма­ лизму А. А. Фельдбаума, развитому им в цикле работ по тео­ рии дуального управления [В. 68]. Действительно, если за­ даны оператор объекта в явном виде с точностью до случай­ ных параметров ц, плотности вероятности Р (ц) параметров ц и P(hs ), P(gs ) — помех в каналах связи и известен способ комбинации сигналов и помех, то можно получить аналитиче-

31

Р а з д е л 1.

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. 1. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ДУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ОБЪЕКТАМИ

ВДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ. СИСТЕМАХ

Вданном разделе основное внимание уделяется дискрет­

ным по времени (t) и. пространственной координате (г) си­ стемам. Целесообразность применения разностных моделей обусловливается факторами, перечисленными во введении. Методика синтеза алгоритмов и структур управляющих уст­ ройств определяется способом задания математической мо­ дели объекта. Наиболее общей формой является описание свойств объекта условными плотностями вероятности. Рас­ смотрим также задачи в рамках байесова подхода: а) когда зависимость функций состояния от воздействий по границам и начальных условий задана в явном виде с точностью до не­ известных параметров; б) когда модель объекта представле­ на совокупностью уравнений в частных . разностях, гранич­ ных и начальных условий.

Учитывая, что в настоящее время из-за новизны и слож­ ности задачи имеется весьма незначительный опыт получения конкретных алгоритмов оптимального управления в стоха­ стических системах с накоплением информации, в данном разделе мы наряду с изложением общих методов синтеза (подразделы 1.1, 1.2) уделяем значительное внимание нахож­ дению в явном виде оптимальных алгоритмов дуального управления для ряда частных задач (подразделы .1.3—1-5.).

Рассмотрим блок-схему .системы управления, представ­ ленную на рис. 1. 1. Приняты обозначения: О — объект,

включающий две части (1 и 2); УУ — управляющее устройст­ во; и — управление; у, q — контролируемый и неконтроли­ руемый выходы объекта. Помехи g и h представляют собой по­ следовательности независимых случайных величин. Все пе­ ременные могут быть векторами и рассматриваются в дис­ кретные моменты времени 5 ( s = l, ..., п) с интервалом кван­

тования At= —; п фиксировано. Переменные в момент вре­

мени s имеют соответствующий индекс u [s]= « s, qr[s]=gs и т. д. Стрелкой сверху будем отмечать временные векторы типа

k [s ] = II b [1 ]...u [s ] | | т ,

Управляющее устройство УУ должно на основании анали­ за информации, содержащейся в совокупности предшествую­

щих значений управлений u[s—1] и контролируемых выхо­

дов t/[s—1], вырабатывать управляющие воздействия «[>']» обеспечивающие минимум статистическому критерию качест­ ва — полному риску R:

пп

(!• 2>

34

Здесь R s — удельный риск, Ws и W% — удельная и суммар­

ная функции потерь. Функцией потерь называется функция, -характеризующая «потери», связанные с отклонением режи­ ма работы объекта от предписанного, т. е. отклонением ^[s] и y [s] от задающих воздействий g*[s], y*[s]. В этом случае

Иногда переменные q и q* могут отсутствовать. Или же, на­ оборот, качество ведения процесса определяется исключитель­ но степенью близости g[s] и <7*[s], т. е.

ски связанные с <?[s]. Управляющие воздействия также могут явно входить в выражение

Функцию W некоторые авторы называют функцией стоимости, штрафа или веса. Примеры различных функций потерь можно Найти в [1. 1, 1. 2, В. 15 — В. 17]. Мы в основном будем поль­ зоваться терминологией, принятой в монографии А. А. Фельд- ■баума [В. 15]. Поскольку W s является случайной, она непо­ средственно непригодна для характеристики и сравнения раз­ личных устройств и алгоритмов. Нужно выбрать какую-либо неслучайную величину, которая могла бы охарактеризовать точность оценки в среднем по множеству реализаций. В ка­ честве такой величины и принят риск — математическое ожи­ дание функции потерь. В некоторых нижеследующих задачах рассматривается удельный условный риск rs — условное ма­ тематическое ожидание удельной функции потерь при фик­ сированной предыстории.

Поясним, что понимают под стратегией управляющего устройства. Проведя статистическую обработку поступивших

с объекта сигналов у [5—1], управляющее устройство должно принять решение о величине оптимального управляющего воздействия w[s]=u*[s], т. е. каждой реализации сигналов

стратегией решающего (управляющего) устройства. В каче­ стве синонима понятия «стратегия» будем использовать по­

35

нятия «алгоритм» и «решающее правило». Стратегии бывают случайными (иногда их называют рандомизированными) и регулярными, или детерминированными (нерандомизированс ными). Если стратегия случайная, то управляющее устройст­

во содержит некоторый случайный механизм выбора решения

—►

и описывается условной плотностью вероятности P(w[s]|w[s—1],

Здесь П(-) — область изменения аргументов, a dQ — ее бес­ конечно малый элемент.

Задачу синтеза оптимального управляющего устройства можно сформулировать как задачу нахождения такой ре­ шающей функции Г5 ,при которой полный риск минимален.

Вначале рассмотрим простую задачу и на ней изучим неко­ торые принципиальные положения общей теории дуального

УУ r s случайная. Задание считаем известным и постоянным: Запишем выражение для удельного риска

в(s + t) - m такте.

36

Считаем известными значения u[j] при < 0 .

Подставив (1. 9) в (1. 7) и проинтегрировав по q[s+x—1] , получим

37

5—1

нимума суммы удельных рисков R's+t по известной в.

38

Возможны различные подходы, приводящие к различным формулировкам задач и способам их решения: параметриче­ скому и непараметрическому. В первом случае представляем (аппроксимируем) плотности вероятности известными функ­ циями с неизвестными (случайными) параметрами; во вто­ ром для восстановления неизвестных условных плотностей применяем методы непараметрической статистики. Эти воп­ росы освещены в [3. 11]. Здесь же подробнее остановимся на обсуждении первого подхода, связанного с параметризацией задачи.

Представим условные плотности вероятности, описываю­

где Ро(-) — известные функции; р — вектор априори неизвестных параметров.

Накопление информации об объекте сводится к нахожде­ нию текущих статистических оценок m[s] параметров р. Ин­ декс «нуль» в (1. 14) ниже будем опускать.

(1. 10), (1. 11) и (1. 14) также являются случайными. Проведя усреднение по р, получим

39